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1.小明上个月在某文具店正好用20元买了几本笔记本，本月再去买时，恰遇该店搞优惠酬宾活动，同样的笔记本，每本比上个月便宜1元，如果小明只比上次多用了4元钱，却比上次多买了2本，若设上次买了x本笔记本，则可列方程为（
A.$\frac{24}{x+2}-\frac{20}{x}=1$
B.$\frac{20}{x}-\frac{24}{x+2}=1$
C.$\frac{24}{x}-\frac{20}{x+2}=1$
D.$\frac{20}{x+2}-\frac{24}{x}=1$
B
）A.$\frac{24}{x+2}-\frac{20}{x}=1$
B.$\frac{20}{x}-\frac{24}{x+2}=1$
C.$\frac{24}{x}-\frac{20}{x+2}=1$
D.$\frac{20}{x+2}-\frac{24}{x}=1$
答案
1.B
解析
【分析】
要解决这个列方程的问题，首先要找到题目中的核心等量关系：本月每本笔记本的价格比上个月便宜1元，也就是上月笔记本的单价减去本月笔记本的单价等于1元。接下来我们只需要分别表示出上月和本月的笔记本单价即可：单价=总价÷数量，我们可以根据已知条件分别写出两个月购买笔记本的总价和数量，代入公式得到单价后，结合等量关系就能列出方程。
【解析】
第一步：表示上月笔记本的单价
已知上月买了$x$本，总花费20元，根据“单价=总价÷数量”，可得上月笔记本单价为$\frac{20}{x}$元/本。
第二步：表示本月笔记本的相关量
本月总花费比上月多4元，即总花费为$20+4=24$元；购买数量比上月多2本，即购买数量为$x+2$本。因此本月笔记本单价为$\frac{24}{x+2}$元/本。
第三步：根据等量关系列方程
题目告知本月单价比上月便宜1元，即：$\mathrm{上月单价}-\mathrm{本月单价}=1$，代入上述单价可得方程：
$\frac{20}{x}-\frac{24}{x+2}=1$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
1.列分式方程解应用题
2.单价、总价、数量的关系
【点评】
本题是分式方程实际应用的基础题型，解题的关键是找准题目中的等量关系，注意不要混淆两个单价的大小顺序，避免列反减号前后的式子。
【难度系数】
0.7
要解决这个列方程的问题，首先要找到题目中的核心等量关系：本月每本笔记本的价格比上个月便宜1元，也就是上月笔记本的单价减去本月笔记本的单价等于1元。接下来我们只需要分别表示出上月和本月的笔记本单价即可：单价=总价÷数量，我们可以根据已知条件分别写出两个月购买笔记本的总价和数量，代入公式得到单价后，结合等量关系就能列出方程。
【解析】
第一步：表示上月笔记本的单价
已知上月买了$x$本，总花费20元，根据“单价=总价÷数量”，可得上月笔记本单价为$\frac{20}{x}$元/本。
第二步：表示本月笔记本的相关量
本月总花费比上月多4元，即总花费为$20+4=24$元；购买数量比上月多2本，即购买数量为$x+2$本。因此本月笔记本单价为$\frac{24}{x+2}$元/本。
第三步：根据等量关系列方程
题目告知本月单价比上月便宜1元，即：$\mathrm{上月单价}-\mathrm{本月单价}=1$，代入上述单价可得方程：
$\frac{20}{x}-\frac{24}{x+2}=1$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
1.列分式方程解应用题
2.单价、总价、数量的关系
【点评】
本题是分式方程实际应用的基础题型，解题的关键是找准题目中的等量关系，注意不要混淆两个单价的大小顺序，避免列反减号前后的式子。
【难度系数】
0.7
2. 情境题 中国传统文化 我国古代著作《四元玉鉴》记载“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，遣人去买几株椽.每株脚钱三文足，无钱准与一株椽.”其大意为：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为6210文.如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问6210文能买多少株椽？设这批椽的数量为$x$株，则符合题意的方程是 （
