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3. 某公司下属 40 个连锁店的年度销售收入数据(单位:万元)如下：
152 124 129 116 100 103 92 95 127 104
105 119 114 115 87 103 118 142 135 125
117 108 105 110 107 137 120 136 117 108
97 88 123 115 119 138 112 146 113 126
(1) 求出这组数据的三个四分位数；
(2) 若某店的年度销售收入为 127 万,你认为该店的业绩如何？
152 124 129 116 100 103 92 95 127 104
105 119 114 115 87 103 118 142 135 125
117 108 105 110 107 137 120 136 117 108
97 88 123 115 119 138 112 146 113 126
(1) 求出这组数据的三个四分位数；
(2) 若某店的年度销售收入为 127 万,你认为该店的业绩如何？
答案
3. (1) 这组数据的第一四分位数是105，第二四分位数是115.5，第三四分位数是125.5
(2) 业绩较好，理由略
(2) 业绩较好，理由略
解析
【分析】
要解决这道题，第一步需要先将40个销售收入数据按从小到大的顺序排列，因为四分位数是基于排序后的数据计算的。三个四分位数的作用是将排序后的数据平均分成四等份：第二四分位数就是我们熟悉的中位数，对应排序后数据50%的位置；第一四分位数对应25%的位置，第三四分位数对应75%的位置。本题数据总个数n=40，先分别计算三个四分位数的位置：Q1位置=40×25%=10，Q2位置=40×50%=20，Q3位置=40×75%=30，由于得到的位置都是整数，因此每个四分位数取该位置和下一个位置数据的平均数即可。第二问判断业绩时，将127万和三个四分位数对比，根据其所处的分位就能判断业绩水平。
【解析】
(1) 先将40个数据从小到大排序如下：
87，88，92，95，97，100，103，103，104，105，
105，107，108，108，110，112，113，114，115，115，
116，117，117，118，119，119，120，123，124，125，
126，127，135，136，137，138，142，146，152
分别计算三个四分位数：
① 第一四分位数：对应排序后第10位和第11位的数据，分别为105、105，因此$Q_1=\frac{105+105}{2}=105$；
② 第二四分位数（中位数）：对应排序后第20位和第21位的数据，分别为115、116，因此$Q_2=\frac{115+116}{2}=115.5$；
③ 第三四分位数：对应排序后第30位和第31位的数据，分别为125、126，因此$Q_3=\frac{125+126}{2}=125.5$。
(2) 该店年度销售收入为127万，对比得$127＞125.5$，说明该店收入高于第三四分位数，即收入超过了约75%的连锁店，因此业绩较好。
【答案】
(1) 第一四分位数是105，第二四分位数是115.5，第三四分位数是125.5；(2) 该店业绩较好。
【知识点】
1. 四分位数计算
2. 中位数计算
3. 统计量应用
【点评】
本题重点考查四分位数的计算方法和实际意义，解题的核心是先将数据准确排序，再根据数据总量确定各四分位数的位置，结合分位的含义判断数据水平，是统计板块的基础应用类题型。
【难度系数】
0.7
要解决这道题，第一步需要先将40个销售收入数据按从小到大的顺序排列，因为四分位数是基于排序后的数据计算的。三个四分位数的作用是将排序后的数据平均分成四等份：第二四分位数就是我们熟悉的中位数，对应排序后数据50%的位置；第一四分位数对应25%的位置，第三四分位数对应75%的位置。本题数据总个数n=40，先分别计算三个四分位数的位置：Q1位置=40×25%=10，Q2位置=40×50%=20，Q3位置=40×75%=30，由于得到的位置都是整数，因此每个四分位数取该位置和下一个位置数据的平均数即可。第二问判断业绩时，将127万和三个四分位数对比，根据其所处的分位就能判断业绩水平。
【解析】
(1) 先将40个数据从小到大排序如下：
87，88，92，95，97，100，103，103，104，105，
105，107，108，108，110，112，113，114，115，115，
116，117，117，118，119，119，120，123，124，125，
126，127，135，136，137，138，142，146，152
分别计算三个四分位数：
① 第一四分位数：对应排序后第10位和第11位的数据，分别为105、105，因此$Q_1=\frac{105+105}{2}=105$；
② 第二四分位数（中位数）：对应排序后第20位和第21位的数据，分别为115、116，因此$Q_2=\frac{115+116}{2}=115.5$；
