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一、选择题
单元复习资料
1. 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，如果$∠ A=2∠ B$，那么$\cos B=$（
A.$\sqrt{3}$；
B.$\dfrac{\sqrt{3}}{3}$；
C.$\dfrac{\sqrt{3}}{2}$；
D.$\dfrac{1}{2}$。
单元复习资料
1. 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，如果$∠ A=2∠ B$，那么$\cos B=$（
C
）A.$\sqrt{3}$；
B.$\dfrac{\sqrt{3}}{3}$；
C.$\dfrac{\sqrt{3}}{2}$；
D.$\dfrac{1}{2}$。
答案
1. C.
解析
【分析】
解决本题的思路分为两步：第一步先利用直角三角形的内角性质求出∠B的度数，直角三角形中两个锐角和为90°，结合题目给出的∠A=2∠B的数量关系，即可列等式算出∠B的大小；第二步根据特殊角的余弦三角函数值，直接得出cosB的结果，匹配对应选项即可。
【解析】
解：
∵ 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$
∴ $∠ A + ∠ B = 90°$（直角三角形两锐角互余）
又
∵ $∠ A=2∠ B$，代入上式得：
$2∠ B + ∠ B = 90°$
$3∠ B = 90°$
解得 $∠ B = 30°$
根据特殊角的三角函数值，$\cos30° = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$，即$\cos B=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$
故选：C
【答案】
C
【知识点】
直角三角形两锐角互余、特殊角的三角函数值、角度计算
【点评】
本题是基础题型，重点考查对直角三角形内角性质的理解和特殊角三角函数值的记忆，解题逻辑简单，熟练掌握相关基础知识点即可快速得出答案，是锐角三角函数章节的常规考查题型。
【难度系数】
0.85
解决本题的思路分为两步：第一步先利用直角三角形的内角性质求出∠B的度数，直角三角形中两个锐角和为90°，结合题目给出的∠A=2∠B的数量关系，即可列等式算出∠B的大小；第二步根据特殊角的余弦三角函数值，直接得出cosB的结果，匹配对应选项即可。
【解析】
解：
∵ 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$
∴ $∠ A + ∠ B = 90°$（直角三角形两锐角互余）
又
∵ $∠ A=2∠ B$，代入上式得：
$2∠ B + ∠ B = 90°$
$3∠ B = 90°$
解得 $∠ B = 30°$
根据特殊角的三角函数值，$\cos30° = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$，即$\cos B=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$
故选：C
【答案】
C
【知识点】
直角三角形两锐角互余、特殊角的三角函数值、角度计算
【点评】
本题是基础题型，重点考查对直角三角形内角性质的理解和特殊角三角函数值的记忆，解题逻辑简单，熟练掌握相关基础知识点即可快速得出答案，是锐角三角函数章节的常规考查题型。
【难度系数】
0.85
2. 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，$\sin A=\dfrac{2}{3}$，那么$\tan B=$（
