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1. 下列是三元一次方程组的是(
A.$\begin{cases}2x = 5\\x^{2}+y = 7\\x + y + z = 6\end{cases}$
B.$\begin{cases}\dfrac{3}{x}-y + z = -2\\x - 2y + z = 9\\y = -3\end{cases}$
C.$\begin{cases}x + y - z = 7\\xyz = 1\\x - 3y = 4\end{cases}$
D.$\begin{cases}x + y = 2\\y + z = 1\\x + z = 9\end{cases}$
D
)A.$\begin{cases}2x = 5\\x^{2}+y = 7\\x + y + z = 6\end{cases}$
B.$\begin{cases}\dfrac{3}{x}-y + z = -2\\x - 2y + z = 9\\y = -3\end{cases}$
C.$\begin{cases}x + y - z = 7\\xyz = 1\\x - 3y = 4\end{cases}$
D.$\begin{cases}x + y = 2\\y + z = 1\\x + z = 9\end{cases}$
答案
1. D A选项，第二个方程中$x^{2}$的次数是2；
B选项，第一个方程中分母含有未知数；
C选项，第二个方程中$xyz$的次数是3；
D选项，方程组中含有三个未知数，且含有未知数的式子都是整式，含有未知数的项的次数都是1，一共有三个方程，故D选项中的方程组是三元一次方程组。
故选D。
B选项，第一个方程中分母含有未知数；
C选项，第二个方程中$xyz$的次数是3；
D选项，方程组中含有三个未知数，且含有未知数的式子都是整式，含有未知数的项的次数都是1，一共有三个方程，故D选项中的方程组是三元一次方程组。
故选D。
2. 「2025 河北邯郸期中」三元一次方程组$\begin{cases}2a + b - 3c = 19,\\4a + 2b + c = 3,\\a - b + c = 0\end{cases}$消去未知数$c$后，所得的二元一次方程组可以是( )
A.$\begin{cases}5a - 2b = 19\\a + b = 1\end{cases}$
B.$\begin{cases}2a + b = 4\\3a + b = 3\end{cases}$
C.$\begin{cases}a + b = 1\\3a - 2b = 19\end{cases}$
D.$\begin{cases}3a + b = 3\\5a - 2b = 19\end{cases}$
A.$\begin{cases}5a - 2b = 19\\a + b = 1\end{cases}$
B.$\begin{cases}2a + b = 4\\3a + b = 3\end{cases}$
C.$\begin{cases}a + b = 1\\3a - 2b = 19\end{cases}$
D.$\begin{cases}3a + b = 3\\5a - 2b = 19\end{cases}$
答案
2. A $\begin{cases}2a + b - 3c = 19①,\\4a + 2b + c = 3②,\\a - b + c = 0③,\end{cases}$
② - ③，得$3a + 3b = 3$，即$a + b = 1$④。
③×3，得$3a - 3b + 3c = 0$⑤。
① + ⑤，得$5a - 2b = 19$⑥。
④⑥联立成二元一次方程组得$\begin{cases}5a - 2b = 19,\\a + b = 1.\end{cases}$故选A。
② - ③，得$3a + 3b = 3$，即$a + b = 1$④。
③×3，得$3a - 3b + 3c = 0$⑤。
① + ⑤，得$5a - 2b = 19$⑥。
④⑥联立成二元一次方程组得$\begin{cases}5a - 2b = 19,\\a + b = 1.\end{cases}$故选A。
3. 「2025 河南周口期中」三元一次方程组$\begin{cases}y = 2x - 7,\\5x + 3y = 1,\\3x - 4z = 4\end{cases}$的解是( )
A.$\begin{cases}x = -2\\y = 3\\z = -\dfrac{1}{2}\end{cases}$
