1.如图,在等边三角形ABC中,BD⊥AC于点D,若AB=8,则AD= ()

A.1
B.2
C.4
D.8

第1题图 第2题图

1.C

【分析】
解题时首先回忆等边三角形的性质：等边三角形三条边长度相等，同时等边三角形是特殊的等腰三角形，满足等腰三角形“三线合一”的性质，即等腰三角形底边上的高、底边上的中线、顶角的角平分线互相重合。本题中BD是AC边上的高，由此可推出D是AC的中点，先求出AC的长度，再计算AD的长度即可。
【解析】
解：
∵△ABC是等边三角形，
∴AC=AB=8，
又
∵BD⊥AC，根据等边三角形三线合一的性质，BD是AC边上的中线，
∴D为AC的中点，
∴AD=$\frac{1}{2}$AC=$\frac{1}{2}$×8=4。
故选：C。
【答案】
C
【知识点】
等边三角形的性质；三线合一
【点评】
本题是基础题型，核心是利用等边三角形的特殊性质简化计算，熟练掌握相关性质即可快速得到答案。
【难度系数】
0.9

2. 如图，$AB // CD$，$△ ACE$为等边三角形，$∠ DCE=40°$，则$∠ EAB$等于（）

A.$40°$
B.$30°$
C.$20°$
D.$15°$

2.C

【分析】
解题时首先结合已知条件联想对应性质：看到$AB// CD$，可想到平行线的同旁内角互补的性质，得到$∠ ACD$与$∠ CAB$的和为$180°$；看到等边三角形$△ ACE$，可想到等边三角形的每个内角均为$60°$。我们可以先求出$∠ ACD$的度数，再代入平行线性质求出$∠ CAB$的度数，最后用$∠ CAB$减去等边三角形的内角$∠ CAE$，即可得到$∠ EAB$的度数。
【解析】
解：$\because △ ACE$是等边三角形
$\therefore ∠ ACE=∠ CAE=60°$（等边三角形的三个内角都相等，都等于$60°$）
$\because ∠ DCE=40°$
$\therefore ∠ ACD=∠ DCE + ∠ ACE = 40°+60°=100°$
又$\because AB// CD$
$\therefore ∠ ACD + ∠ CAB = 180°$（两直线平行，同旁内角互补）
$\therefore ∠ CAB=180°-100°=80°$
$\therefore ∠ EAB=∠ CAB - ∠ CAE = 80°-60°=20°$
【答案】
C
【知识点】
1. 平行线的性质
2. 等边三角形的性质
3. 角的和差计算
【点评】
本题是基础的几何角度计算题，重点考察平行线性质和等边三角形性质的综合运用，解题的核心是理清图中各个角之间的和差关系，掌握基础性质就能顺利求解。
【难度系数】
0.8

3. 如图，在△ABC中，BC的垂直平分线分别交BC，AB于点E，F. 若△AFC是等边三角形，则∠B=°。

3.30

【分析】
解题时先从已知条件入手，首先看到EF是BC的垂直平分线，根据垂直平分线的性质可得FB=FC，再由等边对等角得到∠B=∠FCB；接着已知△AFC是等边三角形，根据等边三角形的性质可得∠AFC=60°；最后观察到∠AFC是△BFC的外角，利用三角形外角的性质即可建立角的等量关系求出∠B的度数。
【解析】
解：
∵EF是BC的垂直平分线，点F在EF上，
∴FB=FC，
∴∠B=∠FCB。
∵△AFC是等边三角形，
∴∠AFC=60°。
∵∠AFC是△BFC的外角，
∴∠AFC=∠B + ∠FCB = 2∠B，
∴2∠B=60°，
解得∠B=30°。
【答案】
30
【知识点】
线段垂直平分线的性质、等边三角形的性质、三角形外角的性质
【点评】
本题是基础几何计算题，解题的关键是熟练掌握相关几何性质，找到角之间的等量关系，此类题型是几何部分的常考基础题型。
【难度系数】
0.7

4.如图，D，E分别是等边三角形ABC的边BC，CA的延长线上的点，且$CD=AE$，连接AD，BE
(1)求证：$BE=AD$；
(2)若$∠D=40°$，求$∠EBC$的度数.

4.(1)证明:
∵△ABC是等边三角形，
∴∠BAC=∠ACB=60°,AC=AB.
∴∠BAE=∠ACD=120°.
在△ABE和△CAD中，$\begin{cases} AE=CD, \\ ∠BAE=∠CAD, \\ BA=AC, \end{cases}$
∴△ABE≌△CAD(SAS),
∴BE=AD.
(2)解:
∵△ABE≌△CAD,
∴∠EBA=∠DAC.
∵∠ECB=60°,∠D=40°,
∴∠EBA=∠DAC=60°-40°=20°.
∴∠EBC=∠EBA+∠ABC=20°+60°=80°.