A.$\dfrac{\sqrt{5}}{2}$；
B.$\dfrac{2\sqrt{5}}{5}$；
C.$\dfrac{\sqrt{5}}{3}$；
D.$\dfrac{5}{2}$。
A
）A.$\dfrac{\sqrt{5}}{2}$；
B.$\dfrac{2\sqrt{5}}{5}$；
C.$\dfrac{\sqrt{5}}{3}$；
D.$\dfrac{5}{2}$。
答案
2. A.
解析
【分析】
本题是直角三角形中锐角三角函数的基础计算题，解题思路如下：首先回忆锐角三角函数的定义，$\sin A$是$∠ A$的对边与斜边的比值，据此可通过设参数的方式表示出直角三角形的两条边，再利用勾股定理求出第三条边，最后根据$\tan B$的定义（$∠ B$的对边与邻边的比值）代入边长计算即可得到结果。
【解析】
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，根据锐角正弦的定义：
$\sin A=\frac{∠ A的对边}{斜边}=\frac{BC}{AB}=\frac{2}{3}$
设$BC=2k$（$k＞0$），则$AB=3k$，根据勾股定理计算直角边$AC$的长度：
$AC=\sqrt{AB^2-BC^2}=\sqrt{(3k)^2-(2k)^2}=\sqrt{9k^2-4k^2}=\sqrt{5}k$
再根据锐角正切的定义，$\tan B=\frac{∠ B的对边}{∠ B的邻边}=\frac{AC}{BC}$，代入边长得：
$\tan B=\frac{\sqrt{5}k}{2k}=\frac{\sqrt{5}}{2}$
因此本题选A。
【答案】
A
【知识点】
锐角三角函数的定义，勾股定理
【点评】
本题属于三角函数基础题型，核心考查学生对直角三角形中各锐角三角函数对应边的关系的掌握程度，通过设参数求边长的方法可以快速求解，熟练掌握三角函数的基本定义是解决这类题的前提。
【难度系数】
0.8
本题是直角三角形中锐角三角函数的基础计算题，解题思路如下：首先回忆锐角三角函数的定义，$\sin A$是$∠ A$的对边与斜边的比值，据此可通过设参数的方式表示出直角三角形的两条边，再利用勾股定理求出第三条边，最后根据$\tan B$的定义（$∠ B$的对边与邻边的比值）代入边长计算即可得到结果。
【解析】
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，根据锐角正弦的定义：
$\sin A=\frac{∠ A的对边}{斜边}=\frac{BC}{AB}=\frac{2}{3}$
设$BC=2k$（$k＞0$），则$AB=3k$，根据勾股定理计算直角边$AC$的长度：
$AC=\sqrt{AB^2-BC^2}=\sqrt{(3k)^2-(2k)^2}=\sqrt{9k^2-4k^2}=\sqrt{5}k$
再根据锐角正切的定义，$\tan B=\frac{∠ B的对边}{∠ B的邻边}=\frac{AC}{BC}$，代入边长得：
$\tan B=\frac{\sqrt{5}k}{2k}=\frac{\sqrt{5}}{2}$
因此本题选A。
【答案】
A
【知识点】
锐角三角函数的定义，勾股定理
【点评】
本题属于三角函数基础题型，核心考查学生对直角三角形中各锐角三角函数对应边的关系的掌握程度，通过设参数求边长的方法可以快速求解，熟练掌握三角函数的基本定义是解决这类题的前提。
【难度系数】
0.8
3. 在$△ ABC$中，$\sin B=\cos(90°-∠ C)=\frac{1}{2}$，那么$△ ABC$是 （
A.等腰三角形；
B.等边三角形；
C.直角三角形；
D.等腰直角三角形。
A
）A.等腰三角形；
B.等边三角形；
C.直角三角形；
D.等腰直角三角形。
答案
3. A.
解析
【分析】
解题时首先利用互余两角的三角函数关系转化已知条件，得到∠C的正弦值，再结合∠B的正弦值，根据特殊角的三角函数值确定∠B和∠C的可能度数，再结合三角形内角和定理排除不符合的情况，最后根据角的关系判断三角形的形状。
【解析】
1. 由互余角的三角函数性质可知：$\cos(90°-∠ C)=\sin∠ C$，结合已知$\cos(90°-∠ C)=\frac{1}{2}$，可得$\sin∠ C=\frac{1}{2}$。
2. 已知$\sin B=\frac{1}{2}$，在三角形内角范围（$0°＜\mathrm{内角}＜180°$）内，正弦值为$\frac{1}{2}$的角为$30°$或$150°$。
3. 结合三角形内角和为$180°$验证：若$∠ B=150°$或$∠ C=150°$，则剩余两个内角之和小于等于$30°$，无法满足另一个角正弦值为$\frac{1}{2}$（最小需要$30°$），因此$∠ B=∠ C=30°$。
4. 因$∠ B=∠ C$，故$△ ABC$为等腰三角形，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
互余角三角函数关系、特殊角的三角函数值、三角形内角和定理
【点评】
本题是三角函数与三角形性质结合的基础题，解题时需注意三角形内角的取值范围，避免因忽略内角和限制导致判断错误，掌握特殊角的三角函数值是解题的关键。
【难度系数】
0.7
解题时首先利用互余两角的三角函数关系转化已知条件，得到∠C的正弦值，再结合∠B的正弦值，根据特殊角的三角函数值确定∠B和∠C的可能度数，再结合三角形内角和定理排除不符合的情况，最后根据角的关系判断三角形的形状。
【解析】
1. 由互余角的三角函数性质可知：$\cos(90°-∠ C)=\sin∠ C$，结合已知$\cos(90°-∠ C)=\frac{1}{2}$，可得$\sin∠ C=\frac{1}{2}$。
2. 已知$\sin B=\frac{1}{2}$，在三角形内角范围（$0°＜\mathrm{内角}＜180°$）内，正弦值为$\frac{1}{2}$的角为$30°$或$150°$。
3. 结合三角形内角和为$180°$验证：若$∠ B=150°$或$∠ C=150°$，则剩余两个内角之和小于等于$30°$，无法满足另一个角正弦值为$\frac{1}{2}$（最小需要$30°$），因此$∠ B=∠ C=30°$。
4. 因$∠ B=∠ C$，故$△ ABC$为等腰三角形，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
互余角三角函数关系、特殊角的三角函数值、三角形内角和定理
【点评】
本题是三角函数与三角形性质结合的基础题，解题时需注意三角形内角的取值范围，避免因忽略内角和限制导致判断错误，掌握特殊角的三角函数值是解题的关键。
【难度系数】
0.7
4. 如图，已知$∠α$的终边$OP⊥ AB$，直线$AB$的表达式为$y=-\sqrt{3}x+\sqrt{3}$，则$\cosα=$（
A.$\frac{1}{2}$；
B.$\frac{\sqrt{2}}{2}$；
C.$\frac{\sqrt{3}}{2}$；
D.$\frac{\sqrt{3}}{3}$.