B.$\begin{cases}x = 2\\y = -3\\z = \dfrac{1}{2}\end{cases}$
C.$\begin{cases}x = \dfrac{1}{2}\\y = -3\\z = 2\end{cases}$
D.$\begin{cases}x = -\dfrac{1}{2}\\y = 3\\x = -2\end{cases}$
A.$\begin{cases}x = -2\\y = 3\\z = -\dfrac{1}{2}\end{cases}$
B.$\begin{cases}x = 2\\y = -3\\z = \dfrac{1}{2}\end{cases}$
C.$\begin{cases}x = \dfrac{1}{2}\\y = -3\\z = 2\end{cases}$
D.$\begin{cases}x = -\dfrac{1}{2}\\y = 3\\x = -2\end{cases}$
答案
3. B 【解法一】直接代入法：把各选项中的$x$，$y$，$z$的值代入三元一次方程组，逐项判断即可得到B选项正确。
【解法二】解方程组：方程组为$\begin{cases}y = 2x - 7①,\\5x + 3y = 1②,\\3x - 4z = 4③,\end{cases}$
把①代入②，得$5x + 3(2x - 7) = 1$，解得$x = 2$。
将$x = 2$代入①，得$y = 2×2 - 7 = - 3$。
把$x = 2$代入③，得$3×2 - 4z = 4$，解得$z = \frac{1}{2}$。
所以原方程组的解为$\begin{cases}x = 2,\\y = - 3,\\z = \frac{1}{2}.\end{cases}$故选B。
【解法二】解方程组：方程组为$\begin{cases}y = 2x - 7①,\\5x + 3y = 1②,\\3x - 4z = 4③,\end{cases}$
把①代入②，得$5x + 3(2x - 7) = 1$，解得$x = 2$。
将$x = 2$代入①，得$y = 2×2 - 7 = - 3$。
把$x = 2$代入③，得$3×2 - 4z = 4$，解得$z = \frac{1}{2}$。
所以原方程组的解为$\begin{cases}x = 2,\\y = - 3,\\z = \frac{1}{2}.\end{cases}$故选B。
4. 请认真观察，动脑筋想一想，图中“?”表示的数是(
A.420
B.240
C.160
D.70
B
)A.420
B.240
C.160
D.70
答案
4. B 设题图中一个篮球表示的数是$x$，一顶帽子表示的数是$y$，一双鞋表示的数是$z$，
依题意得$\begin{cases}x + 3y + 2z = 110①,\\x - 3y + z = 30②,\\2x - 3z = 20③,\end{cases}$
① + ②，得$2x + 3z = 140$④，
③ + ④，得$4x = 160$，解得$x = 40$，
把$x = 40$代入③，得$2×40 - 3z = 20$，解得$z = 20$，
把$x = 40$，$z = 20$代入①，得$40 + 3y + 2×20 = 110$，解得$y = 10$，
则方程组的解为$\begin{cases}x = 40,\\y = 10,\\z = 20.\end{cases}$
故$x + yz = 40 + 10×20 = 240$。故选B。
依题意得$\begin{cases}x + 3y + 2z = 110①,\\x - 3y + z = 30②,\\2x - 3z = 20③,\end{cases}$
① + ②，得$2x + 3z = 140$④，
③ + ④，得$4x = 160$，解得$x = 40$，
把$x = 40$代入③，得$2×40 - 3z = 20$，解得$z = 20$，
把$x = 40$，$z = 20$代入①，得$40 + 3y + 2×20 = 110$，解得$y = 10$，
则方程组的解为$\begin{cases}x = 40,\\y = 10,\\z = 20.\end{cases}$
故$x + yz = 40 + 10×20 = 240$。故选B。
