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20.（8分）如图，四边形ABCD是矩形，AD=2，AB=1，$\overset{\frown}{DC}$的圆心是点A.
（1）求$\overset{\frown}{DE}$的长度；
（2）求阴影部分的面积.
（1）求$\overset{\frown}{DE}$的长度；
（2）求阴影部分的面积.
答案
20. 解:(1) 连接 AE. $l_{\overset{\frown}{DE}}=\dfrac{30 × 2π}{180}=\dfrac{π}{3}$;(2) $\therefore S_{阴影}=S_{矩形ABCD}-S_{扇形ADE}-S_{△ ABE}=2-\dfrac{\sqrt{3}}{2}-\dfrac{π}{3}$.
解析
【分析】
（1）求弧$\overset{\frown}{DE}$的长度需使用弧长公式$l=\frac{nπ r}{180}$，因此先连接辅助线AE，由弧$\overset{\frown}{DC}$的圆心为A可得半径$AE=AD=2$，再结合矩形的性质，在Rt△ABE中求出扇形对应的圆心角$∠ DAE$的度数，代入公式即可求得弧长。
（2）阴影部分是不规则图形，采用割补法计算：用矩形ABCD的总面积减去扇形ADE的面积，再减去Rt△ABE的面积，即可得到阴影部分的面积。
【解析】
（1）连接AE。
∵ 弧$\overset{\frown}{DC}$的圆心是点A，
∴ AE和AD均为扇形半径，即$AE=AD=2$。
∵ 四边形ABCD是矩形，
∴ $∠ B=90°$，$AD// BC$，$AB=1$。
在Rt△ABE中，$AB=1$，$AE=2$，
∴ $\sin∠ AEB=\frac{AB}{AE}=\frac{1}{2}$，可得$∠ AEB=30°$。
由$AD// BC$，内错角相等得$∠ DAE=∠ AEB=30°$。
代入弧长公式：$l_{\overset{\frown}{DE}}=\frac{nπ r}{180}=\frac{30×π×2}{180}=\frac{π}{3}$。
（2）分别计算各规则图形的面积：
矩形ABCD的面积：$S_{矩形ABCD}=AB× AD=1×2=2$；
扇形ADE的面积：$S_{扇形ADE}=\frac{nπ r^2}{360}=\frac{30×π×2^2}{360}=\frac{π}{3}$；
在Rt△ABE中，由勾股定理得$BE=\sqrt{AE^2-AB^2}=\sqrt{2^2-1^2}=\sqrt{3}$，
则$S_{△ ABE}=\frac{1}{2}× AB× BE=\frac{1}{2}×1×\sqrt{3}=\frac{\sqrt{3}}{2}$。
因此阴影部分面积：$S_{阴影}=S_{矩形ABCD}-S_{扇形ADE}-S_{△ ABE}=2-\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{π}{3}$。
【答案】
（1）$\overset{\frown}{DE}$的长度为$\frac{π}{3}$；
（2）阴影部分的面积为$2-\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{π}{3}$。
【知识点】
弧长计算，扇形面积计算，割补法求面积
【点评】
本题结合矩形性质考查弧长、扇形面积的计算，解题核心是通过辅助线求出扇形圆心角，掌握割补法求解不规则图形面积的思路，是几何计算的典型题型。
【难度系数】
0.7
（1）求弧$\overset{\frown}{DE}$的长度需使用弧长公式$l=\frac{nπ r}{180}$，因此先连接辅助线AE，由弧$\overset{\frown}{DC}$的圆心为A可得半径$AE=AD=2$，再结合矩形的性质，在Rt△ABE中求出扇形对应的圆心角$∠ DAE$的度数，代入公式即可求得弧长。
（2）阴影部分是不规则图形，采用割补法计算：用矩形ABCD的总面积减去扇形ADE的面积，再减去Rt△ABE的面积，即可得到阴影部分的面积。
【解析】
（1）连接AE。
