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10.已知$MN ⊥ PQ$，交点为点$O$，$A_1$，$A$是以$MN$为对称轴的对称点，而$A_2$，$A$是以$PQ$为对称轴的对称点，如图所示.请说明$A_1$，$A_2$是以点$O$为对称中心的对称点.
答案
证明：连接OA、OA₁、OA₂。
∵ 点$A_1$与点$A$关于$MN$对称，
∴ $MN$垂直平分线段$AA_1$，
∴ $OA_1 = OA$，$∠ A_1OM = ∠ AOM$。
∵ 点$A_2$与点$A$关于$PQ$对称，
∴ $PQ$垂直平分线段$AA_2$，
∴ $OA_2 = OA$，$∠ AOP = ∠ A_2OP$。
∵ $MN ⊥ PQ$，
∴ $∠ MOP = 90°$，即$∠ AOM + ∠ AOP = 90°$。
∴ $∠ A_1OA_2 = ∠ A_1OM + ∠ AOM + ∠ AOP + ∠ A_2OP$
$= 2(∠ AOM + ∠ AOP) = 2 × 90° = 180°$，
又∵ $OA_1 = OA_2$，
∴ 点$A_1$、$A_2$的连线经过点$O$，且被点$O$平分，
∴ $A_1$，$A_2$是以点$O$为对称中心的对称点。
∵ 点$A_1$与点$A$关于$MN$对称，
∴ $MN$垂直平分线段$AA_1$，
∴ $OA_1 = OA$，$∠ A_1OM = ∠ AOM$。
∵ 点$A_2$与点$A$关于$PQ$对称，
∴ $PQ$垂直平分线段$AA_2$，
∴ $OA_2 = OA$，$∠ AOP = ∠ A_2OP$。
∵ $MN ⊥ PQ$，
∴ $∠ MOP = 90°$，即$∠ AOM + ∠ AOP = 90°$。
∴ $∠ A_1OA_2 = ∠ A_1OM + ∠ AOM + ∠ AOP + ∠ A_2OP$
$= 2(∠ AOM + ∠ AOP) = 2 × 90° = 180°$，
又∵ $OA_1 = OA_2$，
∴ 点$A_1$、$A_2$的连线经过点$O$，且被点$O$平分，
∴ $A_1$，$A_2$是以点$O$为对称中心的对称点。
解析
【分析】
要证明$A_1$、$A_2$关于点$O$成中心对称，根据中心对称的定义，需要证明两点的连线经过点$O$，且$A_1$、$A_2$到点$O$的距离相等。解题时先连接$OA$、$OA_1$、$OA_2$，首先利用轴对称的性质，分别得到$OA_1$与$OA$、$OA_2$与$OA$的等量关系，以及对应角的相等关系，再结合$MN⊥PQ$的条件计算$∠A_1OA_2$的度数，判断$A_1$、$O$、$A_2$三点共线，最终结合线段相等的结论即可完成证明。
【解析】
证明：连接$OA$、$OA_1$、$OA_2$。
∵ 点$A_1$与点$A$关于$MN$对称，
∴ $MN$垂直平分线段$AA_1$，
∴ $OA_1 = OA$，$∠ A_1OM = ∠ AOM$。
∵ 点$A_2$与点$A$关于$PQ$对称，
∴ $PQ$垂直平分线段$AA_2$，
∴ $OA_2 = OA$，$∠ AOP = ∠ A_2OP$。
∵ $MN ⊥ PQ$，
∴ $∠ MOP = 90°$，即$∠ AOM + ∠ AOP = 90°$。
∴ $∠ A_1OA_2 = ∠ A_1OM + ∠ AOM + ∠ AOP + ∠ A_2OP$
$= 2(∠ AOM + ∠ AOP) = 2 × 90° = 180°$，
又
∵ $OA_1 = OA_2$，
∴ 点$A_1$、$A_2$的连线经过点$O$，且被点$O$平分，
∴ $A_1$，$A_2$是以点$O$为对称中心的对称点。
【答案】
$A_1$，$A_2$是以点$O$为对称中心的对称点
【知识点】
轴对称的性质；中心对称的定义；垂直的定义
【点评】
本题综合考查轴对称和中心对称的相关性质，解题核心是利用轴对称的性质得到线段和角的等量关系，再通过角度计算判断三点共线，是几何基础应用的典型习题，能较好地考查学生对对称相关性质的掌握和应用能力。
