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1.在括号内填上适当的项：
(1)$a+b-c=a+($
(2)$a+b-c=a-($
(3)$a-b-c=a-($
(4)$a+b+c=a-($
(5)$a-b-c+d=a-($
(6)$(a+b-c)(a-b+c)=[a+($
(1)$a+b-c=a+($
b-c
$)$；(2)$a+b-c=a-($
-b+c
$)$；(3)$a-b-c=a-($
b+c
$)$；(4)$a+b+c=a-($
-b-c
$)$；(5)$a-b-c+d=a-($
b+c-d
$)$；(6)$(a+b-c)(a-b+c)=[a+($
b-c
$)]· [a-($b-c
$)]$。答案
1.(1)$b-c$ (2)$-b+c$ (3)$b+c$ (4)$-b-c$ (5)$b+c-d$ (6)$b-c$ $b-c$
解析
【分析】
本题考查添括号法则的应用，解题思路如下：首先明确添括号的核心法则：①若括号前是正号，括到括号内的所有项符号都保持不变；②若括号前是负号，括到括号内的所有项符号都要改变。解题时先确定要添加的括号前的符号，再对应调整括号内各项的符号即可；第(6)题是乘法公式的变形应用，需把相同项a放在括号外，剩余的项作为整体按符号规则整理到括号内。
【解析】
根据添括号法则逐个求解：
(1) 括号前为“+”，括入的b、c符号不变，故填$b-c$；
(2) 括号前为“-”，原$+b$变号为$-b$，原$-c$变号为$+c$，故填$-b+c$；
(3) 括号前为“-”，原$-b$变号为$b$，原$-c$变号为$c$，故填$b+c$；
(4) 括号前为“-”，原$+b$变号为$-b$，原$+c$变号为$-c$，故填$-b-c$；
(5) 括号前为“-”，原$-b$变号为$b$，原$-c$变号为$c$，原$+d$变号为$-d$，故填$b+c-d$；
(6) 第一个括号内a后是$+b-c$，括号前为“+”，故第一个空填$b-c$；第二个括号内a后是$-b+c$，即$-(b-c)$，括号前为“-”，故第二个空填$b-c$。
【答案】
(1)$b-c$ (2)$-b+c$ (3)$b+c$ (4)$-b-c$ (5)$b+c-d$ (6)$b-c$；$b-c$
【知识点】
添括号法则；整式恒等变形；乘法公式活用
【点评】
本题属于基础运算题，重点考查添括号时的符号变化规则，尤其注意括号前为负号时，每一项都要变号，不要出现漏项、漏变号的错误，熟练掌握添括号是灵活运用乘法公式的重要基础。
【难度系数】
0.7
本题考查添括号法则的应用，解题思路如下：首先明确添括号的核心法则：①若括号前是正号，括到括号内的所有项符号都保持不变；②若括号前是负号，括到括号内的所有项符号都要改变。解题时先确定要添加的括号前的符号，再对应调整括号内各项的符号即可；第(6)题是乘法公式的变形应用，需把相同项a放在括号外，剩余的项作为整体按符号规则整理到括号内。
【解析】
根据添括号法则逐个求解：
(1) 括号前为“+”，括入的b、c符号不变，故填$b-c$；
(2) 括号前为“-”，原$+b$变号为$-b$，原$-c$变号为$+c$，故填$-b+c$；
(3) 括号前为“-”，原$-b$变号为$b$，原$-c$变号为$c$，故填$b+c$；
(4) 括号前为“-”，原$+b$变号为$-b$，原$+c$变号为$-c$，故填$-b-c$；
(5) 括号前为“-”，原$-b$变号为$b$，原$-c$变号为$c$，原$+d$变号为$-d$，故填$b+c-d$；
(6) 第一个括号内a后是$+b-c$，括号前为“+”，故第一个空填$b-c$；第二个括号内a后是$-b+c$，即$-(b-c)$，括号前为“-”，故第二个空填$b-c$。
【答案】
(1)$b-c$ (2)$-b+c$ (3)$b+c$ (4)$-b-c$ (5)$b+c-d$ (6)$b-c$；$b-c$