∵ 弧$\overset{\frown}{DC}$的圆心是点A，
∴ AE和AD均为扇形半径，即$AE=AD=2$。
∵ 四边形ABCD是矩形，
∴ $∠ B=90°$，$AD// BC$，$AB=1$。
在Rt△ABE中，$AB=1$，$AE=2$，
∴ $\sin∠ AEB=\frac{AB}{AE}=\frac{1}{2}$，可得$∠ AEB=30°$。
由$AD// BC$，内错角相等得$∠ DAE=∠ AEB=30°$。
代入弧长公式：$l_{\overset{\frown}{DE}}=\frac{nπ r}{180}=\frac{30×π×2}{180}=\frac{π}{3}$。
（2）分别计算各规则图形的面积：
矩形ABCD的面积：$S_{矩形ABCD}=AB× AD=1×2=2$；
扇形ADE的面积：$S_{扇形ADE}=\frac{nπ r^2}{360}=\frac{30×π×2^2}{360}=\frac{π}{3}$；
在Rt△ABE中，由勾股定理得$BE=\sqrt{AE^2-AB^2}=\sqrt{2^2-1^2}=\sqrt{3}$，
则$S_{△ ABE}=\frac{1}{2}× AB× BE=\frac{1}{2}×1×\sqrt{3}=\frac{\sqrt{3}}{2}$。
因此阴影部分面积：$S_{阴影}=S_{矩形ABCD}-S_{扇形ADE}-S_{△ ABE}=2-\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{π}{3}$。
【答案】
（1）$\overset{\frown}{DE}$的长度为$\frac{π}{3}$；
（2）阴影部分的面积为$2-\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{π}{3}$。
【知识点】
弧长计算，扇形面积计算，割补法求面积
【点评】
本题结合矩形性质考查弧长、扇形面积的计算，解题核心是通过辅助线求出扇形圆心角，掌握割补法求解不规则图形面积的思路，是几何计算的典型题型。
【难度系数】
0.7
21. (8分) 如图,点O是菱形ABCD对角线上一点,以点O为圆心,OA长为半径的⊙O与BC相切于点M.
(1) 求证:CD与⊙O相切;
(2) 若∠B = 60°,⊙O的半径为3,求菱形的边长.
(1) 求证:CD与⊙O相切;
(2) 若∠B = 60°,⊙O的半径为3,求菱形的边长.
答案
(1) 证明:连接OM,过点O作$ON ⊥ CD$于点N,$\because$ BC与$\odot O$相切于点M.$\therefore OM$是$\odot O$的半径,$OM ⊥ BC$,$\because$ 四边形ABCD是菱形,$\therefore AC$平分$∠ BCD$,$\because ON ⊥ CD$,$\therefore OM = ON$,$\therefore CD$与$\odot O$相切.
(2) 解:$\because$ 四边形ABCD是菱形,$\therefore AB // CD$,$\because ∠ B = 60°$,$\therefore ∠ BCD = 180° - ∠ B = 120°$,$\because AC$平分$∠ BCD$,$\therefore ∠ OCD =\dfrac{1}{2}∠ BCD = 60°$,$\because OM ⊥ BC$,$\therefore ∠ COM = 90° - ∠ OCD = 90° - 60° = 30°$,$\therefore OC = 2CM$,$\because CM^2 + OM^2 = OC^2$,$\therefore CM^2 + 3^2 = (2CM)^2$,解得$CM = \sqrt{3}$,$\therefore OC = 2CM = 2\sqrt{3}$,$\therefore AC = OA + OC = 3 + 2\sqrt{3}$,$\because AB = BC$,$∠ B = 60°$,$\therefore △ ABC$是等边三角形,$\therefore AB = AC = 3 + 2\sqrt{3}$.