【难度系数】
0.7
要证明$A_1$、$A_2$关于点$O$成中心对称，根据中心对称的定义，需要证明两点的连线经过点$O$，且$A_1$、$A_2$到点$O$的距离相等。解题时先连接$OA$、$OA_1$、$OA_2$，首先利用轴对称的性质，分别得到$OA_1$与$OA$、$OA_2$与$OA$的等量关系，以及对应角的相等关系，再结合$MN⊥PQ$的条件计算$∠A_1OA_2$的度数，判断$A_1$、$O$、$A_2$三点共线，最终结合线段相等的结论即可完成证明。
【解析】
证明：连接$OA$、$OA_1$、$OA_2$。
∵ 点$A_1$与点$A$关于$MN$对称，
∴ $MN$垂直平分线段$AA_1$，
∴ $OA_1 = OA$，$∠ A_1OM = ∠ AOM$。
∵ 点$A_2$与点$A$关于$PQ$对称，
∴ $PQ$垂直平分线段$AA_2$，
∴ $OA_2 = OA$，$∠ AOP = ∠ A_2OP$。
∵ $MN ⊥ PQ$，
∴ $∠ MOP = 90°$，即$∠ AOM + ∠ AOP = 90°$。
∴ $∠ A_1OA_2 = ∠ A_1OM + ∠ AOM + ∠ AOP + ∠ A_2OP$
$= 2(∠ AOM + ∠ AOP) = 2 × 90° = 180°$，
又
∵ $OA_1 = OA_2$，
∴ 点$A_1$、$A_2$的连线经过点$O$，且被点$O$平分，
∴ $A_1$，$A_2$是以点$O$为对称中心的对称点。
【答案】
$A_1$，$A_2$是以点$O$为对称中心的对称点
【知识点】
轴对称的性质；中心对称的定义；垂直的定义
【点评】
本题综合考查轴对称和中心对称的相关性质，解题核心是利用轴对称的性质得到线段和角的等量关系，再通过角度计算判断三点共线，是几何基础应用的典型习题，能较好地考查学生对对称相关性质的掌握和应用能力。
【难度系数】
0.7
11.如图，三个边长均为2的正方形重叠在一起，$O_1$，$O_2$是其中两个正方形的对角线交点，若把这样的$n$个小正方形按如图所示方式摆放，则重叠部分的面积为。
答案
$\boldsymbol{n-1}$
解析
【分析】
解题时按两步推导即可：第一步先求单个重叠部分的面积，利用正方形中心对称的性质，当一个正方形的顶点与另一个正方形的中心重合时，重叠部分面积恒为正方形面积的$\frac{1}{4}$，先算出单个重叠部分的面积；第二步找重叠部分数量和正方形个数的规律，观察可知相邻两个正方形形成1个重叠部分，$n$个正方形摆放时总重叠个数为$n-1$，最后用单个重叠面积乘重叠个数就能得到总重叠面积。
【解析】
1. 计算单个正方形的面积：已知正方形边长为2，因此单个正方形面积$S=2^2=4$。
2. 推导单个重叠部分的面积：$O_1$、$O_2$是正方形对角线交点，也就是正方形的对称中心，根据中心对称的性质，一个正方形绕另一个正方形的中心旋转时，二者重叠部分的面积保持不变，恒等于正方形面积的$\frac{1}{4}$，因此单个重叠部分的面积为$4×\frac{1}{4}=1$。
3. 找重叠部分数量规律：观察可得2个正方形摆放有1个重叠部分，3个正方形摆放有2个重叠部分，以此类推，$n$个正方形按此方式摆放时，重叠部分总个数为$n-1$。
4. 计算总重叠面积：总重叠面积为$1×(n-1)=n-1$。
【答案】
$n-1$
【知识点】
1. 中心对称的性质
2. 正方形的性质
3. 图形规律探究
【点评】
本题属于图形规律类基础题，核心是利用中心对称性质得到固定的单个重叠面积，再通过观察得到重叠部分数量与正方形个数的关系，解题时注意不要多算或漏算重叠部分的数量即可。
【难度系数】
0.7