【知识点】
添括号法则；整式恒等变形；乘法公式活用
【点评】
本题属于基础运算题，重点考查添括号时的符号变化规则，尤其注意括号前为负号时，每一项都要变号，不要出现漏项、漏变号的错误，熟练掌握添括号是灵活运用乘法公式的重要基础。
【难度系数】
0.7
2.应用平方差公式计算$(x+2y-1)(x-2y+1)$，则下列变形正确的是（
A.$[x-(2y+1)]^2$
B.$[x+(2y+1)]^2$
C.$[x+(2y-1)][x-(2y-1)]$
D.$[(x-2y)+1][(x-2y)-1]$
C
）A.$[x-(2y+1)]^2$
B.$[x+(2y+1)]^2$
C.$[x+(2y-1)][x-(2y-1)]$
D.$[(x-2y)+1][(x-2y)-1]$
答案
2.C
解析
【分析】
要应用平方差公式计算，首先需明确平方差公式的结构特征：两个因式相乘，存在一项完全相同，另一项互为相反数，形式为$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$。解题时先观察原式$(x+2y-1)(x-2y+1)$的项，找到相同项为$x$，剩余部分$+2y-1$和$-2y+1$互为相反数，因此只需通过添括号法则将相反项整体括起来，即可匹配平方差公式的结构，再逐一判断选项是否符合变形要求。
【解析】
平方差公式的结构为：两个因式中一项相同，另一项互为相反数，即$\boxed{(a+b)(a-b)=a^2-b^2}$。
对原式变形：
观察两个因式，相同项是$x$；
第一个因式中剩余部分为$+2y-1$，第二个因式中剩余部分为$-2y+1=-(2y-1)$，因此可将原式变形为：
$[x+(2y-1)][x-(2y-1)]$，符合平方差公式结构。
逐一分析选项：
A选项：$[x-(2y+1)]^2$对应的因式为$x-2y-1$，与原式不符，错误；
B选项：$[x+(2y+1)]^2$对应的因式为$x+2y+1$，与原式不符，错误；
C选项：变形与上述推导一致，正确；
D选项：$[(x-2y)+1][(x-2y)-1]$对应的两个因式为$x-2y+1$和$x-2y-1$，与原式不符，错误。
【答案】
C
【知识点】
平方差公式；添括号法则
【点评】
本题考查平方差公式的灵活运用，解题的核心是准确识别因式中的相同项和相反项，利用添括号法则对原式进行合理变形，需注意添括号时括号前为负号时，括号内各项均要改变符号。
【难度系数】
0.8
要应用平方差公式计算，首先需明确平方差公式的结构特征：两个因式相乘，存在一项完全相同，另一项互为相反数，形式为$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$。解题时先观察原式$(x+2y-1)(x-2y+1)$的项，找到相同项为$x$，剩余部分$+2y-1$和$-2y+1$互为相反数，因此只需通过添括号法则将相反项整体括起来，即可匹配平方差公式的结构，再逐一判断选项是否符合变形要求。
【解析】
平方差公式的结构为：两个因式中一项相同，另一项互为相反数，即$\boxed{(a+b)(a-b)=a^2-b^2}$。
对原式变形：
观察两个因式，相同项是$x$；
第一个因式中剩余部分为$+2y-1$，第二个因式中剩余部分为$-2y+1=-(2y-1)$，因此可将原式变形为：
$[x+(2y-1)][x-(2y-1)]$，符合平方差公式结构。
逐一分析选项：
A选项：$[x-(2y+1)]^2$对应的因式为$x-2y-1$，与原式不符，错误；
B选项：$[x+(2y+1)]^2$对应的因式为$x+2y+1$，与原式不符，错误；
C选项：变形与上述推导一致，正确；
D选项：$[(x-2y)+1][(x-2y)-1]$对应的两个因式为$x-2y+1$和$x-2y-1$，与原式不符，错误。
【答案】
C
【知识点】
平方差公式；添括号法则
【点评】
