登录
例1 如图,将一个菱形绕O点连续两次顺时针旋转$120°$,画出旋转后的图形.
【思路导析】抓住旋转中心、旋转方向和旋转角画图.
【请你解答】
【思路导析】抓住旋转中心、旋转方向和旋转角画图.
【请你解答】
答案
解：
作图步骤如下：
1. 标记原菱形的4个顶点，记靠近点O的顶点为A，其余三个顶点依次为B、C、D，分别连接OA、OB、OC、OD；
2. 以点O为旋转中心，将线段OA、OB、OC、OD沿顺时针方向分别旋转120°，得到对应线段OA₁、OB₁、OC₁、OD₁，顺次连接A₁、B₁、C₁、D₁，得到第一次顺时针旋转120°后的菱形；
3. 再次以点O为旋转中心，将第一次旋转得到的菱形的各顶点与O的连线沿顺时针方向旋转120°，得到第二次旋转后的对应点A₂、B₂、C₂、D₂，顺次连接各点，得到第二次顺时针旋转120°后的菱形。
最终由原菱形、两次旋转后得到的两个全等菱形共同组成的绕点O分布的三瓣图案，即为所求图形。
作图步骤如下：
1. 标记原菱形的4个顶点，记靠近点O的顶点为A，其余三个顶点依次为B、C、D，分别连接OA、OB、OC、OD；
2. 以点O为旋转中心，将线段OA、OB、OC、OD沿顺时针方向分别旋转120°，得到对应线段OA₁、OB₁、OC₁、OD₁，顺次连接A₁、B₁、C₁、D₁，得到第一次顺时针旋转120°后的菱形；
3. 再次以点O为旋转中心，将第一次旋转得到的菱形的各顶点与O的连线沿顺时针方向旋转120°，得到第二次旋转后的对应点A₂、B₂、C₂、D₂，顺次连接各点，得到第二次顺时针旋转120°后的菱形。
最终由原菱形、两次旋转后得到的两个全等菱形共同组成的绕点O分布的三瓣图案，即为所求图形。
解析
【分析】
解决旋转作图问题首先要明确旋转三要素：本题旋转中心是点O，旋转方向为顺时针，单次旋转角为120°。旋转不改变图形的形状和大小，因此只需找到原图形关键点（菱形的四个顶点）旋转后的对应点，顺次连接对应点即可得到旋转后的图形。首先标记原菱形的四个顶点，将各顶点与旋转中心O相连，按要求将连线顺时针旋转120°，利用“旋转后对应点到旋转中心的距离与原顶点到旋转中心的距离相等”的性质，找到第一次旋转后的各对应点，得到第一次旋转后的菱形；再用相同方法对第一次旋转后的菱形做第二次旋转操作即可。
【解析】
根据旋转的性质按步骤作图：
1. 先标记原菱形的4个顶点，记靠近点O的顶点为A，其余三个顶点依次记为B、C、D，分别连接OA、OB、OC、OD；
2. 以点O为旋转中心，将OA、OB、OC、OD沿顺时针方向分别旋转120°，保证旋转后线段长度和原线段长度相等，得到对应线段OA₁、OB₁、OC₁、OD₁，顺次连接A₁、B₁、C₁、D₁，得到第一次顺时针旋转120°后的菱形；
3. 再次以O为旋转中心，将第一次旋转得到的菱形的四个顶点与O的连线沿顺时针方向旋转120°，得到对应点A₂、B₂、C₂、D₂，顺次连接各对应点，得到第二次顺时针旋转120°后的菱形。
【答案】
作图步骤如下：
1. 标记原菱形的4个顶点，记靠近点O的顶点为A，其余三个顶点依次为B、C、D，分别连接OA、OB、OC、OD；
2. 以点O为旋转中心，将线段OA、OB、OC、OD沿顺时针方向分别旋转120°，得到对应线段OA₁、OB₁、OC₁、OD₁，顺次连接A₁、B₁、C₁、D₁，得到第一次顺时针旋转120°后的菱形；