【分析】
(1)要证明两条线段BE和AD相等，通常可通过证明两条线段所在的三角形全等来推导。首先利用等边三角形的性质可得AB=AC，∠BAC=∠ACB=60°，由此可推出两个补角∠BAE=∠ACD=120°，结合已知条件AE=CD，即可用“SAS”判定△ABE≌△CAD，再根据全等三角形对应边相等即可得到BE=AD。
(2)由(1)中的全等结论可得对应角∠EBA=∠DAC，再根据三角形外角的性质，△ACD中∠ACB是外角，等于∠D与∠DAC的和，代入已知角度即可求出∠DAC的度数，也就得到了∠EBA的度数，最后结合等边三角形的∠ABC=60°，相加即可得到∠EBC的度数。
【解析】
(1)证明：
∵△ABC是等边三角形，
∴∠BAC=∠ACB=60°，AC=AB，
∴∠BAE=∠ACD=120°，
在△ABE和△CAD中，
$\begin{cases} AE=CD, \\ ∠BAE=∠ACD, \\ BA=AC, \end{cases}$
∴△ABE≌△CAD(SAS)，
∴BE=AD。
(2)解：
∵△ABE≌△CAD，
∴∠EBA=∠DAC，
∵∠ACB是△ACD的外角，∠ACB=60°，∠D=40°，
∴∠EBA=∠DAC=∠ACB-∠D=60°-40°=20°，
∴∠EBC=∠EBA+∠ABC=20°+60°=80°。
【答案】
(1)已证BE=AD；(2)$\boldsymbol{80°}$
【知识点】
等边三角形的性质；全等三角形的判定与性质；三角形外角的性质
【点评】
本题是等边三角形章节的基础典型题，将等边三角形的边角性质、全等三角形的判定和角度计算结合考察，解题的关键是准确找到全等三角形的对应边角，熟练运用相关性质推导求解。
【难度系数】
0.7

5. 下列条件不能得到等边三角形的是 （）

A.有两个内角是 $60°$ 的三角形
B.三个外角都相等的三角形
C.有两个角相等的等腰三角形
D.有一个角是 $60°$ 的等腰三角形

5.C

【分析】
本题考查等边三角形的判定，解题思路为：首先回忆等边三角形的判定定理、三角形内角和及外角和、等腰三角形的性质，再逐一将各选项对应相关知识点验证，判断能否推出等边三角形，最终选出符合要求的选项。
【解析】
我们结合等边三角形的判定规则逐一分析选项：
1. 分析选项A：三角形内角和为$180°$，若两个内角为$60°$，则第三个内角为$180°-60°-60°=60°$，三个内角均为$60°$，该三角形是等边三角形，不符合题意。
2. 分析选项B：三角形外角和为$360°$，若三个外角相等，则每个外角为$360°÷3=120°$，对应每个内角为$180°-120°=60°$，三个内角均为$60°$，该三角形是等边三角形，不符合题意。
3. 分析选项C：等腰三角形本身就有两个底角相等，例如等腰直角三角形顶角为$90°$，两个底角均为$45°$，满足“有两个角相等的等腰三角形”，但不是等边三角形，因此该条件不能得到等边三角形，符合题意。
4. 分析选项D：根据等边三角形的判定定理，有一个角是$60°$的等腰三角形是等边三角形，不符合题意。
综上，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
等边三角形的判定、等腰三角形的性质、三角形内角和与外角和
【点评】
本题属于基础概念辨析题，核心是区分等腰三角形和等边三角形的判定差异，解答这类题时可以通过举反例的方式快速验证错误选项，避免混淆基础概念。
【难度系数】
0.8

6.如图,已知线段AB,分别以点A,B为圆心,大于$\frac{1}{2}AB$长为半径画弧,两弧相交于点C,Q,连接CQ与AB相交于点D,连接AC,BC.那么:
(1)$∠ADC=$度;
(2)当线段$AB=4,∠ACB=60°$时,$∠ACD=$度,$△ABC$的周长为.