解析
【分析】
(1) 要证明CD与⊙O相切，需证明圆心O到CD的距离等于⊙O的半径。已知BC是⊙O的切线，可得OM⊥BC且OM是半径；结合菱形对角线平分内角的性质，AC是∠BCD的角平分线，根据角平分线的性质，过O作ON⊥CD，可得OM=ON，即ON等于半径，即可得证CD与⊙O相切。
(2) 要求菱形的边长，已知∠B=60°，菱形邻边相等，可得△ABC是等边三角形，即菱形边长等于AC的长度。AC=OA+OC，OA是已知半径3，只需计算OC：在Rt△OMC中，先根据菱形邻角互补、角平分线性质求出∠OCM=60°，得∠COM=30°，利用含30°角的直角三角形性质和勾股定理可求出OC，进而得到AC长度，即菱形边长。
【解析】
(1) 证明：连接OM，过点O作$ON ⊥ CD$于点N，
∵ BC与$\odot O$相切于点M，
∴ OM是$\odot O$的半径，$OM ⊥ BC$，
∵ 四边形ABCD是菱形，
∴ AC平分$∠ BCD$，
∵ $ON ⊥ CD$，$OM ⊥ BC$，
∴ $OM = ON$，即ON为$\odot O$的半径，
∴ CD与$\odot O$相切。
(2) 解：
∵ 四边形ABCD是菱形，
∴ $AB = BC$，$AB // CD$，
∵ $∠ B = 60°$，
∴ $∠ BCD = 180° - ∠ B = 120°$，
∵ AC平分$∠ BCD$，
∴ $∠ OCD =∠ OCM =\dfrac{1}{2}∠ BCD = 60°$，
∵ $OM ⊥ BC$，
∴ $∠ COM = 90° - ∠ OCM = 90° - 60° = 30°$，
∴ $OC = 2CM$，
在$Rt△OMC$中，由勾股定理得$CM^2 + OM^2 = OC^2$，
代入$OM=3$，$OC=2CM$，得$CM^2 + 3^2 = (2CM)^2$，
解得$CM = \sqrt{3}$，
∴ $OC = 2CM = 2\sqrt{3}$，
∴ $AC = OA + OC = 3 + 2\sqrt{3}$，
又
∵ $AB = BC$，$∠ B = 60°$，
∴ $△ ABC$是等边三角形，
∴ 菱形的边长$AB = AC = 3 + 2\sqrt{3}$。
【答案】
(1) 证明见解析；(2) 菱形的边长为$3+2\sqrt{3}$
【知识点】
1.切线的判定与性质
2.菱形的性质
3.等边三角形的判定与性质
【点评】
本题属于几何综合基础题，综合了圆、特殊四边形、特殊三角形的核心知识点，解题关键是熟练掌握切线判定方法、菱形与等边三角形的性质，学会利用角平分线性质、勾股定理进行线段长度的计算，对几何辅助线的添加能力有一定要求。
【难度系数】
0.7
(1) 要证明CD与⊙O相切，需证明圆心O到CD的距离等于⊙O的半径。已知BC是⊙O的切线，可得OM⊥BC且OM是半径；结合菱形对角线平分内角的性质，AC是∠BCD的角平分线，根据角平分线的性质，过O作ON⊥CD，可得OM=ON，即ON等于半径，即可得证CD与⊙O相切。
(2) 要求菱形的边长，已知∠B=60°，菱形邻边相等，可得△ABC是等边三角形，即菱形边长等于AC的长度。AC=OA+OC，OA是已知半径3，只需计算OC：在Rt△OMC中，先根据菱形邻角互补、角平分线性质求出∠OCM=60°，得∠COM=30°，利用含30°角的直角三角形性质和勾股定理可求出OC，进而得到AC长度，即菱形边长。
【解析】
(1) 证明：连接OM，过点O作$ON ⊥ CD$于点N，
∵ BC与$\odot O$相切于点M，
∴ OM是$\odot O$的半径，$OM ⊥ BC$，
∵ 四边形ABCD是菱形，
∴ AC平分$∠ BCD$，
∵ $ON ⊥ CD$，$OM ⊥ BC$，
∴ $OM = ON$，即ON为$\odot O$的半径，
∴ CD与$\odot O$相切。
(2) 解：
∵ 四边形ABCD是菱形，
∴ $AB = BC$，$AB // CD$，
∵ $∠ B = 60°$，
∴ $∠ BCD = 180° - ∠ B = 120°$，
∵ AC平分$∠ BCD$，
∴ $∠ OCD =∠ OCM =\dfrac{1}{2}∠ BCD = 60°$，