3. 再次以点O为旋转中心，将第一次旋转得到的菱形的各顶点与O的连线沿顺时针方向旋转120°，得到第二次旋转后的对应点A₂、B₂、C₂、D₂，顺次连接各点，得到第二次顺时针旋转120°后的菱形。
最终由原菱形、两次旋转后得到的两个全等菱形共同组成的绕点O分布的三瓣图案，即为所求图形。
【知识点】
旋转的三要素；旋转的性质；旋转作图
【点评】
本题是旋转作图的基础题型，核心考察旋转相关概念和性质的实际应用，通过找关键点对应点完成作图，是掌握旋转作图方法的典型练习题。
【难度系数】
0.8
解决旋转作图问题首先要明确旋转三要素：本题旋转中心是点O，旋转方向为顺时针，单次旋转角为120°。旋转不改变图形的形状和大小，因此只需找到原图形关键点（菱形的四个顶点）旋转后的对应点，顺次连接对应点即可得到旋转后的图形。首先标记原菱形的四个顶点，将各顶点与旋转中心O相连，按要求将连线顺时针旋转120°，利用“旋转后对应点到旋转中心的距离与原顶点到旋转中心的距离相等”的性质，找到第一次旋转后的各对应点，得到第一次旋转后的菱形；再用相同方法对第一次旋转后的菱形做第二次旋转操作即可。
【解析】
根据旋转的性质按步骤作图：
1. 先标记原菱形的4个顶点，记靠近点O的顶点为A，其余三个顶点依次记为B、C、D，分别连接OA、OB、OC、OD；
2. 以点O为旋转中心，将OA、OB、OC、OD沿顺时针方向分别旋转120°，保证旋转后线段长度和原线段长度相等，得到对应线段OA₁、OB₁、OC₁、OD₁，顺次连接A₁、B₁、C₁、D₁，得到第一次顺时针旋转120°后的菱形；
3. 再次以O为旋转中心，将第一次旋转得到的菱形的四个顶点与O的连线沿顺时针方向旋转120°，得到对应点A₂、B₂、C₂、D₂，顺次连接各对应点，得到第二次顺时针旋转120°后的菱形。
【答案】
作图步骤如下：
1. 标记原菱形的4个顶点，记靠近点O的顶点为A，其余三个顶点依次为B、C、D，分别连接OA、OB、OC、OD；
2. 以点O为旋转中心，将线段OA、OB、OC、OD沿顺时针方向分别旋转120°，得到对应线段OA₁、OB₁、OC₁、OD₁，顺次连接A₁、B₁、C₁、D₁，得到第一次顺时针旋转120°后的菱形；
3. 再次以点O为旋转中心，将第一次旋转得到的菱形的各顶点与O的连线沿顺时针方向旋转120°，得到第二次旋转后的对应点A₂、B₂、C₂、D₂，顺次连接各点，得到第二次顺时针旋转120°后的菱形。
最终由原菱形、两次旋转后得到的两个全等菱形共同组成的绕点O分布的三瓣图案，即为所求图形。
【知识点】
旋转的三要素；旋转的性质；旋转作图
【点评】
本题是旋转作图的基础题型，核心考察旋转相关概念和性质的实际应用，通过找关键点对应点完成作图，是掌握旋转作图方法的典型练习题。
【难度系数】
0.8
例2 如图,在等边三角形ABC中,AC=9,点O在AC上,且AO=3,P是线段AB上一点,连接OP,将线段OP绕点O逆时针旋转$60°$,若点P刚好落在线段BC上的点D处,试求AP的长.
【思路导析】连接PD,$△ DOP$为等边三角形,证明$△ COD ≌ △ APO$即可.
【请你解答】
互动探究 探究解题规律 总结方法技巧
【思路导析】连接PD,$△ DOP$为等边三角形,证明$△ COD ≌ △ APO$即可.