6.(1)90 (2)30 12

【分析】
首先识别作图类型：本题的尺规作图是作线段AB的垂直平分线，因此CQ垂直平分AB，可直接推导第一问的角度；第二问先由作图得AC=BC，结合已知∠ACB=60°可判定△ABC是等边三角形，再利用等腰（等边）三角形三线合一的性质求角度，结合等边三角形三边相等的性质计算周长即可。
【解析】
(1) 由尺规作图的原理可知，直线CQ是线段AB的垂直平分线，因此CQ⊥AB，可得∠ADC=90°。
(2) ①由作图方法可知，AC=BC，即△ABC是等腰三角形，又已知∠ACB=60°，根据“有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形”，可得△ABC是等边三角形。根据等边三角形三线合一的性质，CQ平分∠ACB，因此∠ACD=$\frac{1}{2}$∠ACB=$\frac{1}{2}$×60°=30°。
②等边三角形三边相等，已知AB=4，因此AC=BC=AB=4，△ABC的周长为AB+AC+BC=4×3=12。
【答案】
(1)90；(2)30，12
【知识点】
线段垂直平分线的性质；等边三角形的判定与性质；等腰三角形三线合一
【点评】
本题结合基础尺规作图考查特殊三角形的相关性质，解题的关键是明确作线段垂直平分线的作图原理，熟练掌握等边三角形的判定和三线合一的性质，是需要熟练掌握的基础几何题型。
【难度系数】
0.8

7.已知$∠ AOB=30°$且$∠ AOB$内有一点$P$，点$P$关于$OA$，$OB$的对称点分别为$E$，$F$，则$△ EOF$的形状是________.

7.等边三角形

【分析】
要解这道题，首先结合轴对称的性质思考：关于某条直线对称的两个点，对应线段相等、对应角相等。第一步先连接OP，利用点E、F分别是P关于OA、OB的对称点，推出OE=OP、OF=OP，得到OE=OF，确定△EOF是等腰三角形；第二步再利用对称得到的等角关系，计算出∠EOF的度数；最后根据等边三角形的判定定理，即可确定△EOF的形状。
【解析】
解：连接OP
∵ 点E是点P关于OA的对称点
∴ OE = OP，∠AOE = ∠AOP
∵ 点F是点P关于OB的对称点
∴ OF = OP，∠BOF = ∠BOP
∴ OE = OF，即△EOF是等腰三角形
又
∵ ∠AOB = ∠AOP + ∠BOP = 30°
∴ ∠EOF = ∠AOE + ∠AOB + ∠BOF = ∠AOP + 30° + ∠BOP = (∠AOP + ∠BOP) + 30° = 30° + 30° = 60°
根据“有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形”，可得△EOF是等边三角形。
【答案】
等边三角形
【知识点】
轴对称的性质，角的和差计算，等边三角形的判定
【点评】
本题是几何基础常考题，解题核心是利用轴对称的性质得到相等的边和角，再结合等边三角形的判定定理得出结论，是轴对称与特殊三角形判定结合的典型题型。
【难度系数】
0.7

8.如图，$△ ABC$是等边三角形，AD是高，且AB是DE的垂直平分线.求证:$△ ADE$是等边三角形.

8.证明:
∵AB是DE的垂直平分线,
∴AE=AD.
∴△ADE是等腰三角形.
∵AB⊥DE,
∴∠ADE=90°-∠BAD.
∵AD⊥BD,
∴∠B=90°-∠BAD.
∴∠ADE=∠B.
∵△ABC是等边三角形,
∴∠B=60°.
∴∠ADE=∠B=60°.
∴△ADE是等边三角形.

【分析】
要证明△ADE是等边三角形，可优先利用“有一个内角为60°的等腰三角形是等边三角形”这一判定方法推导。首先根据AB是DE的垂直平分线，利用线段垂直平分线的性质可得AE=AD，即△ADE是等腰三角形；接下来只需证明△ADE的一个内角为60°即可，结合等边△ABC的性质得∠B=60°，再利用同角的余角相等推出∠ADE=∠B=60°，即可完成证明。
【解析】
证明：
∵AB是DE的垂直平分线，
∴AE=AD，
∴△ADE是等腰三角形。
∵AB⊥DE，
∴∠ADE=90°-∠BAD。
∵AD是△ABC的高，
∴AD⊥BC，
∴∠B=90°-∠BAD，
∴∠ADE=∠B。
∵△ABC是等边三角形，
∴∠B=60°，
∴∠ADE=∠B=60°，
∴△ADE是等边三角形。
【答案】
∵AB是DE的垂直平分线,
∴AE=AD.
∴△ADE是等腰三角形.
∵AB⊥DE,
∴∠ADE=90°-∠BAD.
∵AD⊥BD,
∴∠B=90°-∠BAD.
∴∠ADE=∠B.
∵△ABC是等边三角形,
∴∠B=60°.
∴∠ADE=∠B=60°.
∴△ADE是等边三角形.
【知识点】
线段垂直平分线的性质，等边三角形的性质，等边三角形的判定
【点评】
本题属于基础几何证明题，综合考查了线段垂直平分线性质、等边三角形的性质与判定，解题的关键是先确定△ADE为等腰三角形，再推导得到60°的内角，借助对应的判定定理完成证明，需熟练掌握相关定理的应用条件。
【难度系数】
0.75