∵ $OM ⊥ BC$，
∴ $∠ COM = 90° - ∠ OCM = 90° - 60° = 30°$，
∴ $OC = 2CM$，
在$Rt△OMC$中，由勾股定理得$CM^2 + OM^2 = OC^2$，
代入$OM=3$，$OC=2CM$，得$CM^2 + 3^2 = (2CM)^2$，
解得$CM = \sqrt{3}$，
∴ $OC = 2CM = 2\sqrt{3}$，
∴ $AC = OA + OC = 3 + 2\sqrt{3}$，
又
∵ $AB = BC$，$∠ B = 60°$，
∴ $△ ABC$是等边三角形，
∴ 菱形的边长$AB = AC = 3 + 2\sqrt{3}$。
【答案】
(1) 证明见解析；(2) 菱形的边长为$3+2\sqrt{3}$
【知识点】
1.切线的判定与性质
2.菱形的性质
3.等边三角形的判定与性质
【点评】
本题属于几何综合基础题，综合了圆、特殊四边形、特殊三角形的核心知识点，解题关键是熟练掌握切线判定方法、菱形与等边三角形的性质，学会利用角平分线性质、勾股定理进行线段长度的计算，对几何辅助线的添加能力有一定要求。
【难度系数】
0.7
22. (10分)项目式学习
项目主题:合理设计智慧泉源
项目背景:洒水车是城市绿化的生力军,清扫道路,美化市容,降温除尘,方便出行.
如图1,一辆洒水车正在沿着公路行驶(平行于绿化带),为绿化带浇水.数学小组成员想了解洒水车要如何把控行驶路线与绿化带之间的距离,才能保证喷出的水能浇灌到整个绿化带.围绕这个问题,该小组开展了“合理设计智慧泉源”为主题的项目式学习.
任务一:测量建模
建立如图2所示的平面直角坐标系,可以把洒水车喷出水的上、下边缘抽象为两条抛物线的部分图象,喷水口H离地面竖直高度h为1.2米.上边缘抛物线最高点A离喷水口的水平距离为2米,高出喷水口0.4米.
(1)求上边缘抛物线的函数解析式;
任务二:推理分析
小组成员通过进一步分析发现:当喷头竖直高度调整时,喷头喷出的水柱抛物线形状不发生改变,即下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到的,把绿化带横截面抽象为矩形DEFG,其水平宽度DE=1.8米,竖直高度EF=1.1米,洒水车到绿化带的距离OD为d米.
(2)求下边缘抛物线与x轴交点B的坐标;
(3)若d=2.2米,则洒水车行驶时喷出的水能否浇灌到整个绿化带?请说明理由.
项目主题:合理设计智慧泉源
项目背景:洒水车是城市绿化的生力军,清扫道路,美化市容,降温除尘,方便出行.
如图1,一辆洒水车正在沿着公路行驶(平行于绿化带),为绿化带浇水.数学小组成员想了解洒水车要如何把控行驶路线与绿化带之间的距离,才能保证喷出的水能浇灌到整个绿化带.围绕这个问题,该小组开展了“合理设计智慧泉源”为主题的项目式学习.
任务一:测量建模
建立如图2所示的平面直角坐标系,可以把洒水车喷出水的上、下边缘抽象为两条抛物线的部分图象,喷水口H离地面竖直高度h为1.2米.上边缘抛物线最高点A离喷水口的水平距离为2米,高出喷水口0.4米.
(1)求上边缘抛物线的函数解析式;
任务二:推理分析
小组成员通过进一步分析发现:当喷头竖直高度调整时,喷头喷出的水柱抛物线形状不发生改变,即下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到的,把绿化带横截面抽象为矩形DEFG,其水平宽度DE=1.8米,竖直高度EF=1.1米,洒水车到绿化带的距离OD为d米.
(2)求下边缘抛物线与x轴交点B的坐标;
(3)若d=2.2米,则洒水车行驶时喷出的水能否浇灌到整个绿化带?请说明理由.
答案
22 解:(1) 由题意得:$A(2,1.6)$ 为上边缘抛物线的顶点,设$y = a(x - 2)^2 + 1.6$,又$\because$ 抛物线过点$(0,1.2)$,$\therefore 1.2 = 4a + 1.6$,解得$a = - 0. 1$,$\therefore$ 上边缘抛物线的函数解析式为$y = - 0. 1(x - 2)^2 + 1. 6$.
