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1. 如图,在$Rt△ ABC$中,$∠ ACB=90°$,$AC=6$,$BC=8$,$CP$,$CM$分别是$AB$上的高和中线.如果以点$A$为圆心,4为半径作圆,那么下列判断中,正确的是 ()
A.点$P$,$M$均在$\odot A$内
B.点$P$,$M$均在$\odot A$外
C.点$P$在$\odot A$内,点$M$在$\odot A$外
D.以上选项都不正确
A.点$P$,$M$均在$\odot A$内
B.点$P$,$M$均在$\odot A$外
C.点$P$在$\odot A$内,点$M$在$\odot A$外
D.以上选项都不正确
答案
C
解析
【分析】
要判断点P、M和$\odot A$的位置关系，只需分别求出AP、AM的长度，再和$\odot A$的半径4比较大小即可：若点到圆心的距离＜半径，点在圆内；等于半径在圆上；大于半径在圆外。首先利用勾股定理求出斜边AB的长度，再结合直角三角形斜边中线的性质得到AM的长度；接着用面积法求出高CP的长度，再用勾股定理计算AP的长度，最后分别和半径4比较得出结论。
【解析】
在$Rt△ ABC$中，$∠ ACB=90°$，$AC=6$，$BC=8$，
由勾股定理得：$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{6^2+8^2}=\sqrt{100}=10$。
1. 求AM的长度：
∵CM是AB边上的中线，直角三角形斜边中线等于斜边的一半，
∴$AM=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×10=5$，
∵$5＞4$，
∴点M在$\odot A$外。
2. 求AP的长度：
∵CP是AB边上的高，由三角形面积公式可得：
$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}AC· BC=\frac{1}{2}AB· CP$，
代入数值：$\frac{1}{2}×6×8=\frac{1}{2}×10× CP$，解得$CP=4.8$。
在$Rt△ ACP$中，由勾股定理得：
$AP=\sqrt{AC^2-CP^2}=\sqrt{6^2-4.8^2}=\sqrt{36-23.04}=\sqrt{12.96}=3.6$，
∵$3.6＜4$，
∴点P在$\odot A$内。
综上，点P在$\odot A$内，点M在$\odot A$外。
【答案】
C
【知识点】
点与圆的位置关系判定；勾股定理；直角三角形斜边中线性质
【点评】
本题属于基础常考题，将点和圆的位置关系判定与直角三角形的性质结合考查，解题的核心是掌握点和圆位置关系的判定方法，准确计算出对应线段的长度即可求解。
【难度系数】
0.7
要判断点P、M和$\odot A$的位置关系，只需分别求出AP、AM的长度，再和$\odot A$的半径4比较大小即可：若点到圆心的距离＜半径，点在圆内；等于半径在圆上；大于半径在圆外。首先利用勾股定理求出斜边AB的长度，再结合直角三角形斜边中线的性质得到AM的长度；接着用面积法求出高CP的长度，再用勾股定理计算AP的长度，最后分别和半径4比较得出结论。
【解析】
在$Rt△ ABC$中，$∠ ACB=90°$，$AC=6$，$BC=8$，
由勾股定理得：$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{6^2+8^2}=\sqrt{100}=10$。
1. 求AM的长度：
∵CM是AB边上的中线，直角三角形斜边中线等于斜边的一半，
∴$AM=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×10=5$，
∵$5＞4$，
∴点M在$\odot A$外。
2. 求AP的长度：
∵CP是AB边上的高，由三角形面积公式可得：
$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}AC· BC=\frac{1}{2}AB· CP$，