解题时按两步推导即可：第一步先求单个重叠部分的面积，利用正方形中心对称的性质，当一个正方形的顶点与另一个正方形的中心重合时，重叠部分面积恒为正方形面积的$\frac{1}{4}$，先算出单个重叠部分的面积；第二步找重叠部分数量和正方形个数的规律，观察可知相邻两个正方形形成1个重叠部分，$n$个正方形摆放时总重叠个数为$n-1$，最后用单个重叠面积乘重叠个数就能得到总重叠面积。
【解析】
1. 计算单个正方形的面积：已知正方形边长为2，因此单个正方形面积$S=2^2=4$。
2. 推导单个重叠部分的面积：$O_1$、$O_2$是正方形对角线交点，也就是正方形的对称中心，根据中心对称的性质，一个正方形绕另一个正方形的中心旋转时，二者重叠部分的面积保持不变，恒等于正方形面积的$\frac{1}{4}$，因此单个重叠部分的面积为$4×\frac{1}{4}=1$。
3. 找重叠部分数量规律：观察可得2个正方形摆放有1个重叠部分，3个正方形摆放有2个重叠部分，以此类推，$n$个正方形按此方式摆放时，重叠部分总个数为$n-1$。
4. 计算总重叠面积：总重叠面积为$1×(n-1)=n-1$。
【答案】
$n-1$
【知识点】
1. 中心对称的性质
2. 正方形的性质
3. 图形规律探究
【点评】
本题属于图形规律类基础题，核心是利用中心对称性质得到固定的单个重叠面积，再通过观察得到重叠部分数量与正方形个数的关系，解题时注意不要多算或漏算重叠部分的数量即可。
【难度系数】
0.7
12.如图,在平面直角坐标系中,矩形ABCD的对称中心为坐标原点O,AD⊥y轴,点A的坐标为(-2,1),若抛物线$y=(x-1)^2+m$的图象在矩形ABCD内部的部分,y随x的增大而减小,求m的取值范围.
答案
解：
∵ 矩形ABCD的对称中心为坐标原点O，AD⊥y轴，点A的坐标为(-2,1)，
∴ 矩形其余三个顶点坐标为B(-2,-1)，C(2,-1)，D(2,1)，
∴ 矩形ABCD内部的点满足$-2＜x＜2$，$-1＜y＜1$。
抛物线$y=(x-1)^2+m$开口向上，对称轴为直线$x=1$，
∴ 当$x＜1$时，y随x的增大而减小；当$x＞1$时，y随x的增大而增大。
要使抛物线在矩形ABCD内部的部分y随x的增大而减小，需保证$1＜x＜2$的矩形区域内不存在抛物线上的点，即当$1＜x＜2$时，抛物线的函数值y不在区间$(-1,1)$内。
当$1＜x＜2$时，$0＜(x-1)^2＜1$，因此$m＜y＜m+1$。
要使区间$(m, m+1)$与$(-1,1)$无交集，分两种情况：
1. 若$m+1 ≤ -1$，解得$m ≤ -2$，此时$1＜x＜2$时$y ≤ -1$，不在矩形内部的y取值范围内；
2. 若$m ≥ 1$，此时$1＜x＜2$时$y ≥ 1$，不在矩形内部的y取值范围内。
综上，m的取值范围是$\boldsymbol{m ≤ -2}$或$\boldsymbol{m ≥ 1}$。
∵ 矩形ABCD的对称中心为坐标原点O，AD⊥y轴，点A的坐标为(-2,1)，
∴ 矩形其余三个顶点坐标为B(-2,-1)，C(2,-1)，D(2,1)，
∴ 矩形ABCD内部的点满足$-2＜x＜2$，$-1＜y＜1$。
抛物线$y=(x-1)^2+m$开口向上，对称轴为直线$x=1$，
∴ 当$x＜1$时，y随x的增大而减小；当$x＞1$时，y随x的增大而增大。
要使抛物线在矩形ABCD内部的部分y随x的增大而减小，需保证$1＜x＜2$的矩形区域内不存在抛物线上的点，即当$1＜x＜2$时，抛物线的函数值y不在区间$(-1,1)$内。
当$1＜x＜2$时，$0＜(x-1)^2＜1$，因此$m＜y＜m+1$。
要使区间$(m, m+1)$与$(-1,1)$无交集，分两种情况：
1. 若$m+1 ≤ -1$，解得$m ≤ -2$，此时$1＜x＜2$时$y ≤ -1$，不在矩形内部的y取值范围内；
2. 若$m ≥ 1$，此时$1＜x＜2$时$y ≥ 1$，不在矩形内部的y取值范围内。
综上，m的取值范围是$\boldsymbol{m ≤ -2}$或$\boldsymbol{m ≥ 1}$。
解析
【分析】