C
）A.$\frac{1}{2}$；
B.$\frac{\sqrt{2}}{2}$；
C.$\frac{\sqrt{3}}{2}$；
D.$\frac{\sqrt{3}}{3}$.
答案
4. C.
解析
【分析】
要计算cosα的值，首先需要明确∠α的大小，我们可以先从直线AB的解析式入手，先求出A、B两点的坐标，得到线段OA、OB的长度，再利用直角三角形的性质求出∠OAB的度数，结合OP⊥AB的垂直关系推导∠α的度数，最后计算其余弦值即可。
【解析】
1. 求A、B两点坐标：
对于直线AB的表达式$y=-\sqrt{3}x+\sqrt{3}$，
令$y=0$，则$0=-\sqrt{3}x+\sqrt{3}$，解得$x=1$，即点A坐标为$(1,0)$，$OA=1$；
令$x=0$，则$y=\sqrt{3}$，即点B坐标为$(0,\sqrt{3})$，$OB=\sqrt{3}$。
2. 在$Rt△ AOB$中，由勾股定理得：
$AB=\sqrt{OA^2+OB^2}=\sqrt{1^2+(\sqrt{3})^2}=2$。
3. 求$∠ OAB$的度数：
$\cos∠ OAB=\frac{OA}{AB}=\frac{1}{2}$，因此$∠ OAB=60°$。
4. 推导$∠α$的度数：
因为$OP⊥ AB$，所以$∠ APO=90°$，在$Rt△ APO$中，$∠α + ∠ OAB=90°$，因此$∠α=90°-60°=30°$。
5. 计算$\cosα$：
$\cosα=\cos30°=\frac{\sqrt{3}}{2}$。
【答案】
C
【知识点】
一次函数的图象与性质；锐角三角函数；直角三角形的性质
【点评】
本题是一次函数与三角函数的基础综合题，解题的核心是通过直线解析式得到相关点的坐标，再结合直角三角形的边角关系求出所求角的三角函数值，解题思路清晰，侧重对基础知识点的综合运用考查。
【难度系数】
0.7
要计算cosα的值，首先需要明确∠α的大小，我们可以先从直线AB的解析式入手，先求出A、B两点的坐标，得到线段OA、OB的长度，再利用直角三角形的性质求出∠OAB的度数，结合OP⊥AB的垂直关系推导∠α的度数，最后计算其余弦值即可。
【解析】
1. 求A、B两点坐标：
对于直线AB的表达式$y=-\sqrt{3}x+\sqrt{3}$，
令$y=0$，则$0=-\sqrt{3}x+\sqrt{3}$，解得$x=1$，即点A坐标为$(1,0)$，$OA=1$；
令$x=0$，则$y=\sqrt{3}$，即点B坐标为$(0,\sqrt{3})$，$OB=\sqrt{3}$。
2. 在$Rt△ AOB$中，由勾股定理得：
$AB=\sqrt{OA^2+OB^2}=\sqrt{1^2+(\sqrt{3})^2}=2$。
3. 求$∠ OAB$的度数：
$\cos∠ OAB=\frac{OA}{AB}=\frac{1}{2}$，因此$∠ OAB=60°$。
4. 推导$∠α$的度数：
因为$OP⊥ AB$，所以$∠ APO=90°$，在$Rt△ APO$中，$∠α + ∠ OAB=90°$，因此$∠α=90°-60°=30°$。
5. 计算$\cosα$：
$\cosα=\cos30°=\frac{\sqrt{3}}{2}$。
【答案】
C
【知识点】
一次函数的图象与性质；锐角三角函数；直角三角形的性质
【点评】
本题是一次函数与三角函数的基础综合题，解题的核心是通过直线解析式得到相关点的坐标，再结合直角三角形的边角关系求出所求角的三角函数值，解题思路清晰，侧重对基础知识点的综合运用考查。
【难度系数】
0.7
5. 某人沿着坡度为$1:\sqrt{3}$的山坡走了500 m，那么这个人所在的位置升高了（
A.500 m；
B.250 m；
C.$250\sqrt{3}$ m；
D.$\frac{500\sqrt{3}}{3}$ m.