代入数值：$\frac{1}{2}×6×8=\frac{1}{2}×10× CP$，解得$CP=4.8$。
在$Rt△ ACP$中，由勾股定理得：
$AP=\sqrt{AC^2-CP^2}=\sqrt{6^2-4.8^2}=\sqrt{36-23.04}=\sqrt{12.96}=3.6$，
∵$3.6＜4$，
∴点P在$\odot A$内。
综上，点P在$\odot A$内，点M在$\odot A$外。
【答案】
C
【知识点】
点与圆的位置关系判定；勾股定理；直角三角形斜边中线性质
【点评】
本题属于基础常考题，将点和圆的位置关系判定与直角三角形的性质结合考查，解题的核心是掌握点和圆位置关系的判定方法，准确计算出对应线段的长度即可求解。
【难度系数】
0.7
2.平面上的一点离⊙O上的点的最近距离为4 cm，最远距离为10 cm，则这个圆的半径是（）
A.7 cm
B.3 cm或5 cm
C.3 cm或7 cm
D.5 cm或7 cm
A.7 cm
B.3 cm或5 cm
C.3 cm或7 cm
D.5 cm或7 cm
答案
C
解析
【分析】
解决这道题首先要明确平面内一点与圆的位置关系有三种：点在圆内、点在圆上、点在圆外。结合题意，该点到圆上点的最近距离不为0，因此排除点在圆上的情况，需分点在圆内、点在圆外两种情况讨论。由于点到圆上点的最近、最远距离都在点与圆心的连线上，因此可以通过两个距离的和或差求出圆的直径，进而得到半径。
【解析】
分两种情况讨论：
1. 若该点在⊙O内部：
此时点到圆上点的最近距离与最远距离之和等于圆的直径，即直径$d = 4 + 10 = 14\ \mathrm{cm}$，因此半径$r = \frac{d}{2} = \frac{14}{2} = 7\ \mathrm{cm}$。
2. 若该点在⊙O外部：
此时点到圆上点的最远距离与最近距离之差等于圆的直径，即直径$d = 10 - 4 = 6\ \mathrm{cm}$，因此半径$r = \frac{d}{2} = \frac{6}{2} = 3\ \mathrm{cm}$。
综上，这个圆的半径是3 cm或7 cm。
【答案】
C
【知识点】
1. 点与圆的位置关系 2. 圆的基本性质
【点评】
本题是易错题，解题的关键是不要漏解，需全面考虑点在圆内、点在圆外两种位置情况，结合点到圆上点的距离特征求解。
【难度系数】
0.7
解决这道题首先要明确平面内一点与圆的位置关系有三种：点在圆内、点在圆上、点在圆外。结合题意，该点到圆上点的最近距离不为0，因此排除点在圆上的情况，需分点在圆内、点在圆外两种情况讨论。由于点到圆上点的最近、最远距离都在点与圆心的连线上，因此可以通过两个距离的和或差求出圆的直径，进而得到半径。
【解析】
分两种情况讨论：
1. 若该点在⊙O内部：
此时点到圆上点的最近距离与最远距离之和等于圆的直径，即直径$d = 4 + 10 = 14\ \mathrm{cm}$，因此半径$r = \frac{d}{2} = \frac{14}{2} = 7\ \mathrm{cm}$。
2. 若该点在⊙O外部：
此时点到圆上点的最远距离与最近距离之差等于圆的直径，即直径$d = 10 - 4 = 6\ \mathrm{cm}$，因此半径$r = \frac{d}{2} = \frac{6}{2} = 3\ \mathrm{cm}$。
综上，这个圆的半径是3 cm或7 cm。
【答案】
C
【知识点】
1. 点与圆的位置关系 2. 圆的基本性质
【点评】
本题是易错题，解题的关键是不要漏解，需全面考虑点在圆内、点在圆外两种位置情况，结合点到圆上点的距离特征求解。
【难度系数】
0.7
3.点P到圆心O的距离为6,若点P在圆O外,则圆O的半径r满足 （）
A.$r≥6$
B.$r＞6$
C.$0＜r＜6$
D.$0＜r≤6$
A.$r≥6$
B.$r＞6$
C.$0＜r＜6$
D.$0＜r≤6$
答案
C
解析
【分析】