解题时首先利用矩形关于原点中心对称的性质，结合已知点A的坐标求出矩形其余顶点坐标，确定矩形内部横、纵坐标的取值范围；再分析抛物线的开口方向和对称轴，得到抛物线的增减区间；要使矩形内部的抛物线部分y随x增大而减小，需保证抛物线在x＞1的矩形区域内没有对应的点，即x∈(1,2)时抛物线的函数值范围与矩形的y取值范围无交集，最后分两类讨论求解m的取值范围即可。
【解析】
∵ 矩形ABCD的对称中心为坐标原点O，AD⊥y轴，点A的坐标为(-2,1)，
∴ 矩形其余三个顶点坐标为B(-2,-1)，C(2,-1)，D(2,1)，
∴ 矩形ABCD内部的点满足$-2＜x＜2$，$-1＜y＜1$。
抛物线$y=(x-1)^2+m$开口向上，对称轴为直线$x=1$，
∴ 当$x＜1$时，y随x的增大而减小；当$x＞1$时，y随x的增大而增大。
要使抛物线在矩形ABCD内部的部分y随x的增大而减小，需保证$1＜x＜2$的矩形区域内不存在抛物线上的点，即当$1＜x＜2$时，抛物线的函数值y不在区间$(-1,1)$内。
当$1＜x＜2$时，$0＜(x-1)^2＜1$，因此$m＜y＜m+1$。
要使区间$(m, m+1)$与$(-1,1)$无交集，分两种情况：
1. 若$m+1 ≤ -1$，解得$m ≤ -2$，此时$1＜x＜2$时$y ≤ -1$，不在矩形内部的y取值范围内；
2. 若$m ≥ 1$，此时$1＜x＜2$时$y ≥ 1$，不在矩形内部的y取值范围内。
综上，m的取值范围是$m ≤ -2$或$m ≥ 1$。
【答案】
$\boldsymbol{m ≤ -2}$或$\boldsymbol{m ≥ 1}$
【知识点】
中心对称的性质，二次函数的增减性，不等式的应用
【点评】
本题综合了中心对称和二次函数的相关知识，解题的关键是将“矩形内部抛物线部分y随x增大而减小”的条件转化为两个区间无交集的问题，同时需要分类讨论避免漏解，较好地考查了数形结合思想和逻辑推理能力。
【难度系数】
0.4
解题时首先利用矩形关于原点中心对称的性质，结合已知点A的坐标求出矩形其余顶点坐标，确定矩形内部横、纵坐标的取值范围；再分析抛物线的开口方向和对称轴，得到抛物线的增减区间；要使矩形内部的抛物线部分y随x增大而减小，需保证抛物线在x＞1的矩形区域内没有对应的点，即x∈(1,2)时抛物线的函数值范围与矩形的y取值范围无交集，最后分两类讨论求解m的取值范围即可。
【解析】
∵ 矩形ABCD的对称中心为坐标原点O，AD⊥y轴，点A的坐标为(-2,1)，
∴ 矩形其余三个顶点坐标为B(-2,-1)，C(2,-1)，D(2,1)，
∴ 矩形ABCD内部的点满足$-2＜x＜2$，$-1＜y＜1$。
抛物线$y=(x-1)^2+m$开口向上，对称轴为直线$x=1$，
∴ 当$x＜1$时，y随x的增大而减小；当$x＞1$时，y随x的增大而增大。
要使抛物线在矩形ABCD内部的部分y随x的增大而减小，需保证$1＜x＜2$的矩形区域内不存在抛物线上的点，即当$1＜x＜2$时，抛物线的函数值y不在区间$(-1,1)$内。
当$1＜x＜2$时，$0＜(x-1)^2＜1$，因此$m＜y＜m+1$。
要使区间$(m, m+1)$与$(-1,1)$无交集，分两种情况：
1. 若$m+1 ≤ -1$，解得$m ≤ -2$，此时$1＜x＜2$时$y ≤ -1$，不在矩形内部的y取值范围内；
2. 若$m ≥ 1$，此时$1＜x＜2$时$y ≥ 1$，不在矩形内部的y取值范围内。
综上，m的取值范围是$m ≤ -2$或$m ≥ 1$。
【答案】
$\boldsymbol{m ≤ -2}$或$\boldsymbol{m ≥ 1}$
【知识点】
中心对称的性质，二次函数的增减性，不等式的应用
【点评】
本题综合了中心对称和二次函数的相关知识，解题的关键是将“矩形内部抛物线部分y随x增大而减小”的条件转化为两个区间无交集的问题，同时需要分类讨论避免漏解，较好地考查了数形结合思想和逻辑推理能力。
【难度系数】
0.4