(2)$\because$ 对称轴为直线$x = 2$,$\therefore$ 点$(0,1.2)$ 的对称点为$(4,1.2)$,$\therefore$ 下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移4米得到的,当$y = 0$时,$0 = - 0. 1(x - 2)^2 + 1. 6$. 解得$x_1 = 6$,$x_2 = - 2$(舍去),$\therefore 6 - 4 = 2$.$\therefore$ 点 B 的坐标为$(2,0)$;
(3)$\because$ 矩形 DEFG,其水平宽度 $DE = 1. 8$ 米,竖直高度 $EF = 1. 1$ 米,$\therefore OD = d = 2. 2$ 米,则$2. 2 + 1. 8 = 4$(米),$\therefore$ 点 F 的坐标为$(4,1. 1)$,当$x = 4$时,$y = - 0. 1(4 - 2)^2 + 1. 6 = 1. 2 ＞ 1. 1$,当$x ＞ 2$时,$y$ 随 $x$ 的增大而减小,$\therefore$ 洒水车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带.
(2)$\because$ 对称轴为直线$x = 2$,$\therefore$ 点$(0,1.2)$ 的对称点为$(4,1.2)$,$\therefore$ 下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移4米得到的,当$y = 0$时,$0 = - 0. 1(x - 2)^2 + 1. 6$. 解得$x_1 = 6$,$x_2 = - 2$(舍去),$\therefore 6 - 4 = 2$.$\therefore$ 点 B 的坐标为$(2,0)$;
(3)$\because$ 矩形 DEFG,其水平宽度 $DE = 1. 8$ 米,竖直高度 $EF = 1. 1$ 米,$\therefore OD = d = 2. 2$ 米,则$2. 2 + 1. 8 = 4$(米),$\therefore$ 点 F 的坐标为$(4,1. 1)$,当$x = 4$时,$y = - 0. 1(4 - 2)^2 + 1. 6 = 1. 2 ＞ 1. 1$,当$x ＞ 2$时,$y$ 随 $x$ 的增大而减小,$\therefore$ 洒水车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带.
解析
【分析】
（1）求上边缘抛物线解析式时，已知抛物线顶点坐标，优先选用顶点式设函数表达式，再代入已知的喷水口H的坐标求解参数a即可。
（2）下边缘抛物线由上边缘平移得到，先利用对称性求出上边缘抛物线上和H点纵坐标相同的对称点，即可确定平移距离；先求出上边缘抛物线与x轴的正半轴交点，再按平移规则向左平移对应距离，就能得到下边缘抛物线和x轴的交点B的坐标。
（3）判断能否浇灌整个绿化带，先确定绿化带最远端最高处F点的坐标，将F点的横坐标代入上边缘抛物线解析式，比较所得y值和绿化带高度，再结合二次函数的增减性判断绿化带范围内的水柱高度是否都满足要求，同时结合下边缘的交点位置判断底部是否能完全覆盖即可。
【解析】
(1) 由题意得，上边缘抛物线的顶点A坐标为$(2,1.6)$，设上边缘抛物线解析式为$y = a(x - 2)^2 + 1.6$。
已知喷水口$H(0,1.2)$在抛物线上，代入得：
$1.2 = a(0-2)^2 + 1.6$
解得$a=-0.1$
因此上边缘抛物线的函数解析式为$y = - 0.1(x - 2)^2 + 1.6$。
(2) 上边缘抛物线对称轴为直线$x=2$，点$H(0,1.2)$关于对称轴的对称点为$(4,1.2)$，可知下边缘抛物线是上边缘抛物线向左平移4个单位得到的。