要解决这道题，首先需要回忆点和圆的位置关系的判定规则：点和圆的位置关系由点到圆心的距离d与圆半径r的大小关系决定。题目已知点P在圆外，且点P到圆心的距离为6，我们可先根据点在圆外的判定条件列出不等关系，再结合圆的半径一定是正数这一隐含条件，推导出r的取值范围，对应选出正确选项即可。
【解析】
根据点与圆的位置关系判定规则：若点在圆外，则点到圆心的距离d ＞ 圆的半径r。
本题中点P到圆心O的距离d=6，点P在圆O外，因此可得：6 ＞ r，即r ＜ 6。
又因为圆的半径是正数，所以r ＞ 0。
综上，r的取值范围是$0＜r＜6$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
点和圆的位置关系、圆的基本概念
【点评】
本题属于基础题，核心考查点与圆位置关系的判定，解题的关键是准确记忆不同位置下d与r的大小关系，同时不要忽略圆的半径恒为正的隐含条件。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，首先需要回忆点和圆的位置关系的判定规则：点和圆的位置关系由点到圆心的距离d与圆半径r的大小关系决定。题目已知点P在圆外，且点P到圆心的距离为6，我们可先根据点在圆外的判定条件列出不等关系，再结合圆的半径一定是正数这一隐含条件，推导出r的取值范围，对应选出正确选项即可。
【解析】
根据点与圆的位置关系判定规则：若点在圆外，则点到圆心的距离d ＞ 圆的半径r。
本题中点P到圆心O的距离d=6，点P在圆O外，因此可得：6 ＞ r，即r ＜ 6。
又因为圆的半径是正数，所以r ＞ 0。
综上，r的取值范围是$0＜r＜6$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
点和圆的位置关系、圆的基本概念
【点评】
本题属于基础题，核心考查点与圆位置关系的判定，解题的关键是准确记忆不同位置下d与r的大小关系，同时不要忽略圆的半径恒为正的隐含条件。
【难度系数】
0.8
4.下列命题不正确的是 （）
A.过一点有无数个圆
B.三角形的外心可能在三角形的外部
C.过三点能作一个圆
D.三角形的外心是三角形三边的中垂线的交点
A.过一点有无数个圆
B.三角形的外心可能在三角形的外部
C.过三点能作一个圆
D.三角形的外心是三角形三边的中垂线的交点
答案
C
解析
【分析】
这道题是判断命题正误的选择题，核心考查过点作圆的条件和三角形外心的相关知识，解题时可按照逐个验证选项的思路分析：首先回忆过点作圆的相关规律，再结合三角形外心的定义、位置特点逐一判断每个选项的对错，最终选出不正确的命题即可。
【解析】
我们对每个选项逐一分析：
A. 过平面上任意一点时，圆心可以是平面内除该点外的任意位置，半径为圆心到该点的距离，因此能作出无数个圆，该命题正确，不符合题意。
B. 三角形的外心位置和三角形类型有关：锐角三角形外心在三角形内部，直角三角形外心在斜边中点处，钝角三角形外心在三角形外部，因此外心可能在三角形外部，该命题正确，不符合题意。
C. 只有过不在同一条直线上的三个点才能确定一个圆，若三点共线，无法作出同时经过这三点的圆，选项未说明三点不共线，该命题错误，符合题意。
D. 根据三角形外心的定义，三角形的外心就是三角形三边垂直平分线的交点，外心到三角形三个顶点的距离相等，该命题正确，不符合题意。
综上，应选C。
【答案】
C
【知识点】
圆的确定条件；三角形外心的定义；三角形外心的位置
【点评】
本题属于基础概念考查题，解题的关键是牢记过三点作圆的前提是三点不共线，同时熟练掌握三角形外心的定义和不同类型三角形外心的位置特点，避免遗漏概念的限制条件出错。
【难度系数】
0.8
这道题是判断命题正误的选择题，核心考查过点作圆的条件和三角形外心的相关知识，解题时可按照逐个验证选项的思路分析：首先回忆过点作圆的相关规律，再结合三角形外心的定义、位置特点逐一判断每个选项的对错，最终选出不正确的命题即可。
【解析】
我们对每个选项逐一分析：
A. 过平面上任意一点时，圆心可以是平面内除该点外的任意位置，半径为圆心到该点的距离，因此能作出无数个圆，该命题正确，不符合题意。