【请你解答】
互动探究 探究解题规律 总结方法技巧
答案
解：
连接PD，
∵线段OP绕点O逆时针旋转60°得到OD，
∴OP=OD，∠POD=60°，
∴△DOP为等边三角形。
∵△ABC是等边三角形，
∴∠A=∠C=60°，
∴∠AOP + ∠APO = 180° - ∠A = 120°，
又∵∠AOP + ∠COD = 180° - ∠POD = 180° - 60° = 120°，
∴∠APO = ∠COD。
在△APO和△COD中：
$\{\begin{array}{l}∠A = ∠C \\∠APO = ∠COD \\OP = DO\end{array} $
∴△APO ≌ △COD（AAS），
∴AP = CO。
∵AC=9，AO=3，
∴CO = AC - AO = 9 - 3 = 6，
∴AP=6。
连接PD，
∵线段OP绕点O逆时针旋转60°得到OD，
∴OP=OD，∠POD=60°，
∴△DOP为等边三角形。
∵△ABC是等边三角形，
∴∠A=∠C=60°，
∴∠AOP + ∠APO = 180° - ∠A = 120°，
又∵∠AOP + ∠COD = 180° - ∠POD = 180° - 60° = 120°，
∴∠APO = ∠COD。
在△APO和△COD中：
$\{\begin{array}{l}∠A = ∠C \\∠APO = ∠COD \\OP = DO\end{array} $
∴△APO ≌ △COD（AAS），
∴AP = CO。
∵AC=9，AO=3，
∴CO = AC - AO = 9 - 3 = 6，
∴AP=6。
解析
【分析】
解题时先根据旋转的性质，得到旋转后对应边OP=OD，且旋转角∠POD=60°，由此可判定△DOP为等边三角形。再结合等边△ABC内角均为60°的性质，通过平角定义和三角形内角和推导角的等量关系，找到△APO和△COD全等的判定条件，利用全等三角形对应边相等的性质，将求AP的长度转化为求CO的长度，最后根据已知的AC、AO的长度计算CO即可得到AP的长。
【解析】
连接PD，
∵线段OP绕点O逆时针旋转60°得到OD，
∴OP=OD，∠POD=60°，
∴△DOP为等边三角形。
∵△ABC是等边三角形，
∴∠A=∠C=60°，
∴∠AOP + ∠APO = 180° - ∠A = 120°，
又
∵∠AOP + ∠COD = 180° - ∠POD = 180° - 60° = 120°，
∴∠APO = ∠COD。
在△APO和△COD中：
$\{\begin{array}{l}∠A = ∠C \\∠APO = ∠COD \\OP = DO\end{array} $
∴△APO ≌ △COD（AAS），
∴AP = CO。
∵AC=9，AO=3，
∴CO = AC - AO = 9 - 3 = 6，
∴AP=6。
【答案】
AP的长为6
【知识点】
旋转的性质；等边三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质
【点评】
本题是旋转类几何的典型题型，解题核心是利用旋转的性质得到等边三角形，再通过角的等量代换构造全等三角形，将未知线段转化为已知线段求解，能很好地锻炼几何综合推导能力。
【难度系数】
0.6
解题时先根据旋转的性质，得到旋转后对应边OP=OD，且旋转角∠POD=60°，由此可判定△DOP为等边三角形。再结合等边△ABC内角均为60°的性质，通过平角定义和三角形内角和推导角的等量关系，找到△APO和△COD全等的判定条件，利用全等三角形对应边相等的性质，将求AP的长度转化为求CO的长度，最后根据已知的AC、AO的长度计算CO即可得到AP的长。
【解析】
连接PD，
∵线段OP绕点O逆时针旋转60°得到OD，
∴OP=OD，∠POD=60°，
∴△DOP为等边三角形。
∵△ABC是等边三角形，
∴∠A=∠C=60°，
∴∠AOP + ∠APO = 180° - ∠A = 120°，
又
∵∠AOP + ∠COD = 180° - ∠POD = 180° - 60° = 120°，
∴∠APO = ∠COD。
在△APO和△COD中：
$\{\begin{array}{l}∠A = ∠C \\∠APO = ∠COD \\OP = DO\end{array} $
∴△APO ≌ △COD（AAS），
∴AP = CO。
∵AC=9，AO=3，
∴CO = AC - AO = 9 - 3 = 6，
∴AP=6。
【答案】
AP的长为6
【知识点】
旋转的性质；等边三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质
【点评】
本题是旋转类几何的典型题型，解题核心是利用旋转的性质得到等边三角形，再通过角的等量代换构造全等三角形，将未知线段转化为已知线段求解，能很好地锻炼几何综合推导能力。
【难度系数】
0.6
例 3 如图,在$△ ABC$中,$∠ BAC = 120°$,以$BC$为边向外作等边三角形$BCD$,把$△ ABD$绕点$D$按顺时针方向旋转$60°$后得到$△ ECD$.若$AB = 5$,$AC = 3$,求$∠ BAD$的度数与$AD$的长.
【探究点拨】只要证明$△ ADE$是等边三角形,即可推出$∠ EAD = 60°$,$AD = AE$,则$∠ BAD = ∠ BAC - ∠ CAD = 60°$,$AD = AE = AC + CE$.