本题考查平方差公式的灵活运用，解题的核心是准确识别因式中的相同项和相反项，利用添括号法则对原式进行合理变形，需注意添括号时括号前为负号时，括号内各项均要改变符号。
【难度系数】
0.8
3.(教材P116例5变式)计算下列各题：
(1)$(a+b+1)(a-b-1)$；
(3)$(2x+3y-1)(1+2x+3y)$；
(3)$(3x+y-2)(3x-y+2)$。
(1)$(a+b+1)(a-b-1)$；
(3)$(2x+3y-1)(1+2x+3y)$；
(3)$(3x+y-2)(3x-y+2)$。
答案
3.(1)$原式=[a+(b+1)][a-(b+1)]=a^2-(b+1)^2=a^2-b^2-2b-1$
(2)$原式=4x^2+12xy+9y^2-1$
(3)$原式=9x^2-y^2+4y-4$
(2)$原式=4x^2+12xy+9y^2-1$
(3)$原式=9x^2-y^2+4y-4$
解析
【分析】
观察三个整式乘法算式的特点，均为两个三项式相乘，且存在部分相同、部分互为相反数的项，解题思路为：第一步利用添括号法则，将相同的项作为整体，互为相反数的项整理为一个整体，凑出“(m+n)(m-n)”的平方差公式结构；第二步套用平方差公式化简；第三步对化简后剩余的完全平方项展开，去括号合并同类项即可得到结果，需注意添括号、去括号时的符号变化。
【解析】
(1) 对原式分组添括号：
原式$=[a+(b+1)][a-(b+1)]$
套用平方差公式$(m+n)(m-n)=m^2-n^2$（其中$m=a$，$n=b+1$），得：
$=a^2-(b+1)^2$
展开完全平方项并去括号：
$=a^2-(b^2+2b+1)=a^2-b^2-2b-1$
(2) 观察到$2x+3y$为相同项，$-1$和$+1$为相反项，添括号得：
原式$=[(2x+3y)-1][(2x+3y)+1]$
套用平方差公式（其中$m=2x+3y$，$n=1$），得：
$=(2x+3y)^2-1^2$
展开完全平方项：
$=4x^2+12xy+9y^2-1$
(3) 观察到$3x$为相同项，$y-2$和$-(y-2)$为相反项，添括号得：
原式$=[3x+(y-2)][3x-(y-2)]$
套用平方差公式（其中$m=3x$，$n=y-2$），得：
$=(3x)^2-(y-2)^2$
展开完全平方项并去括号：
$=9x^2-(y^2-4y+4)=9x^2-y^2+4y-4$
【答案】
(1)$a^2-b^2-2b-1$
(2)$4x^2+12xy+9y^2-1$
(3)$9x^2-y^2+4y-4$
【知识点】
添括号法则；平方差公式；完全平方公式
【点评】
本题考查乘法公式的灵活应用，解题核心是通过合理分组凑出平方差公式的结构，简化计算过程，需注意添括号和去括号时符号的处理，避免出现符号错误。
【难度系数】
0.7
观察三个整式乘法算式的特点，均为两个三项式相乘，且存在部分相同、部分互为相反数的项，解题思路为：第一步利用添括号法则，将相同的项作为整体，互为相反数的项整理为一个整体，凑出“(m+n)(m-n)”的平方差公式结构；第二步套用平方差公式化简；第三步对化简后剩余的完全平方项展开，去括号合并同类项即可得到结果，需注意添括号、去括号时的符号变化。
【解析】
(1) 对原式分组添括号：
原式$=[a+(b+1)][a-(b+1)]$
套用平方差公式$(m+n)(m-n)=m^2-n^2$（其中$m=a$，$n=b+1$），得：
$=a^2-(b+1)^2$
展开完全平方项并去括号：
$=a^2-(b^2+2b+1)=a^2-b^2-2b-1$
(2) 观察到$2x+3y$为相同项，$-1$和$+1$为相反项，添括号得：
原式$=[(2x+3y)-1][(2x+3y)+1]$
套用平方差公式（其中$m=2x+3y$，$n=1$），得：
$=(2x+3y)^2-1^2$
展开完全平方项：
$=4x^2+12xy+9y^2-1$