B. 三角形的外心位置和三角形类型有关：锐角三角形外心在三角形内部，直角三角形外心在斜边中点处，钝角三角形外心在三角形外部，因此外心可能在三角形外部，该命题正确，不符合题意。
C. 只有过不在同一条直线上的三个点才能确定一个圆，若三点共线，无法作出同时经过这三点的圆，选项未说明三点不共线，该命题错误，符合题意。
D. 根据三角形外心的定义，三角形的外心就是三角形三边垂直平分线的交点，外心到三角形三个顶点的距离相等，该命题正确，不符合题意。
综上，应选C。
【答案】
C
【知识点】
圆的确定条件；三角形外心的定义；三角形外心的位置
【点评】
本题属于基础概念考查题，解题的关键是牢记过三点作圆的前提是三点不共线，同时熟练掌握三角形外心的定义和不同类型三角形外心的位置特点，避免遗漏概念的限制条件出错。
【难度系数】
0.8
5. 下列图形中，一定有外接圆的是（）
A.三角形
B.四边形
C.五边形
D.六边形
A.三角形
B.四边形
C.五边形
D.六边形
答案
A
解析
【分析】
首先明确有外接圆的图形的特征：图形的所有顶点都能在同一个圆上。再结合“不在同一直线上的三个点确定一个圆”的定理分析各选项：三角形的三个顶点必然不共线，因此必然能确定一个圆，即一定有外接圆；而边数≥4的多边形，只有满足特定条件才有外接圆，不是所有都满足，由此即可选出正确答案。
【解析】
首先回忆相关概念与定理：
1. 多边形的外接圆定义：若一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，该圆即为这个多边形的外接圆。
2. 圆的确定定理：不在同一条直线上的三个点确定唯一的一个圆。
对各选项逐一判断：
A. 三角形：任意三角形的三个顶点都不在同一条直线上，根据上述定理，三个顶点一定能确定一个圆，因此所有三角形都有外接圆，符合“一定有”的要求。
B. 四边形：仅对角互补的四边形才有外接圆，普通平行四边形、不规则四边形等都没有外接圆，因此四边形不一定有外接圆。
C. 五边形：仅特殊五边形（如正五边形）才有外接圆，普通不规则五边形没有外接圆，因此五边形不一定有外接圆。
D. 六边形：仅特殊六边形（如正六边形）才有外接圆，普通不规则六边形没有外接圆，因此六边形不一定有外接圆。
综上，答案选A。
【答案】
A
【知识点】
1. 确定圆的条件
2. 多边形外接圆
【点评】
本题考查多边形存在外接圆的判定，核心是掌握“任意三角形都有外接圆，边数大于等于4的多边形仅满足特定条件才有外接圆”的规律，属于基础概念考查题，牢记相关定理即可快速作答。
【难度系数】
0.9
首先明确有外接圆的图形的特征：图形的所有顶点都能在同一个圆上。再结合“不在同一直线上的三个点确定一个圆”的定理分析各选项：三角形的三个顶点必然不共线，因此必然能确定一个圆，即一定有外接圆；而边数≥4的多边形，只有满足特定条件才有外接圆，不是所有都满足，由此即可选出正确答案。
【解析】
首先回忆相关概念与定理：
1. 多边形的外接圆定义：若一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，该圆即为这个多边形的外接圆。
2. 圆的确定定理：不在同一条直线上的三个点确定唯一的一个圆。
对各选项逐一判断：
A. 三角形：任意三角形的三个顶点都不在同一条直线上，根据上述定理，三个顶点一定能确定一个圆，因此所有三角形都有外接圆，符合“一定有”的要求。
B. 四边形：仅对角互补的四边形才有外接圆，普通平行四边形、不规则四边形等都没有外接圆，因此四边形不一定有外接圆。
C. 五边形：仅特殊五边形（如正五边形）才有外接圆，普通不规则五边形没有外接圆，因此五边形不一定有外接圆。
D. 六边形：仅特殊六边形（如正六边形）才有外接圆，普通不规则六边形没有外接圆，因此六边形不一定有外接圆。
综上，答案选A。
【答案】
A
【知识点】
1. 确定圆的条件
2. 多边形外接圆
【点评】
本题考查多边形存在外接圆的判定，核心是掌握“任意三角形都有外接圆，边数大于等于4的多边形仅满足特定条件才有外接圆”的规律，属于基础概念考查题，牢记相关定理即可快速作答。
【难度系数】
0.9
6.已知AB=12 cm,过A,B两点画半径为8 cm的圆,能画的圆的个数为.