B
）A.500 m；
B.250 m；
C.$250\sqrt{3}$ m；
D.$\frac{500\sqrt{3}}{3}$ m.
答案
5. B.
解析
【分析】
要解决这道题，首先需明确坡度的定义：坡度是坡面的铅直高度与水平宽度的比值。我们可以将山坡转化为直角三角形模型：行走的500m是直角三角形的斜边，铅直升高的高度和水平前进的距离是两条直角边。首先根据坡度设出铅直高度和水平宽度的未知数，再利用勾股定理或三角函数求解铅直高度即可。
【解析】
方法一：利用勾股定理求解
设这个人所在位置升高了$x\ \mathrm{m}$，
∵ 坡度为$1:\sqrt{3}$，即铅直高度:水平宽度$=1:\sqrt{3}$，
∴ 他前进的水平距离为$\sqrt{3}x\ \mathrm{m}$。
根据勾股定理，坡面长度的平方等于两条直角边的平方和，可得：
$x^2 + (\sqrt{3}x)^2 = 500^2$
化简得：$x^2 + 3x^2 = 250000$
$4x^2 = 250000$
$x^2 = 62500$
∵ 高度为正数，
∴ $x = 250$。
方法二：利用三角函数求解
∵ 坡度$i = \tanα = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴ 坡角$α = 30°$。
在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半，斜边为坡面长度500m，
∴ 升高的高度$h = 500×\sin30° = 500×\frac{1}{2} = 250\ \mathrm{m}$。
【答案】
B
【知识点】
坡度的概念；勾股定理；解直角三角形的应用
【点评】
本题是解直角三角形的实际应用类基础题，解题的核心是正确理解坡度的含义，将实际的坡面行走问题转化为直角三角形的边长计算问题求解。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，首先需明确坡度的定义：坡度是坡面的铅直高度与水平宽度的比值。我们可以将山坡转化为直角三角形模型：行走的500m是直角三角形的斜边，铅直升高的高度和水平前进的距离是两条直角边。首先根据坡度设出铅直高度和水平宽度的未知数，再利用勾股定理或三角函数求解铅直高度即可。
【解析】
方法一：利用勾股定理求解
设这个人所在位置升高了$x\ \mathrm{m}$，
∵ 坡度为$1:\sqrt{3}$，即铅直高度:水平宽度$=1:\sqrt{3}$，
∴ 他前进的水平距离为$\sqrt{3}x\ \mathrm{m}$。
根据勾股定理，坡面长度的平方等于两条直角边的平方和，可得：
$x^2 + (\sqrt{3}x)^2 = 500^2$
化简得：$x^2 + 3x^2 = 250000$
$4x^2 = 250000$
$x^2 = 62500$
∵ 高度为正数，
∴ $x = 250$。
方法二：利用三角函数求解
∵ 坡度$i = \tanα = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴ 坡角$α = 30°$。
在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半，斜边为坡面长度500m，
∴ 升高的高度$h = 500×\sin30° = 500×\frac{1}{2} = 250\ \mathrm{m}$。
【答案】
B
【知识点】
坡度的概念；勾股定理；解直角三角形的应用
【点评】
本题是解直角三角形的实际应用类基础题，解题的核心是正确理解坡度的含义，将实际的坡面行走问题转化为直角三角形的边长计算问题求解。
【难度系数】
0.8
6. 如图，甲在点A处望向楼顶D处的仰角为$60°$，当他在此处仰头$45°$看到一架直升机正从点B处沿水平BC方向飞行，此刻他立即在原地用时2 s拿出手机开始录像。已知录制开始时直升机已驶至甲正上方点C处，若直升机继续在同一水平高度上匀速飞行，那么它被大楼遮住之前，能录像的时长为（