③ 第三四分位数：对应排序后第30位和第31位的数据，分别为125、126，因此$Q_3=\frac{125+126}{2}=125.5$。
(2) 该店年度销售收入为127万，对比得$127＞125.5$，说明该店收入高于第三四分位数，即收入超过了约75%的连锁店，因此业绩较好。
【答案】
(1) 第一四分位数是105，第二四分位数是115.5，第三四分位数是125.5；(2) 该店业绩较好。
【知识点】
1. 四分位数计算
2. 中位数计算
3. 统计量应用
【点评】
本题重点考查四分位数的计算方法和实际意义，解题的核心是先将数据准确排序，再根据数据总量确定各四分位数的位置，结合分位的含义判断数据水平，是统计板块的基础应用类题型。
【难度系数】
0.7
4. 下表呈现了某地区一段时间内每日的空气质量指数：
（1）求出这组数据的三个四分位数；
（2）评价该地区这段时间的空气质量情况。
（1）求出这组数据的三个四分位数；
（2）评价该地区这段时间的空气质量情况。
答案
4. (1) 这组数据的第一四分位数是59，第二四分位数是66.5，第三四分位数是85
(2) 答案不唯一，略
(2) 答案不唯一，略
解析
【分析】
求解本题首先要明确四分位数的计算逻辑：第一步需要将所有数据按从小到大的顺序排列，统计数据总个数n；第二步分别计算三个四分位数对应的位置，即第25、50、75百分位数的位置i=n×对应百分比：若i为整数，对应四分位数是第i项和第i+1项数据的平均数；若i不为整数，将i向上取整后，对应位置的数据即为该四分位数。第二问可结合四分位数代表的数据分布意义，评价空气质量的整体情况即可。
【解析】
（1）首先统计所有数据共22个，将数据从小到大排列为：
51，52，52，55，57，59，59，62，62，62，66，67，70，71，80，85，85，93，94，96，96，97
①计算第一四分位数（第25百分位数）：
位置i=22×25%=5.5，向上取整为6，取排序后第6个数据，得第一四分位数为59；
②计算第二四分位数（中位数，第50百分位数）：
位置i=22×50%=11，为整数，取排序后第11、12个数据的平均数，即$\frac{66+67}{2}=66.5$；
③计算第三四分位数（第75百分位数）：
位置i=22×75%=16.5，向上取整为17，取排序后第17个数据，得第三四分位数为85。
（2）可结合四分位数反映的数据分布特征分析，说明不同空气质量水平的天数占比即可，答案合理即可。
【答案】
（1）第一四分位数是59，第二四分位数是66.5，第三四分位数是85；
（2）略（答案不唯一，合理即可）
【知识点】
四分位数计算，统计数据分析
【点评】
本题侧重考查四分位数的求解方法，解题核心是先准确完成数据排序，再根据位置规则计算对应统计量，能帮助学生掌握用统计量分析实际问题的方法。
【难度系数】
0.7
求解本题首先要明确四分位数的计算逻辑：第一步需要将所有数据按从小到大的顺序排列，统计数据总个数n；第二步分别计算三个四分位数对应的位置，即第25、50、75百分位数的位置i=n×对应百分比：若i为整数，对应四分位数是第i项和第i+1项数据的平均数；若i不为整数，将i向上取整后，对应位置的数据即为该四分位数。第二问可结合四分位数代表的数据分布意义，评价空气质量的整体情况即可。
【解析】
（1）首先统计所有数据共22个，将数据从小到大排列为：
51，52，52，55，57，59，59，62，62，62，66，67，70，71，80，85，85，93，94，96，96，97
①计算第一四分位数（第25百分位数）：
位置i=22×25%=5.5，向上取整为6，取排序后第6个数据，得第一四分位数为59；
②计算第二四分位数（中位数，第50百分位数）：
位置i=22×50%=11，为整数，取排序后第11、12个数据的平均数，即$\frac{66+67}{2}=66.5$；
③计算第三四分位数（第75百分位数）：
位置i=22×75%=16.5，向上取整为17，取排序后第17个数据，得第三四分位数为85。
（2）可结合四分位数反映的数据分布特征分析，说明不同空气质量水平的天数占比即可，答案合理即可。
【答案】
（1）第一四分位数是59，第二四分位数是66.5，第三四分位数是85；
（2）略（答案不唯一，合理即可）
【知识点】
四分位数计算，统计数据分析
【点评】
本题侧重考查四分位数的求解方法，解题核心是先准确完成数据排序，再根据位置规则计算对应统计量，能帮助学生掌握用统计量分析实际问题的方法。
【难度系数】
0.7
5. 某工厂有甲、乙两个车间生产同一零件，其中甲车间有10名工人，乙车间有7名工人.下表记录了两个车间连续22天内生产的零件数.
甲、乙车间生产的零件数 单位:件
(1)分别求出两组数据的三个四分位数；
(2)比较两个车间的零件数生产情况.
甲、乙车间生产的零件数 单位:件
(1)分别求出两组数据的三个四分位数；
(2)比较两个车间的零件数生产情况.
