例1 已知$x + y = 2$，$x - y = 4$，求下列各式的值：(1) $x^2 + y^2$；(2) $x^4 + y^4$。

(1) $\because (x+y)^2=4,(x-y)^2=16,\therefore x^2+2xy+y^2=4①,x^2-2xy+y^2=16②,①+②,得2x^2+2y^2=20,\therefore x^2+y^2=10$
(2) 由(1)得$①-②$得$4xy=-12,\therefore xy=-3,\because x^2+y^2=10,\therefore (x^2+y^2)^2=100,\therefore x^4+y^4+2x^2y^2=100,\therefore x^4+y^4+2(xy)^2=100,x^4+y^4+2×(-3)^2=100,\therefore x^4+y^4=82$

【分析】
本题无需先求出x、y的具体值，可利用完全平方公式的变形整体代入求解。(1)先将已知的x+y和x-y分别平方，得到两个含有x²+y²和xy的等式，将两个等式相加可消去xy项，直接求出x²+y²的值；(2)先将两个平方后的等式相减求出xy的值，再把x⁴+y⁴变形为(x²+y²)²-2(xy)²，代入已求的x²+y²和xy的值即可算出结果。
【解析】
(1) 已知$x+y=2$，$x-y=4$，将两式分别平方得：
$(x+y)^2=2^2=4$，$(x-y)^2=4^2=16$，
由完全平方公式展开得：
$x^2+2xy+y^2=4$ ①
$x^2-2xy+y^2=16$ ②
将①+②可得：$2x^2+2y^2=20$，
等式两边同时除以2得：$x^2+y^2=10$。
(2) 将①-②可得：$4xy=4-16=-12$，
解得：$xy=-3$。
将$x^2+y^2=10$两边平方得：
$(x^2+y^2)^2=10^2=100$，
展开得：$x^4+2x^2y^2+y^4=100$，
变形得：$x^4+y^4=100-2(xy)^2$，
把$xy=-3$代入上式：
$x^4+y^4=100-2×(-3)^2=100-18=82$。
【答案】
(1) $\boxed{10}$；(2) $\boxed{82}$
【知识点】
完全平方公式，整体代入求值
【点评】
本题主要考查完全平方公式的灵活变形，通过对已知等式整体运算，避免了直接求解未知数的繁琐步骤，熟练掌握完全平方和、差公式的结构特征及常用变形技巧是解题的关键。
【难度系数】
0.8

1.已知$a+b=3$，$a^2+b^2=5$，求$ab$的值。

$\because a+b=3,\therefore (a+b)^2=9,\therefore a^2+b^2+2ab=9,\therefore 5+2ab=9,\therefore ab=2$

【分析】
解题时首先回忆完全平方和公式：$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$，题目已知$a+b$和$a^2+b^2$的值，我们可以先将$a+b=3$两边同时平方，展开后得到含有$a^2+b^2$和$ab$的等式，再把$a^2+b^2=5$整体代入，就能得到关于$ab$的方程，求解即可得到$ab$的值。
【解析】
$\because a+b=3$
$\therefore (a+b)^2=3^2=9$
由完全平方公式展开得：$a^2+b^2+2ab=9$
把$a^2+b^2=5$代入上式，得：
$5+2ab=9$
解得$2ab=4$，即$ab=2$
【答案】
$ab=2$
【知识点】
完全平方公式，整体代入，代数式求值
【点评】
本题是完全平方公式的基础应用题型，解题核心是熟练掌握完全平方公式的展开结构，通过整体代入已知条件即可快速求出目标代数式的值，难度较低。
【难度系数】
0.9

2.已知实数$a,b$满足$a - b = 6$,$ab = 9$,求$a^2 + b^2$的值.

$\because a-b=6,\therefore (a-b)^2=36,\therefore a^2+b^2-2ab=36,\therefore a^2+b^2-18=36,\therefore a^2+b^2=54$

【分析】
已知a-b和ab的值，要求a²+b²，可联想到完全平方差公式：(a-b)²=a²-2ab+b²，该公式中刚好包含待求的a²+b²以及已知的a-b、ab两个条件。因此解题思路为：先将a-b=6两边同时平方，展开后代入ab=9的数值，再通过移项计算即可求出a²+b²的值。
【解析】
∵ $a - b = 6$
∴ $(a - b)^2 = 6^2 = 36$
根据完全平方公式展开得：$a^2 + b^2 - 2ab = 36$
又
∵ $ab = 9$，代入上式得：
$a^2 + b^2 - 2×9 = 36$
即$a^2 + b^2 - 18 = 36$
移项计算得：$a^2 + b^2 = 36 + 18 = 54$
【答案】
$54$
【知识点】
完全平方公式，代数式求值
【点评】
本题属于完全平方公式的基础变形应用题，解题核心是找准已知条件和待求式之间的关联，熟练掌握公式的结构特征即可快速求解。
【难度系数】
0.8

例2 已知$x^2+y^2=4,(x+y)^2=3$,求$x-y$的值.