(3) 观察到$3x$为相同项，$y-2$和$-(y-2)$为相反项，添括号得：
原式$=[3x+(y-2)][3x-(y-2)]$
套用平方差公式（其中$m=3x$，$n=y-2$），得：
$=(3x)^2-(y-2)^2$
展开完全平方项并去括号：
$=9x^2-(y^2-4y+4)=9x^2-y^2+4y-4$
【答案】
(1)$a^2-b^2-2b-1$
(2)$4x^2+12xy+9y^2-1$
(3)$9x^2-y^2+4y-4$
【知识点】
添括号法则；平方差公式；完全平方公式
【点评】
本题考查乘法公式的灵活应用，解题核心是通过合理分组凑出平方差公式的结构，简化计算过程，需注意添括号和去括号时符号的处理，避免出现符号错误。
【难度系数】
0.7
4.计算下列各题：
(1)$(m-n-3)^2$；
(2)$(2a-b-3c)^2$。
(1)$(m-n-3)^2$；
(2)$(2a-b-3c)^2$。
答案
4.(1)$原式=[(m-n)-3]^2=(m-n)^2+9-6(m-n)=m^2+n^2-2mn+9-6m+6n$
(2)$原式=(2a-b)^2-2(2a-b)·3c+(3c)^2=4a^2-4ab+b^2-12ac+6bc+9c^2$
(2)$原式=(2a-b)^2-2(2a-b)·3c+(3c)^2=4a^2-4ab+b^2-12ac+6bc+9c^2$
解析
【分析】
这两道题都是三项式的平方运算，解题核心是利用添括号法则将三项式转化为熟悉的二项式，再套用完全平方公式逐步计算。具体思考步骤：第一步先合理分组，把前两项看成一个整体，将三项式的平方转化为二项式的平方；第二步套用完全平方公式展开二项式；第三步对剩余的二项式平方再次展开，最后去括号整理得到最简结果，计算过程中要注意添括号和去括号的符号规则。
【解析】
(1) 计算$(m-n-3)^2$：
将$m-n$视为整体添括号，得
$\begin{aligned}原式&=[(m-n)-3]^2 \\&=(m-n)^2 - 2·(m-n)·3 + 3^2 \\&=(m-n)^2 +9 -6(m-n) \\&=m^2 -2mn +n^2 +9 -6m +6n\end{aligned}$
(2) 计算$(2a-b-3c)^2$：
将$2a-b$视为整体添括号，得
$\begin{aligned}原式&=[(2a-b)-3c]^2 \\&=(2a-b)^2 - 2·(2a-b)·3c + (3c)^2 \\&=4a^2 -4ab +b^2 -12ac +6bc +9c^2\end{aligned}$
【答案】
(1)$m^2+n^2-2mn+9-6m+6n$
(2)$4a^2-4ab+b^2-12ac+6bc+9c^2$
【知识点】
添括号法则，完全平方公式，整式化简
【点评】
本题考查乘法公式的灵活运用，通过添括号将陌生的多项平方转化为已学的二项式平方，有效降低计算难度，解题时要注意完全平方公式展开不要漏项，同时留意去添括号时的符号变化。
【难度系数】
0.8
这两道题都是三项式的平方运算，解题核心是利用添括号法则将三项式转化为熟悉的二项式，再套用完全平方公式逐步计算。具体思考步骤：第一步先合理分组，把前两项看成一个整体，将三项式的平方转化为二项式的平方；第二步套用完全平方公式展开二项式；第三步对剩余的二项式平方再次展开，最后去括号整理得到最简结果，计算过程中要注意添括号和去括号的符号规则。
【解析】
(1) 计算$(m-n-3)^2$：
将$m-n$视为整体添括号，得
$\begin{aligned}原式&=[(m-n)-3]^2 \\&=(m-n)^2 - 2·(m-n)·3 + 3^2 \\&=(m-n)^2 +9 -6(m-n) \\&=m^2 -2mn +n^2 +9 -6m +6n\end{aligned}$
(2) 计算$(2a-b-3c)^2$：
将$2a-b$视为整体添括号，得