答案
5. (1) 甲数据的第一四分位数是56，第二四分位数是61.5，第三四分位数是70；乙数据的第一四分位数是23，第二四分位数是32，第三四分位数是39
(2) 答案不唯一，略
(2) 答案不唯一，略
解析
【分析】
要解决本题，首先要明确四分位数的求解步骤：第一步，先将两组数据分别从小到大排序；第二步，根据数据总个数n，分别计算25%、50%、75%对应的分位数位置：若计算得到的位置是整数，则分位数为该位置和下一个位置数据的平均数；若位置不是整数，向上取整后对应位置的数就是分位数。第一问按上述步骤分别计算两组数据的三个四分位数即可；第二问通过对比两个车间的四分位数高低，就能判断两个车间的生产水平差异。
【解析】
(1) 计算甲车间的四分位数：
甲车间共有22个数据，从小到大排序为：43，43，52，52，55，56，56，57，59，59，61，62，63，63，66，70，70，72，73，74，74，78。
①第一四分位数（25%分位数）：计算位置为$22×25\%=5.5$，向上取整为第6位，对应数据为56，故第一四分位数是56；
②第二四分位数（中位数，50%分位数）：计算位置为$22×50\%=11$，为整数，取第11位和第12位数据的平均数，即$\frac{61+62}{2}=61.5$，故第二四分位数是61.5；
③第三四分位数（75%分位数）：计算位置为$22×75\%=16.5$，向上取整为第17位，对应数据为70，故第三四分位数是70。
计算乙车间的四分位数：
乙车间共有22个数据，从小到大排序后，按上述规则计算：
①第一四分位数对应位置为5.5，向上取整第6位数据为23，故第一四分位数是23；
②第二四分位数对应位置为11，按教材计算规则得中位数为32，故第二四分位数是32；
③第三四分位数对应位置为16.5，向上取整第17位数据为39，故第三四分位数是39。
(2) 对比两个车间的四分位数，甲车间的三个四分位数均明显高于乙车间，说明甲车间生产零件的整体数量更多，生产整体水平高于乙车间。（表述合理即可）
【答案】
(1) 甲数据的第一四分位数是56，第二四分位数是61.5，第三四分位数是70；乙数据的第一四分位数是23，第二四分位数是32，第三四分位数是39
(2) 示例：甲车间的四分位数均高于乙车间，说明甲车间整体生产零件的数量更多，生产水平更高（答案合理即可）
【知识点】
四分位数计算，数据排序，统计量分析
【点评】
本题重点考查四分位数的计算方法和统计量的实际应用，解题的关键是先对数据进行准确排序，再按照规则计算对应分位数，通过对比不同组的四分位数可以直观判断两组数据的整体水平差异。
【难度系数】
0.7
要解决本题，首先要明确四分位数的求解步骤：第一步，先将两组数据分别从小到大排序；第二步，根据数据总个数n，分别计算25%、50%、75%对应的分位数位置：若计算得到的位置是整数，则分位数为该位置和下一个位置数据的平均数；若位置不是整数，向上取整后对应位置的数就是分位数。第一问按上述步骤分别计算两组数据的三个四分位数即可；第二问通过对比两个车间的四分位数高低，就能判断两个车间的生产水平差异。
【解析】
(1) 计算甲车间的四分位数：
甲车间共有22个数据，从小到大排序为：43，43，52，52，55，56，56，57，59，59，61，62，63，63，66，70，70，72，73，74，74，78。
①第一四分位数（25%分位数）：计算位置为$22×25\%=5.5$，向上取整为第6位，对应数据为56，故第一四分位数是56；
②第二四分位数（中位数，50%分位数）：计算位置为$22×50\%=11$，为整数，取第11位和第12位数据的平均数，即$\frac{61+62}{2}=61.5$，故第二四分位数是61.5；
③第三四分位数（75%分位数）：计算位置为$22×75\%=16.5$，向上取整为第17位，对应数据为70，故第三四分位数是70。
计算乙车间的四分位数：
乙车间共有22个数据，从小到大排序后，按上述规则计算：
①第一四分位数对应位置为5.5，向上取整第6位数据为23，故第一四分位数是23；
②第二四分位数对应位置为11，按教材计算规则得中位数为32，故第二四分位数是32；
③第三四分位数对应位置为16.5，向上取整第17位数据为39，故第三四分位数是39。
(2) 对比两个车间的四分位数，甲车间的三个四分位数均明显高于乙车间，说明甲车间生产零件的整体数量更多，生产整体水平高于乙车间。（表述合理即可）
【答案】
(1) 甲数据的第一四分位数是56，第二四分位数是61.5，第三四分位数是70；乙数据的第一四分位数是23，第二四分位数是32，第三四分位数是39
(2) 示例：甲车间的四分位数均高于乙车间，说明甲车间整体生产零件的数量更多，生产水平更高（答案合理即可）
【知识点】
四分位数计算，数据排序，统计量分析
【点评】
本题重点考查四分位数的计算方法和统计量的实际应用，解题的关键是先对数据进行准确排序，再按照规则计算对应分位数，通过对比不同组的四分位数可以直观判断两组数据的整体水平差异。
【难度系数】
0.7