A.$3(x-1)=\dfrac{6210}{x}$
B.$\dfrac{6210}{x-1}=3$
C.$3x-1=\dfrac{6210}{x}$
D.$\dfrac{6210}{x}=3$
A
）A.$3(x-1)=\dfrac{6210}{x}$
B.$\dfrac{6210}{x-1}=3$
C.$3x-1=\dfrac{6210}{x}$
D.$\dfrac{6210}{x}=3$
答案
2.A
解析
【分析】
拿到这道列方程的题目，核心是先找到题干给出的等量关系，再将等量关系中的各个量用含未知数的式子表示即可。首先明确设椽的总数量为$x$株，第一步先表示1株椽的价钱：根据“单价=总价÷数量”，总钱数为6210文，因此1株椽的价格为$\dfrac{6210}{x}$文；第二步表示少拿一株后的总运费：少拿1株后椽的数量为$(x-1)$株，每株运费3文，总运费为$3(x-1)$文；最后根据“少拿一株椽后剩下的运费恰好等于一株椽的价钱”这一等量关系，将两个式子用等号连接就能得到对应方程，再匹配选项即可。
【解析】
解：设这批椽的数量为$x$株。
1. 计算每株椽的单价：总钱数为6210文，根据单价=总价÷数量，可得每株椽的价格为$\dfrac{6210}{x}$文。
2. 计算少拿一株椽后的总运费：少拿1株后，参与计算运费的椽数量为$(x-1)$株，每株运费3文，因此总运费为$3(x-1)$文。
3. 根据题干给出的等量关系“少拿一株椽后的总运费=1株椽的价格”，可列方程：$3(x-1)=\dfrac{6210}{x}$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
1. 列分式方程
2. 总价单价数量关系
3. 实际问题等量转化
【点评】
本题以中国古代数学问题为背景，考查从实际情境中提取等量关系列方程的能力，解题关键是读懂题意，正确用含未知数的式子表示对应数量，属于基础应用类题目。
【难度系数】
0.75
拿到这道列方程的题目，核心是先找到题干给出的等量关系，再将等量关系中的各个量用含未知数的式子表示即可。首先明确设椽的总数量为$x$株，第一步先表示1株椽的价钱：根据“单价=总价÷数量”，总钱数为6210文，因此1株椽的价格为$\dfrac{6210}{x}$文；第二步表示少拿一株后的总运费：少拿1株后椽的数量为$(x-1)$株，每株运费3文，总运费为$3(x-1)$文；最后根据“少拿一株椽后剩下的运费恰好等于一株椽的价钱”这一等量关系，将两个式子用等号连接就能得到对应方程，再匹配选项即可。
【解析】
解：设这批椽的数量为$x$株。
1. 计算每株椽的单价：总钱数为6210文，根据单价=总价÷数量，可得每株椽的价格为$\dfrac{6210}{x}$文。
2. 计算少拿一株椽后的总运费：少拿1株后，参与计算运费的椽数量为$(x-1)$株，每株运费3文，因此总运费为$3(x-1)$文。
3. 根据题干给出的等量关系“少拿一株椽后的总运费=1株椽的价格”，可列方程：$3(x-1)=\dfrac{6210}{x}$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
1. 列分式方程
2. 总价单价数量关系
3. 实际问题等量转化
【点评】
本题以中国古代数学问题为背景，考查从实际情境中提取等量关系列方程的能力，解题关键是读懂题意，正确用含未知数的式子表示对应数量，属于基础应用类题目。
【难度系数】
0.75
3.为了改善生态环境，防止水土流失，某村计划在荒坡上种4000棵树，后来由于青年志愿者的支援，每日比原计划多种25%，结果提前10天完成任务，那么原计划每天种
80
棵树.答案
3.80
解析
【分析】这是一道工程类分式方程应用题，解题关键是找到时间差的等量关系。首先设原计划每天种树的数量为未知数，根据“每日比原计划多种25%”表示出实际每天种树的数量；再根据“工作时间=工作总量÷工作效率”分别表示出原计划完成任务的时间和实际完成任务的时间；最后利用“原计划时间-实际时间=10天”列分式方程求解，注意解完要检验根是否符合原方程和实际意义。
【解析】
解：设原计划每天种$ x $棵树，则实际每天种$ (1+25\%)x = 1.25x $棵树。
根据题意，得：