$\begin{aligned}原式&=[(2a-b)-3c]^2 \\&=(2a-b)^2 - 2·(2a-b)·3c + (3c)^2 \\&=4a^2 -4ab +b^2 -12ac +6bc +9c^2\end{aligned}$
【答案】
(1)$m^2+n^2-2mn+9-6m+6n$
(2)$4a^2-4ab+b^2-12ac+6bc+9c^2$
【知识点】
添括号法则，完全平方公式，整式化简
【点评】
本题考查乘法公式的灵活运用，通过添括号将陌生的多项平方转化为已学的二项式平方，有效降低计算难度，解题时要注意完全平方公式展开不要漏项，同时留意去添括号时的符号变化。
【难度系数】
0.8
5.计算下列各题：
(1)$(3m - \frac{1}{2}n - 2)^2$；
(2)$(x^2 - 2x + 2)(x^2 + 2x + 2)$。
(1)$(3m - \frac{1}{2}n - 2)^2$；
(2)$(x^2 - 2x + 2)(x^2 + 2x + 2)$。
答案
5.(1)$原式=9m^2+\frac{1}{4}n^2-3mn-12m+2n+4$
(2)$原式=[(x^2+2)-2x][(x^2+2)+2x]=(x^2+2)^2-4x^2=x^4+4$
(2)$原式=[(x^2+2)-2x][(x^2+2)+2x]=(x^2+2)^2-4x^2=x^4+4$
解析
【分析】
(1) 对于三项式的平方，可利用整体思想，将其中两个项看成一个整体，转化为两数差的完全平方公式形式展开，再逐步计算即可。(2) 观察两个多项式的结构，发现存在相同的部分$(x^2+2)$和互为相反数的部分$(-2x$和$+2x)$，可通过添括号将式子变形为平方差公式的标准形式，先利用平方差公式简化计算，再利用完全平方公式展开合并即可。
【解析】
(1) 先将原式变形为两部分差的平方：
原式$=[(3m-\frac{1}{2}n)-2]^2$
根据完全平方公式$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$，令$a=3m-\frac{1}{2}n$，$b=2$，展开得：
$=(3m-\frac{1}{2}n)^2 - 2×(3m-\frac{1}{2}n)×2 + 2^2$
再次利用完全平方公式展开$(3m-\frac{1}{2}n)^2$，同时计算中间项和常数项：
$=9m^2 - 3mn + \frac{1}{4}n^2 - 12m + 2n + 4$
(2) 先分组添括号，构造平方差公式形式：
原式$=[(x^2+2)-2x][(x^2+2)+2x]$
根据平方差公式$(a-b)(a+b)=a^2-b^2$，令$a=x^2+2$，$b=2x$，展开得：
$=(x^2+2)^2 - (2x)^2$
利用完全平方公式展开$(x^2+2)^2$，同时计算平方项：
$=x^4 + 4x^2 + 4 - 4x^2$
合并同类项后得：
$=x^4 + 4$
【答案】
(1)$9m^2+\frac{1}{4}n^2-3mn-12m+2n+4$；(2)$x^4+4$
【知识点】
1.完全平方公式 2.平方差公式 3.添括号法则
【点评】
这两道题是乘法公式的典型活用题型，核心是通过整体思想、合理分组添括号，将非标准形式的整式乘法转化为乘法公式的标准形式，大幅简化运算，做题时要先观察式子结构特征，再选择合适的方法计算，避免直接逐项展开导致的运算错误。
【难度系数】
0.7
(1) 对于三项式的平方，可利用整体思想，将其中两个项看成一个整体，转化为两数差的完全平方公式形式展开，再逐步计算即可。(2) 观察两个多项式的结构，发现存在相同的部分$(x^2+2)$和互为相反数的部分$(-2x$和$+2x)$，可通过添括号将式子变形为平方差公式的标准形式，先利用平方差公式简化计算，再利用完全平方公式展开合并即可。
【解析】
(1) 先将原式变形为两部分差的平方：
原式$=[(3m-\frac{1}{2}n)-2]^2$