5. 「2025 贵州铜仁碧江期末」已知$\begin{cases}x = 1,\\y = 2,\\z = 3\end{cases}$是方程组$\begin{cases}ax + by = 2,\\by + cz = 3,\\cx + az = 7\end{cases}$的解，则$a + b + c$的值是( )
A.3
B.2
C.1
D.无法确定
A.3
B.2
C.1
D.无法确定
答案
5. A 把$\begin{cases}x = 1,\\y = 2,\\z = 3\end{cases}$代入方程组得$\begin{cases}a + 2b = 2①,\\2b + 3c = 3②,\\c + 3a = 7③,\end{cases}$
① + ② + ③，得$4a + 4b + 4c = 12$，所以$a + b + c = 3$。故选A。
① + ② + ③，得$4a + 4b + 4c = 12$，所以$a + b + c = 3$。故选A。
6. 「2025 四川内江期中」已知$a$，$b$，$c$满足方程组$\begin{cases}a - 2b + 3c = 0,\\2a - 3b + 4c = 0,\end{cases}$则$a:b:c =$ ______ 。
答案
6. 答案 $1:2:1$
解析 $\begin{cases}a - 2b + 3c = 0①,\\2a - 3b + 4c = 0②,\end{cases}$
①×2，得$2a - 4b + 6c = 0$③，
③ - ②，得$-b + 2c = 0$，即$b = 2c$。
将$b = 2c$代入①，得$a - 2×2c + 3c = 0$，
整理得$a - c = 0$，即$a = c$，
所以$a:b:c = c:2c:c = 1:2:1$。
解析 $\begin{cases}a - 2b + 3c = 0①,\\2a - 3b + 4c = 0②,\end{cases}$
①×2，得$2a - 4b + 6c = 0$③，
③ - ②，得$-b + 2c = 0$，即$b = 2c$。
将$b = 2c$代入①，得$a - 2×2c + 3c = 0$，
整理得$a - c = 0$，即$a = c$，
所以$a:b:c = c:2c:c = 1:2:1$。
7. 「2025 山东潍坊期中」某市举行中学生足球联赛，比赛的计分规则为胜 1 场得 3 分，平 1 场得 1 分，负 1 场得 0 分。某中学足球队在该联赛的 12 场比赛中，平和负的场数之和等于胜的场数，共得 20 分。设该队在联赛中胜$x$场、平$y$场、负$z$场，则列三元一次方程组为。
答案
7. 答案 $\begin{cases}x + y + z = 12\\x = y + z\\3x + y = 20\end{cases}$
解析 因为共12场比赛，所以$x + y + z = 12$。
因为平和负的场数之和等于胜的场数，所以$x = y + z$。
因为共得了20分，所以$3x + y = 20$。
所以方程组为$\begin{cases}x + y + z = 12,\\x = y + z,\\3x + y = 20.\end{cases}$
解析 因为共12场比赛，所以$x + y + z = 12$。
因为平和负的场数之和等于胜的场数，所以$x = y + z$。
因为共得了20分，所以$3x + y = 20$。
所以方程组为$\begin{cases}x + y + z = 12,\\x = y + z,\\3x + y = 20.\end{cases}$
8. 「2025 上海闵行期末」解方程组：$\begin{cases}2x + 3y = 4,\\2x - y + 2z = -4,\\x + 2y - 2z = 3.\end{cases}$
答案
8. 解析 $\begin{cases}2x + 3y = 4①,\\2x - y + 2z = - 4②,\\x + 2y - 2z = 3③,\end{cases}$
② + ③，得$3x + y = - 1$④，
④×3，得$9x + 3y = - 3$⑤，
⑤ - ①，得$7x = - 7$，解得$x = - 1$。
把$x = - 1$代入①，得$- 2 + 3y = 4$，解得$y = 2$。
把$x = - 1$，$y = 2$代入②，得$- 2 - 2 + 2z = - 4$，解得$z = 0$。
所以原方程组的解为$\begin{cases}x = - 1,\\y = 2,\\z = 0.\end{cases}$
② + ③，得$3x + y = - 1$④，
④×3，得$9x + 3y = - 3$⑤，