$\because (x+y)^2=3,\therefore x^2+y^2+2xy=3,\therefore 4+2xy=3,$解得$2xy=-1.\because (x-y)^2=x^2-2xy+y^2=4-(-1)=5.\therefore x-y=\pm\sqrt{5}$

【分析】
要求$x-y$的值，直接求解$x$、$y$的具体值过程繁琐，因此考虑利用完全平方公式的变形求解。已知$x^2+y^2$和$(x+y)^2$的值，我们可以先将$(x+y)^2$展开，代入$x^2+y^2$的值求出$2xy$的值，再将$(x-y)^2$展开，把$x^2+y^2$和$2xy$的值代入求出$(x-y)^2$的结果，最后对结果开平方即可得到$x-y$的值，注意开平方时不要遗漏负的结果。
【解析】
解：$\because (x+y)^2=3$，
根据完全平方公式展开得：$x^2+y^2+2xy=3$，
又$\because x^2+y^2=4$，代入上式得：$4+2xy=3$，
解得：$2xy=-1$。
$\because (x-y)^2=x^2-2xy+y^2=(x^2+y^2)-2xy$，
将$x^2+y^2=4$，$2xy=-1$代入得：$(x-y)^2=4-(-1)=5$，
对等式两边开平方得：$x-y=\pm\sqrt{5}$。
【答案】
$\pm\sqrt{5}$
【知识点】
完全平方公式，代数式求值，平方根运算
【点评】
本题考查完全平方公式的灵活变形应用，解题核心是熟练掌握完全平方公式的两种展开形式，理清已知式和待求式之间的关联，注意正数的平方根有两个且互为相反数，避免漏解。
【难度系数】
0.7

3.已知$x^2 + y^2 = 10$，$xy = 3$，求下列代数式的值：
(1)$x + y$；
(2)$x - y$。

(1) $\because (x+y)^2=x^2+y^2+2xy=10+2×3=16,\therefore x+y=\pm4$
(2) $\because (x-y)^2=x^2+y^2-2xy=10-2×3=4,\therefore x-y=\pm2$

【分析】
解题时首先回忆完全平方公式的变形形式，要求$x+y$和$x-y$的值，我们可以先分别求出它们的平方值：因为$(x+y)^2$和$(x-y)^2$展开后都包含已知的$x^2+y^2$和$xy$，所以先将已知条件代入计算出平方的结果，再根据平方根的定义开平方即可得到所求代数式的值，注意正数的平方根有两个，不要漏解。
【解析】
(1) 根据完全平方公式可得：
$(x+y)^2=x^2+2xy+y^2$
将$x^2 + y^2 = 10$，$xy = 3$代入得：
$(x+y)^2=10 + 2×3=16$
对等式两边开平方得：$x+y=\pm\sqrt{16}=\pm4$
(2) 同理，根据完全平方公式：
$(x-y)^2=x^2-2xy+y^2$
代入已知条件得：
$(x-y)^2=10 - 2×3=4$
对等式两边开平方得：$x-y=\pm\sqrt{4}=\pm2$
【答案】
(1) $\pm4$；(2) $\pm2$
【知识点】
完全平方公式；代数式求值；平方根的性质
【点评】
本题是完全平方公式的典型变形应用题，解题的核心是熟练掌握完全平方公式的展开形式，建立已知条件和所求代数式之间的联系，解题时需注意正数开平方存在两个互为相反数的结果，避免漏写负号。
【难度系数】
0.8

4.已知$a+b=5,ab=-6$,求$a-b$的值.