根据完全平方公式$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$，令$a=3m-\frac{1}{2}n$，$b=2$，展开得：
$=(3m-\frac{1}{2}n)^2 - 2×(3m-\frac{1}{2}n)×2 + 2^2$
再次利用完全平方公式展开$(3m-\frac{1}{2}n)^2$，同时计算中间项和常数项：
$=9m^2 - 3mn + \frac{1}{4}n^2 - 12m + 2n + 4$
(2) 先分组添括号，构造平方差公式形式：
原式$=[(x^2+2)-2x][(x^2+2)+2x]$
根据平方差公式$(a-b)(a+b)=a^2-b^2$，令$a=x^2+2$，$b=2x$，展开得：
$=(x^2+2)^2 - (2x)^2$
利用完全平方公式展开$(x^2+2)^2$，同时计算平方项：
$=x^4 + 4x^2 + 4 - 4x^2$
合并同类项后得：
$=x^4 + 4$
【答案】
(1)$9m^2+\frac{1}{4}n^2-3mn-12m+2n+4$；(2)$x^4+4$
【知识点】
1.完全平方公式 2.平方差公式 3.添括号法则
【点评】
这两道题是乘法公式的典型活用题型，核心是通过整体思想、合理分组添括号，将非标准形式的整式乘法转化为乘法公式的标准形式，大幅简化运算，做题时要先观察式子结构特征，再选择合适的方法计算，避免直接逐项展开导致的运算错误。
【难度系数】
0.7
6.若$(a-b-3)(a-b+3)=40$，求$a-b$的值.
答案
6.$\because (a-b-3)(a-b+3)=40,\therefore [(a-b)-3][(a-b)+3]=40,(a-b)^2-9=40,(a-b)^2=49,\therefore a-b=\pm7$
解析
【分析】
观察等式左边的乘积形式，两个因式中均含有相同的代数式$a-b$，且其余部分分别为减3和加3，符合平方差公式的结构特征。解题时可将$a-b$看作一个整体，先利用平方差公式展开等式左边，再通过移项、开平方运算求出$a-b$的值即可。
【解析】
对原式变形可得：
$[(a-b)-3][(a-b)+3]=40$
根据平方差公式$(m-n)(m+n)=m^2-n^2$（此处$m=a-b$，$n=3$），展开得：
$(a-b)^2 - 3^2 = 40$
计算整理得：
$(a-b)^2 - 9 = 40$
移项得：
$(a-b)^2 = 49$
根据平方根的定义，49的平方根为$\pm7$，因此：
$a-b=\pm7$
【答案】
$a-b=\pm7$
【知识点】
平方差公式，整体代换思想，平方根运算
【点评】
本题是整式乘法的典型题型，核心考查对乘法公式的灵活运用，通过整体代换简化计算的思路在代数式运算中十分常用，熟练掌握该技巧能有效提升解题效率与正确率。
【难度系数】
0.8
观察等式左边的乘积形式，两个因式中均含有相同的代数式$a-b$，且其余部分分别为减3和加3，符合平方差公式的结构特征。解题时可将$a-b$看作一个整体，先利用平方差公式展开等式左边，再通过移项、开平方运算求出$a-b$的值即可。
【解析】
对原式变形可得：
$[(a-b)-3][(a-b)+3]=40$
根据平方差公式$(m-n)(m+n)=m^2-n^2$（此处$m=a-b$，$n=3$），展开得：
$(a-b)^2 - 3^2 = 40$
计算整理得：
$(a-b)^2 - 9 = 40$
移项得：
$(a-b)^2 = 49$
根据平方根的定义，49的平方根为$\pm7$，因此：
$a-b=\pm7$
【答案】
$a-b=\pm7$
【知识点】
平方差公式，整体代换思想，平方根运算
【点评】
本题是整式乘法的典型题型，核心考查对乘法公式的灵活运用，通过整体代换简化计算的思路在代数式运算中十分常用，熟练掌握该技巧能有效提升解题效率与正确率。
【难度系数】
0.8