⑤ - ①，得$7x = - 7$，解得$x = - 1$。
把$x = - 1$代入①，得$- 2 + 3y = 4$，解得$y = 2$。
把$x = - 1$，$y = 2$代入②，得$- 2 - 2 + 2z = - 4$，解得$z = 0$。
所以原方程组的解为$\begin{cases}x = - 1,\\y = 2,\\z = 0.\end{cases}$
9. 「2024 湖南衡阳耒阳期末」解方程组：$\begin{cases}x + y = 5,\\y + z = 9,\\z + x = 8.\end{cases}$
答案
9. 解析 【解法一】整体 + 加减：$\begin{cases}x + y = 5①,\\y + z = 9②,\\z + x = 8③,\end{cases}$
① + ② + ③，得$2x + 2y + 2z = 22$。
整理得$x + y + z = 11$④，
④ - ①，得$z = 6$，
④ - ②，得$x = 2$，
④ - ③，得$y = 3$，
所以这个三元一次方程组的解为$\begin{cases}x = 2,\\y = 3,\\z = 6.\end{cases}$
【解法二】整体 + 代入：$\begin{cases}x + y = 5①,\\y + z = 9②,\\z + x = 8③,\end{cases}$
① + ② + ③，得$2x + 2y + 2z = 22$，
整理得$x + y + z = 11$④，
把①代入④，得$5 + z = 11$，解得$z = 6$，
把②代入④，得$9 + x = 11$，解得$x = 2$，
把③代入④，得$8 + y = 11$，解得$y = 3$，
所以这个三元一次方程组的解为$\begin{cases}x = 2,\\y = 3,\\z = 6.\end{cases}$
【解法三】代入消元：$\begin{cases}x + y = 5①,\\y + z = 9②,\\z + x = 8③,\end{cases}$
由①得$x = 5 - y$④。
把④代入③，得$z + 5 - y = 8$，整理得$z - y = 3$⑤。
②与⑤组成二元一次方程组$\begin{cases}y + z = 9,\\z - y = 3.\end{cases}$
解这个方程组，得$\begin{cases}y = 3,\\z = 6.\end{cases}$
把$y = 3$代入①，得$x + 3 = 5$，解得$x = 2$。
所以这个三元一次方程组的解为$\begin{cases}x = 2,\\y = 3,\\z = 6.\end{cases}$
① + ② + ③，得$2x + 2y + 2z = 22$。
整理得$x + y + z = 11$④，
④ - ①，得$z = 6$，
④ - ②，得$x = 2$，
④ - ③，得$y = 3$，
所以这个三元一次方程组的解为$\begin{cases}x = 2,\\y = 3,\\z = 6.\end{cases}$
【解法二】整体 + 代入：$\begin{cases}x + y = 5①,\\y + z = 9②,\\z + x = 8③,\end{cases}$
① + ② + ③，得$2x + 2y + 2z = 22$，
整理得$x + y + z = 11$④，
把①代入④，得$5 + z = 11$，解得$z = 6$，
把②代入④，得$9 + x = 11$，解得$x = 2$，
把③代入④，得$8 + y = 11$，解得$y = 3$，
所以这个三元一次方程组的解为$\begin{cases}x = 2,\\y = 3,\\z = 6.\end{cases}$
【解法三】代入消元：$\begin{cases}x + y = 5①,\\y + z = 9②,\\z + x = 8③,\end{cases}$
由①得$x = 5 - y$④。
把④代入③，得$z + 5 - y = 8$，整理得$z - y = 3$⑤。
②与⑤组成二元一次方程组$\begin{cases}y + z = 9,\\z - y = 3.\end{cases}$
解这个方程组，得$\begin{cases}y = 3,\\z = 6.\end{cases}$
把$y = 3$代入①，得$x + 3 = 5$，解得$x = 2$。
所以这个三元一次方程组的解为$\begin{cases}x = 2,\\y = 3,\\z = 6.\end{cases}$