A.2 s；
B.$2\sqrt{3}$ s；
C.$\dfrac{2\sqrt{3}}{3}$ s；
D.无法计算。
C
）A.2 s；
B.$2\sqrt{3}$ s；
C.$\dfrac{2\sqrt{3}}{3}$ s；
D.无法计算。
答案
6. C.
解析
【分析】
要计算直升机被大楼遮住前的录像时长，需先明确直升机匀速飞行，速度不变，只要求出从C点到遮挡点的水平距离，再除以飞行速度即可。首先利用45°仰角对应的等腰直角三角形性质，得到竖直高度AC与BC段路程的关系，结合B到C的飞行时间推出AC和速度的关系；再利用60°仰角的直角三角形边角关系求出C到遮挡点的路程，最终计算出录像时长。
【解析】
设直升机的飞行速度为$ v $。
1. 由题意可知，BC为水平飞行路线，C在A的正上方，因此$ AC ⊥ BC $。
因为A处观测B的仰角为45°，所以$ \mathrm{Rt}△ ACB $为等腰直角三角形，可得$ AC=BC $。
已知直升机从B飞到C用时2s，因此$ BC=2v $，故$ AC=2v $。
2. 延长视线AD交BC于点E，直升机飞到E点时恰好被大楼遮挡，无法继续录像。
A处观测楼顶D的仰角为60°，即视线AE与水平线的夹角为60°，在$ \mathrm{Rt}△ ACE $中：
$ \tan60°=\frac{AC}{CE} $
代入$ AC=2v $、$ \tan60°=\sqrt{3} $，可得：
$ CE=\frac{AC}{\tan60°}=\frac{2v}{\sqrt{3}}=\frac{2\sqrt{3}v}{3} $
3. 计算录像时长：
$ t=\frac{CE}{v}=\frac{\frac{2\sqrt{3}v}{3}}{v}=\frac{2\sqrt{3}}{3}\ \mathrm{s} $
【答案】
C
【知识点】
解直角三角形，仰角的应用，行程问题
【点评】
本题结合生活场景考查解直角三角形的实际应用，解题关键是准确理解仰角的定义，以公共边AC为桥梁建立两个直角三角形的等量关系，计算中飞行速度可直接约去，无需单独求解，是解直角三角形应用的典型题型。
【难度系数】
0.6
要计算直升机被大楼遮住前的录像时长，需先明确直升机匀速飞行，速度不变，只要求出从C点到遮挡点的水平距离，再除以飞行速度即可。首先利用45°仰角对应的等腰直角三角形性质，得到竖直高度AC与BC段路程的关系，结合B到C的飞行时间推出AC和速度的关系；再利用60°仰角的直角三角形边角关系求出C到遮挡点的路程，最终计算出录像时长。
【解析】
设直升机的飞行速度为$ v $。
1. 由题意可知，BC为水平飞行路线，C在A的正上方，因此$ AC ⊥ BC $。
因为A处观测B的仰角为45°，所以$ \mathrm{Rt}△ ACB $为等腰直角三角形，可得$ AC=BC $。
已知直升机从B飞到C用时2s，因此$ BC=2v $，故$ AC=2v $。
2. 延长视线AD交BC于点E，直升机飞到E点时恰好被大楼遮挡，无法继续录像。
A处观测楼顶D的仰角为60°，即视线AE与水平线的夹角为60°，在$ \mathrm{Rt}△ ACE $中：
$ \tan60°=\frac{AC}{CE} $
代入$ AC=2v $、$ \tan60°=\sqrt{3} $，可得：
$ CE=\frac{AC}{\tan60°}=\frac{2v}{\sqrt{3}}=\frac{2\sqrt{3}v}{3} $
3. 计算录像时长：
$ t=\frac{CE}{v}=\frac{\frac{2\sqrt{3}v}{3}}{v}=\frac{2\sqrt{3}}{3}\ \mathrm{s} $
【答案】
C
【知识点】
解直角三角形，仰角的应用，行程问题
【点评】
本题结合生活场景考查解直角三角形的实际应用，解题关键是准确理解仰角的定义，以公共边AC为桥梁建立两个直角三角形的等量关系，计算中飞行速度可直接约去，无需单独求解，是解直角三角形应用的典型题型。
【难度系数】
0.6