【规范解答】$\because △ ABD ≌ △ ECD$,
$\therefore AD = DE$,$∠ DBA = ∠ DCE$,
$\therefore ∠ BDC = ∠ ADE = 60°$,$∠ ABD = ∠ ECD$,
$\because ∠ BAC = 120°$,$∠ BDC = 60°$,
$\therefore ∠ BAC + ∠ BDC = 180°$,
$\therefore ∠ ABD + ∠ ACD = 180°$,
$\therefore ∠ ACD + ∠ ECD = 180°$,
$\therefore A,C,E$三点共线,
$\therefore △ ADE$是等边三角形,
$\therefore ∠ EAD = 60°$,$AD = AE$,
$\therefore ∠ BAD = ∠ BAC - ∠ CAD = 60°$,
$\therefore AD = AE = AC + CE = AC + AB = 3 + 5 = 8$.
【探究点拨】只要证明$△ ADE$是等边三角形,即可推出$∠ EAD = 60°$,$AD = AE$,则$∠ BAD = ∠ BAC - ∠ CAD = 60°$,$AD = AE = AC + CE$.
【规范解答】$\because △ ABD ≌ △ ECD$,
$\therefore AD = DE$,$∠ DBA = ∠ DCE$,
$\therefore ∠ BDC = ∠ ADE = 60°$,$∠ ABD = ∠ ECD$,
$\because ∠ BAC = 120°$,$∠ BDC = 60°$,
$\therefore ∠ BAC + ∠ BDC = 180°$,
$\therefore ∠ ABD + ∠ ACD = 180°$,
$\therefore ∠ ACD + ∠ ECD = 180°$,
$\therefore A,C,E$三点共线,
$\therefore △ ADE$是等边三角形,
$\therefore ∠ EAD = 60°$,$AD = AE$,
$\therefore ∠ BAD = ∠ BAC - ∠ CAD = 60°$,
$\therefore AD = AE = AC + CE = AC + AB = 3 + 5 = 8$.
答案
解：
由旋转的性质可知，$△ ABD ≌ △ ECD$，
$\therefore AD=DE$，$AB=CE=5$，$∠ ABD = ∠ ECD$。
$\because △ BCD$是等边三角形，
$\therefore ∠ BDC=60°$，
$\therefore ∠ ADE = ∠ ADC + ∠ EDC = ∠ ADC + ∠ ADB = ∠ BDC = 60°$。
$\because ∠ BAC=120°$，$∠ BDC=60°$，四边形$ABDC$内角和为$360°$，
$\therefore ∠ ABD + ∠ ACD = 360° - ∠ BAC - ∠ BDC = 180°$，
将$∠ ABD = ∠ ECD$代入得：$∠ ACD + ∠ ECD = 180°$，
$\therefore A,C,E$三点共线。
又$\because AD=DE$，$∠ ADE=60°$，
$\therefore △ ADE$是等边三角形，
$\therefore ∠ EAD=60°$，$AD=AE$。
$\therefore ∠ BAD = ∠ BAC - ∠ EAD = 120° - 60° = 60°$，
$AD = AE = AC + CE = AC + AB = 3 + 5 = 8$。
答：$∠ BAD$的度数为$60°$，$AD$的长为$8$。
由旋转的性质可知，$△ ABD ≌ △ ECD$，
$\therefore AD=DE$，$AB=CE=5$，$∠ ABD = ∠ ECD$。
$\because △ BCD$是等边三角形，
$\therefore ∠ BDC=60°$，
$\therefore ∠ ADE = ∠ ADC + ∠ EDC = ∠ ADC + ∠ ADB = ∠ BDC = 60°$。
$\because ∠ BAC=120°$，$∠ BDC=60°$，四边形$ABDC$内角和为$360°$，
$\therefore ∠ ABD + ∠ ACD = 360° - ∠ BAC - ∠ BDC = 180°$，
将$∠ ABD = ∠ ECD$代入得：$∠ ACD + ∠ ECD = 180°$，
$\therefore A,C,E$三点共线。
又$\because AD=DE$，$∠ ADE=60°$，
$\therefore △ ADE$是等边三角形，
$\therefore ∠ EAD=60°$，$AD=AE$。