答案
$\boldsymbol{2}$
解析
【分析】
要确定过A、B两点且半径为8cm的圆的个数，核心是找符合条件的圆心个数。根据圆的定义，圆心到A、B两点的距离都等于半径8cm，因此圆心既在AB的垂直平分线上（到线段两端点距离相等的点在垂直平分线上），又满足到A点的距离为8cm。我们可以先计算AB长度的一半，再结合勾股定理判断垂直平分线上符合距离要求的点的个数，即可得到圆的个数。
【解析】
1. 已知AB=12cm，因此AB长度的一半为$12÷2=6\mathrm{cm}$。
2. 过A、B两点的圆的圆心到A、B的距离均等于半径8cm，因此圆心在线段AB的垂直平分线上。
3. 设AB的中点为O，圆心为P，则$PA=8\mathrm{cm}$，$OA=6\mathrm{cm}$，且$PO⊥ AB$，根据勾股定理可得：
$PO=\sqrt{PA^2 - OA^2}=\sqrt{8^2 - 6^2}=\sqrt{28}=2\sqrt{7}\mathrm{cm}＞0$。
4. 由此可知，在线段AB的垂直平分线上，距离O点长度为$2\sqrt{7}\mathrm{cm}$的点有2个，分别在AB的两侧，即符合条件的圆心有2个，因此能画出2个满足要求的圆。
【答案】
$\boldsymbol{2}$
【知识点】
1. 圆的定义
2. 线段垂直平分线的性质
3. 勾股定理
【点评】
本题考查过两点作指定半径圆的个数判断，解题关键是明确圆心的位置特征，结合几何性质计算判断符合条件的圆心数量，做题时需注意不要漏算垂直平分线另一侧的圆心点。
【难度系数】
0.7
要确定过A、B两点且半径为8cm的圆的个数，核心是找符合条件的圆心个数。根据圆的定义，圆心到A、B两点的距离都等于半径8cm，因此圆心既在AB的垂直平分线上（到线段两端点距离相等的点在垂直平分线上），又满足到A点的距离为8cm。我们可以先计算AB长度的一半，再结合勾股定理判断垂直平分线上符合距离要求的点的个数，即可得到圆的个数。
【解析】
1. 已知AB=12cm，因此AB长度的一半为$12÷2=6\mathrm{cm}$。
2. 过A、B两点的圆的圆心到A、B的距离均等于半径8cm，因此圆心在线段AB的垂直平分线上。
3. 设AB的中点为O，圆心为P，则$PA=8\mathrm{cm}$，$OA=6\mathrm{cm}$，且$PO⊥ AB$，根据勾股定理可得：
$PO=\sqrt{PA^2 - OA^2}=\sqrt{8^2 - 6^2}=\sqrt{28}=2\sqrt{7}\mathrm{cm}＞0$。
4. 由此可知，在线段AB的垂直平分线上，距离O点长度为$2\sqrt{7}\mathrm{cm}$的点有2个，分别在AB的两侧，即符合条件的圆心有2个，因此能画出2个满足要求的圆。
【答案】
$\boldsymbol{2}$
【知识点】
1. 圆的定义
2. 线段垂直平分线的性质
3. 勾股定理
【点评】
本题考查过两点作指定半径圆的个数判断，解题关键是明确圆心的位置特征，结合几何性质计算判断符合条件的圆心数量，做题时需注意不要漏算垂直平分线另一侧的圆心点。
【难度系数】
0.7
7.已知$\odot O$的半径为1,点$P$与圆心$O$的距离为$d$,且方程$x^2 - 2x + d = 0$没有实数根,则点$P$与$\odot O$的位置关系是.
答案
点P在$\odot O$外
解析
【分析】
解题时首先回忆一元二次方程无实根的条件，即根的判别式小于0，据此列出关于d的不等式，解出d的取值范围；再结合点与圆的位置关系的判定规则，比较d和圆半径的大小，即可确定点P的位置。
【解析】
解：
∵ 方程$x^2 - 2x + d = 0$没有实数根
∴ 一元二次方程的根的判别式$\Delta = b^2 - 4ac ＜ 0$
其中$a=1,b=-2,c=d$，代入得：
$(-2)^2 - 4×1× d ＜ 0$
即$4 - 4d ＜ 0$
解得$d ＞ 1$
又
∵ $\odot O$的半径$r=1$
∴ $d ＞ r$
∴ 点P在$\odot O$外
【答案】
点P在$\odot O$外
【知识点】
1. 一元二次方程根的判别式
2. 点与圆的位置关系
【点评】
本题属于基础综合题，将一元二次方程根的判定和几何中点与圆的位置关系结合考查，解题关键是熟练掌握两个基础知识点的应用规则，计算量小，难度较低。
【难度系数】
0.8
解题时首先回忆一元二次方程无实根的条件，即根的判别式小于0，据此列出关于d的不等式，解出d的取值范围；再结合点与圆的位置关系的判定规则，比较d和圆半径的大小，即可确定点P的位置。
【解析】
解：
∵ 方程$x^2 - 2x + d = 0$没有实数根
∴ 一元二次方程的根的判别式$\Delta = b^2 - 4ac ＜ 0$
其中$a=1,b=-2,c=d$，代入得：
$(-2)^2 - 4×1× d ＜ 0$
即$4 - 4d ＜ 0$
解得$d ＞ 1$
又
∵ $\odot O$的半径$r=1$
∴ $d ＞ r$
∴ 点P在$\odot O$外
【答案】
点P在$\odot O$外
【知识点】
1. 一元二次方程根的判别式
2. 点与圆的位置关系
【点评】
本题属于基础综合题，将一元二次方程根的判定和几何中点与圆的位置关系结合考查，解题关键是熟练掌握两个基础知识点的应用规则，计算量小，难度较低。
【难度系数】
0.8