求上边缘抛物线与x轴正半轴交点：令$y=0$，则$0=-0.1(x-2)^2 + 1.6$
解得$x_1=6$，$x_2=-2$（舍去）
将交点向左平移4个单位，得B点横坐标为$6-4=2$，即$B(2,0)$。
(3) 能浇灌到整个绿化带，理由如下：
已知$d=2.2$米，$DE=1.8$米，因此E点横坐标为$2.2+1.8=4$，F点坐标为$(4,1.1)$。
将$x=4$代入上边缘抛物线解析式得：
$y=-0.1×(4-2)^2 +1.6=1.2$
$1.2＞1.1$，且上边缘抛物线开口向下，在$x＞2$时y随x的增大而减小，因此在绿化带的横坐标范围$[2.2,4]$内，上边缘水柱高度都大于1.1米；同时下边缘和x轴交点B横坐标为2＜2.2，绿化带底部可完全被覆盖，因此水能浇灌到整个绿化带。
【答案】
(1) $y = - 0.1(x - 2)^2 + 1.6$
(2) $B(2,0)$
(3) 能浇灌到整个绿化带，理由见解析
【知识点】
二次函数解析式求解，二次函数图象平移，二次函数实际应用
【点评】
本题结合生活场景考查二次函数的相关应用，需要学生将实际问题转化为二次函数模型，利用二次函数的性质解决问题，注重对建模能力和知识灵活运用能力的考查，解题时要注意结合实际意义舍去不合要求的解。
【难度系数】
0.7
（1）求上边缘抛物线解析式时，已知抛物线顶点坐标，优先选用顶点式设函数表达式，再代入已知的喷水口H的坐标求解参数a即可。
（2）下边缘抛物线由上边缘平移得到，先利用对称性求出上边缘抛物线上和H点纵坐标相同的对称点，即可确定平移距离；先求出上边缘抛物线与x轴的正半轴交点，再按平移规则向左平移对应距离，就能得到下边缘抛物线和x轴的交点B的坐标。
（3）判断能否浇灌整个绿化带，先确定绿化带最远端最高处F点的坐标，将F点的横坐标代入上边缘抛物线解析式，比较所得y值和绿化带高度，再结合二次函数的增减性判断绿化带范围内的水柱高度是否都满足要求，同时结合下边缘的交点位置判断底部是否能完全覆盖即可。
【解析】
(1) 由题意得，上边缘抛物线的顶点A坐标为$(2,1.6)$，设上边缘抛物线解析式为$y = a(x - 2)^2 + 1.6$。
已知喷水口$H(0,1.2)$在抛物线上，代入得：
$1.2 = a(0-2)^2 + 1.6$
解得$a=-0.1$
因此上边缘抛物线的函数解析式为$y = - 0.1(x - 2)^2 + 1.6$。
(2) 上边缘抛物线对称轴为直线$x=2$，点$H(0,1.2)$关于对称轴的对称点为$(4,1.2)$，可知下边缘抛物线是上边缘抛物线向左平移4个单位得到的。
求上边缘抛物线与x轴正半轴交点：令$y=0$，则$0=-0.1(x-2)^2 + 1.6$
解得$x_1=6$，$x_2=-2$（舍去）
将交点向左平移4个单位，得B点横坐标为$6-4=2$，即$B(2,0)$。
(3) 能浇灌到整个绿化带，理由如下：
已知$d=2.2$米，$DE=1.8$米，因此E点横坐标为$2.2+1.8=4$，F点坐标为$(4,1.1)$。
将$x=4$代入上边缘抛物线解析式得：
$y=-0.1×(4-2)^2 +1.6=1.2$
$1.2＞1.1$，且上边缘抛物线开口向下，在$x＞2$时y随x的增大而减小，因此在绿化带的横坐标范围$[2.2,4]$内，上边缘水柱高度都大于1.1米；同时下边缘和x轴交点B横坐标为2＜2.2，绿化带底部可完全被覆盖，因此水能浇灌到整个绿化带。
【答案】
(1) $y = - 0.1(x - 2)^2 + 1.6$
(2) $B(2,0)$
(3) 能浇灌到整个绿化带，理由见解析
【知识点】
二次函数解析式求解，二次函数图象平移，二次函数实际应用
【点评】
本题结合生活场景考查二次函数的相关应用，需要学生将实际问题转化为二次函数模型，利用二次函数的性质解决问题，注重对建模能力和知识灵活运用能力的考查，解题时要注意结合实际意义舍去不合要求的解。
【难度系数】
0.7