$\therefore ∠ BAD = ∠ BAC - ∠ EAD = 120° - 60° = 60°$，
$AD = AE = AC + CE = AC + AB = 3 + 5 = 8$。
答：$∠ BAD$的度数为$60°$，$AD$的长为$8$。
解析
【分析】
解题时首先从已知的旋转条件入手，回忆旋转的性质：旋转前后的三角形全等，对应边、对应角相等，旋转角为60°。接下来要计算AD的长度，已知AB和AC的长，需要将三者建立联系，因此要证明A、C、E三点共线，把AE转化为AC与CE的和，而CE和AB是全等三角形的对应边，长度相等。再结合旋转得到的AD=DE，旋转角∠ADE=60°，可证明△ADE是等边三角形，即可得到AD=AE，且∠EAD=60°，最后用∠BAC的度数减去∠EAD的度数就能求出∠BAD的度数。
【解析】
由旋转的性质可知，$△ ABD ≌ △ ECD$，
$\therefore AD=DE$，$AB=CE=5$，$∠ ABD = ∠ ECD$。
$\because △ BCD$是等边三角形，
$\therefore ∠ BDC=60°$，
$\therefore ∠ ADE = ∠ ADC + ∠ EDC = ∠ ADC + ∠ ADB = ∠ BDC = 60°$。
$\because ∠ BAC=120°$，$∠ BDC=60°$，四边形$ABDC$内角和为$360°$，
$\therefore ∠ ABD + ∠ ACD = 360° - ∠ BAC - ∠ BDC = 180°$，
将$∠ ABD = ∠ ECD$代入得：$∠ ACD + ∠ ECD = 180°$，
$\therefore A,C,E$三点共线。
又$\because AD=DE$，$∠ ADE=60°$，
$\therefore △ ADE$是等边三角形，
$\therefore ∠ EAD=60°$，$AD=AE$。
$\therefore ∠ BAD = ∠ BAC - ∠ EAD = 120° - 60° = 60°$，
$AD = AE = AC + CE = AC + AB = 3 + 5 = 8$。
【答案】
$∠ BAD$的度数为$60°$，$AD$的长为$8$。
【知识点】
旋转的性质，等边三角形的判定与性质，全等三角形的性质
【点评】
本题是旋转变换的典型综合题，核心是通过旋转实现边角的等量转化，解题的关键是证明三点共线以及$△ ADE$为等边三角形，从而将未知线段转化为已知线段的和，这类题型要熟练掌握利用旋转构造全等、转化边角的解题思路。
【难度系数】
0.6
解题时首先从已知的旋转条件入手，回忆旋转的性质：旋转前后的三角形全等，对应边、对应角相等，旋转角为60°。接下来要计算AD的长度，已知AB和AC的长，需要将三者建立联系，因此要证明A、C、E三点共线，把AE转化为AC与CE的和，而CE和AB是全等三角形的对应边，长度相等。再结合旋转得到的AD=DE，旋转角∠ADE=60°，可证明△ADE是等边三角形，即可得到AD=AE，且∠EAD=60°，最后用∠BAC的度数减去∠EAD的度数就能求出∠BAD的度数。
【解析】
由旋转的性质可知，$△ ABD ≌ △ ECD$，
$\therefore AD=DE$，$AB=CE=5$，$∠ ABD = ∠ ECD$。
$\because △ BCD$是等边三角形，
$\therefore ∠ BDC=60°$，
$\therefore ∠ ADE = ∠ ADC + ∠ EDC = ∠ ADC + ∠ ADB = ∠ BDC = 60°$。
$\because ∠ BAC=120°$，$∠ BDC=60°$，四边形$ABDC$内角和为$360°$，
$\therefore ∠ ABD + ∠ ACD = 360° - ∠ BAC - ∠ BDC = 180°$，
将$∠ ABD = ∠ ECD$代入得：$∠ ACD + ∠ ECD = 180°$，
$\therefore A,C,E$三点共线。
又$\because AD=DE$，$∠ ADE=60°$，
$\therefore △ ADE$是等边三角形，
$\therefore ∠ EAD=60°$，$AD=AE$。
$\therefore ∠ BAD = ∠ BAC - ∠ EAD = 120° - 60° = 60°$，
$AD = AE = AC + CE = AC + AB = 3 + 5 = 8$。
【答案】
$∠ BAD$的度数为$60°$，$AD$的长为$8$。
【知识点】
旋转的性质，等边三角形的判定与性质，全等三角形的性质
【点评】
本题是旋转变换的典型综合题，核心是通过旋转实现边角的等量转化，解题的关键是证明三点共线以及$△ ADE$为等边三角形，从而将未知线段转化为已知线段的和，这类题型要熟练掌握利用旋转构造全等、转化边角的解题思路。
【难度系数】
0.6