$\because (a+b)^2=25,\therefore a^2+b^2+2ab=25,\therefore a^2+b^2+2×(-6)=25,\therefore a^2+b^2=37.\because (a-b)^2=a^2+b^2-2ab=37-2×(-6)=49.\therefore a-b=\pm7$

【分析】
要求$a-b$的值，直接由已知条件计算较困难，因此考虑先计算$(a-b)^2$的值，再通过开平方得到$a-b$的结果。根据完全平方公式，$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$，$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$，已知$a+b$和$ab$的值，可先将$a+b=5$两边平方，代入$ab$的值求出$a^2+b^2$的值，再代入$(a-b)^2$的展开式计算出其结果，最后对结果开平方即可得到$a-b$的值，注意正数的平方根有两个，不要漏解。
【解析】
$\because (a+b)^2=25$
$\therefore a^2+b^2+2ab=25$
将$ab=-6$代入得：$a^2+b^2+2×(-6)=25$
解得$a^2+b^2=37$
$\because (a-b)^2=a^2+b^2-2ab=37-2×(-6)=49$
$\therefore a-b=\pm7$
【答案】
$\pm7$
【知识点】
完全平方公式，代数式求值，平方根的性质
【点评】
本题考查完全平方公式的变形运用，解题的关键是熟练掌握完全平方公式的展开形式，明确$(a+b)^2$与$(a-b)^2$之间的内在联系，求解时注意正数开平方有两个互为相反数的结果，避免漏解。
【难度系数】
0.7

例3 若$x$满足$(9-x)(x-4)=4$，求$(4-x)^2+(x-9)^2$的值。

设$9-x=a,x-4=b,$则$ab=4,a+b=(9-x)+(x-4)=5,\therefore (4-x)^2+(x-9)^2=b^2+a^2=(a+b)^2-2ab=5^2-2×4=17$

【分析】
观察已知条件是两个含x的一次式的乘积，待求代数式是这两个一次式相反数的平方和，若直接展开已知方程求解x再代入计算，过程较繁琐。我们可以采用换元思想，把两个一次式分别设为参数，先求出两个参数的和与积，再利用完全平方公式的变形公式$a^2+b^2=(a+b)^2-2ab$代入计算，无需解出x的值，就能快速得到结果。
【解析】
设$9-x=a$，$x-4=b$，
由题意得：$ab=(9-x)(x-4)=4$，
$a+b=(9-x)+(x-4)=5$，
因为$4-x=-(x-4)=-b$，$x-9=-(9-x)=-a$，
所以$(4-x)^2+(x-9)^2=(-b)^2+(-a)^2=a^2+b^2$，
根据完全平方公式变形得：$a^2+b^2=(a+b)^2-2ab$，
代入数值计算：$a^2+b^2=5^2-2×4=25-8=17$。
【答案】
17
【知识点】
换元法、完全平方公式、代数式求值
【点评】
本题是整式求值的典型题型，核心考查完全平方公式的灵活运用，通过换元整合已知条件，避免求解未知数，简化了计算过程，是代数式求值中常用的简便技巧。
【难度系数】
0.7

5.若$x$满足$(x-2028)^2 + (x-2030)^2 =12$，求$(x-2028)(x-2030)$的值.

设$x-2\ 028=a,x-2\ 030=b,$则$a^2+b^2=12,a-b=x-2\ 028-(x-2\ 030)=2,\therefore (a-b)^2=a^2-2ab+b^2=4,\therefore 12-2ab=4,$解得$ab=4,$即$(x-2\ 028)(x-2\ 030)=4$

【分析】
观察已知等式和所求代数式的结构，发现等式左边是两个含x的代数式的平方和，所求为这两个代数式的乘积，符合完全平方公式的结构特征。为简化计算，可采用换元法，把两个复杂的含x的代数式分别设为a、b，先求出a-b的值，再利用完全平方差公式的变形，将已知的a²+b²和a-b的值代入，即可求出ab的值，也就是要求的代数式的值。
【解析】
解：设$x-2028=a$，$x-2030=b$，
由题意得$a^2 + b^2 = 12$，
计算$a-b$：$a - b = (x - 2028) - (x - 2030) = 2$，
根据完全平方差公式可得$(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$，
将$a^2 + b^2=12$、$a-b=2$代入上式得：
$2^2 = 12 - 2ab$，
即$4 = 12 - 2ab$，
移项计算得$2ab=8$，解得$ab=4$，
因此$(x-2028)(x-2030)=ab=4$。
【答案】
4
【知识点】
换元法；完全平方公式变形应用
【点评】
本题是完全平方公式应用的典型题型，通过换元法可简化复杂代数式，降低计算难度，解题的关键是熟练掌握完全平方公式的变形，能够根据已知条件灵活选择合适的公式形式代入求解。
【难度系数】
0.7