10. 「2025 陕西汉中四中期中」如图，在四边形 ABCD 中，AB ⊥ BC，AE 平分∠BAD 交 BC 于点 E，连接 DE，点 F 为 AD 上方一点，连接 AF，DF，点 M，N 分别是 BA，CD 延长线上的点，已知 AE ⊥ DE，∠1 + ∠2 = 90°，下列结论：①∠F 与∠FDN 为内错角；②AB // CD；③∠AEB + ∠ADC = 180°；④DE 平分∠ADC，其中所有正确结论的序号为。

10. 答案 ①②④
解析 由题图可知$∠F$与$∠FDN$为内错角,故结论①正确;$\because AB⊥BC$,$AE⊥DE$,$\therefore ∠1 + ∠AEB = 90°$,$∠AEB + ∠DEC = 90°$,$\therefore ∠1 = ∠DEC$,$\because ∠1 + ∠2 = 90°$,$\therefore ∠DEC + ∠2 = 90°$,$\therefore ∠C = 180°-(∠DEC + ∠2) = 180°-90°= 90°$,$\therefore DC⊥BC$,$\therefore AB// CD$,故结论②正确;$\because AB// CD$,$\therefore ∠BAD + ∠ADC = 180°$,$\because ∠AEB$不一定等于$∠BAD$,$\therefore ∠AEB + ∠ADC$不一定等于$180°$,故结论③错误;$\because AE$平分$∠BAD$,$\therefore ∠1 = ∠EAD$,$\because ∠1 + ∠AEB = 90°$,$∠EAD + ∠EDA = 90°$,$\therefore ∠AEB = ∠EDA$,$\because ∠1 + ∠2 = 90°$,$\therefore ∠AEB = ∠2$,$\therefore ∠EDA = ∠2$,$\therefore DE$平分$∠ADC$,故结论④正确.综上所述,正确的结论为①②④.

三、解答题（共 40 分）
11. 「2025 湖北孝感云梦期中」（8 分）如图，直线 AB，CD 相交于点 O，EO ⊥ CD。
（1）若∠BOD = 35°，求∠AOE 的度数。
（2）若∠BOD : ∠EOB = 1 : 2，求∠AOE 的度数。

11. 解析 (1)$\because EO⊥CD$,$\therefore ∠COE = 90°$,$\because ∠AOC = ∠BOD = 35°$,$\therefore ∠AOE = ∠AOC + ∠COE = 35°+90°= 125°$.(2)$\because ∠BOD:∠EOB = 1:2$,$\therefore$设$∠BOD = x$,$∠EOB = 2x$,$\because EO⊥CD$,$\therefore ∠EOD = 90°$,$\therefore ∠BOD + ∠EOB = 90°$,即$x + 2x = 90°$,$\therefore x = 30°$,$\therefore ∠EOB = 60°$,$\therefore ∠AOE = 180°-∠EOB = 120°$.

12. （10 分）证明：平行于同一条直线的两条直线平行。
请根据图形写出已知、求证及证明。
已知：
求证：
证明：

12. 解析 答案不唯一,如:已知:$b// a$,$c// a$.求证:$b// c$.证明:作直线 l,l 与直线 a,b,c 的交点依次为 A,B,C,如图所示,

$\because b// a$(已知),$\therefore ∠1 = ∠2$(两直线平行,同位角相等),$\because c// a$(已知),$\therefore ∠1 = ∠3$(两直线平行,同位角相等),$\therefore ∠2 = ∠3$(等量代换),$\therefore b// c$(同位角相等,两直线平行).

13. 「2025 湖北恩施州期中」(10 分)如图，由若干个小正方形构成的网格(小正方形的边长均为 1)中有一个三角形 ABC，它的三个顶点都在格点上，借助网格按要求进行作图。
(1)请你画出 AB 的平行线 CD。
(2)平移三角形 ABC，并将三角形 ABC 的顶点 A 平移到点 E 处，点 F 和点 B 对应，点 G 与点 C 对应。
(3)三角形 EFG 的面积为。

13. 解析 (1)如图,CD 为所求作的直线.

(2)如图,$△EFG$为所求作的三角形.

(3)$S_{△EFG} = 3×4-\frac{1}{2}×3×2-\frac{1}{2}×2×2-\frac{1}{2}×1×4 = 5$.

14. 「2025 北京西城期中改编」(12 分)如图，AB // CD，点 E，F 分别在直线 CD，AB 上。
(1)如图 1，点 G 在线段 EF 上，GH ⊥ EF 交 AB 于 H，则∠DEG + ∠BHG = °。
(2)如图 2，在(1)的条件下，∠CEG 的平分线与∠AHG 的平分线交于点 M，若∠DEF = 62°，求∠EMH 的大小。
(3)如图 3，∠ENF = 90°，若∠AFP = n∠NFP，∠DEQ = n∠NEQ，并且∠P - ∠Q = α，则 n = (用含 α 的式子表示)。

14. 解析 (1)如图,过点 G 作$GI// AB$,$\because AB// CD$,$\therefore GI// AB// CD$,$\therefore ∠DEG = ∠EGI$,$∠IGH = ∠BHG$,$\because GH⊥EF$,$\therefore ∠EGH = 90°$.$\therefore ∠DEG + ∠BHG = ∠EGI + ∠IGH = ∠EGH = 90°$.故答案为 90.

(2)如图,过点 M作$MN// CD$,$\because AB// CD$,$\therefore MN// AB// CD$,$\therefore ∠CEM = ∠EMN$,$∠AHM = ∠HMN$,$∠EFH = ∠DEF = 62°$,$\because EM$平分$∠CEF$,$∠CEF = 180°-62°= 118°$,$\therefore ∠CEM = ∠GEM = \frac{1}{2}∠CEF = 59°$,$\therefore ∠EMN = ∠CEM = 59°$,$\because GH⊥EF$,$\therefore ∠FGH = 90°$,$\therefore ∠IGH = ∠GHF = 180°-90°-62°= 28°$,$\therefore ∠AHG = 180°-28°= 152°$,$\because HM$平分$∠AHG$,$\therefore ∠HMN = ∠MHA = \frac{1}{2}∠AHG = 76°$,$\therefore ∠EMH = ∠EMN + ∠NMH = 59°+76°= 135°$.(3)如图,过点 Q 作$QI// CD$,过点 P 作$PM// CD$,过点 N 作$NT// CD$,

$\because AB// CD$,$\therefore AB// CD// QI// PM// NT$,$\therefore ∠DEN = ∠ENT = (n + 1)∠NEQ$,$∠TNF = ∠NFB = 180°-(n + 1)∠NFP$.$\therefore ∠ENF = ∠TNF + ∠ENT = 180°-(n + 1)∠NFP + (n + 1)∠NEQ = 90°$,$\therefore ∠NFP - ∠NEQ = \frac{90°}{n + 1}$,$\because QI// CD$,$\therefore ∠DEQ = ∠EQI = n∠NEQ$,$\because PM// AB$,$\therefore ∠MPF = ∠PFA = n∠NFP$,$\because QI// PM$,$\therefore ∠IQP = ∠QPM$,$\therefore ∠FPQ - ∠EQP = ∠FPM - ∠EQI = n∠NFP - n∠NEQ = α$,$\because ∠NFP - ∠NEQ = \frac{90°}{n + 1}$,$\therefore \frac{90°n}{n + 1} = α$,$\therefore n = \frac{α}{90°-α}$,故答案为$\frac{α}{90°-α}$.