$\frac{4000}{x} - \frac{4000}{1.25x} = 10$
方程两边同乘$ 1.25x $去分母，得：
$4000 × 1.25 - 4000 = 10 × 1.25x$
计算化简：
$5000 - 4000 = 12.5x$
$1000 = 12.5x$
解得：$ x = 80 $
检验：当$ x = 80 $时，$ 1.25x = 100 ≠ 0 $，所以$ x = 80 $是原分式方程的解，且符合实际意义。
【答案】
80
【知识点】
分式方程的实际应用，工程问题等量关系，分式方程的检验
【点评】
本题是分式方程解决实际问题的基础题型，核心是找准工作时间的差值作为等量关系列方程，解题时要注意分式方程必须检验所得的根是否满足方程和实际场景，是应用题中的常考类型。
【难度系数】
0.7
【解析】
解：设原计划每天种$ x $棵树，则实际每天种$ (1+25\%)x = 1.25x $棵树。
根据题意，得：
$\frac{4000}{x} - \frac{4000}{1.25x} = 10$
方程两边同乘$ 1.25x $去分母，得：
$4000 × 1.25 - 4000 = 10 × 1.25x$
计算化简：
$5000 - 4000 = 12.5x$
$1000 = 12.5x$
解得：$ x = 80 $
检验：当$ x = 80 $时，$ 1.25x = 100 ≠ 0 $，所以$ x = 80 $是原分式方程的解，且符合实际意义。
【答案】
80
【知识点】
分式方程的实际应用，工程问题等量关系，分式方程的检验
【点评】
本题是分式方程解决实际问题的基础题型，核心是找准工作时间的差值作为等量关系列方程，解题时要注意分式方程必须检验所得的根是否满足方程和实际场景，是应用题中的常考类型。
【难度系数】
0.7
4.为落实节约用水的政策,某旅游景点进行设施改造,将手拧水龙头全部更换成感应水龙头.已知该景点在设施改造后,平均每天用水量是原来的一半,20吨水可以比原来多用5天.则该景点在设施改造后平均每天用水
2
吨.答案
4.2
解析
【分析】
这是一道分式方程的实际应用题，解题核心是找准题目中的等量关系。已知改造后日均用水量是原来的一半，20吨水改造后使用天数比原来多5天。我们可以先设改造后日均用水量为未知数，进而表示出改造前的日均用水量，再根据“改造后20吨水使用天数 - 改造前20吨水使用天数=5天”的等量关系列分式方程，求解后检验结果是否符合题意即可。
【解析】
解：设该景点在设施改造后平均每天用水$x$吨，则改造前平均每天用水$2x$吨。
根据题意可列方程：
$\frac{20}{x} - \frac{20}{2x} = 5$
化简得：
$\frac{20}{x} - \frac{10}{x} = 5$
$\frac{10}{x} = 5$
解得$x=2$
检验：当$x=2$时，分母$x=2≠0$，$2x=4≠0$，所以$x=2$是原分式方程的解，且符合实际用水的意义。
【答案】
2
【知识点】
分式方程的应用，解分式方程，分式方程验根
【点评】
本题是分式方程在实际生活中的基础应用，解题关键是理清用水量、日均用水量、使用天数三者的关系，准确找到等量关系列方程，解完分式方程后要注意检验结果是否满足分式有意义、是否符合实际情况。
【难度系数】
0.7
这是一道分式方程的实际应用题，解题核心是找准题目中的等量关系。已知改造后日均用水量是原来的一半，20吨水改造后使用天数比原来多5天。我们可以先设改造后日均用水量为未知数，进而表示出改造前的日均用水量，再根据“改造后20吨水使用天数 - 改造前20吨水使用天数=5天”的等量关系列分式方程，求解后检验结果是否符合题意即可。
【解析】
解：设该景点在设施改造后平均每天用水$x$吨，则改造前平均每天用水$2x$吨。
根据题意可列方程：
$\frac{20}{x} - \frac{20}{2x} = 5$
化简得：
$\frac{20}{x} - \frac{10}{x} = 5$
$\frac{10}{x} = 5$
解得$x=2$
检验：当$x=2$时，分母$x=2≠0$，$2x=4≠0$，所以$x=2$是原分式方程的解，且符合实际用水的意义。
【答案】
2
【知识点】
分式方程的应用，解分式方程，分式方程验根
【点评】
本题是分式方程在实际生活中的基础应用，解题关键是理清用水量、日均用水量、使用天数三者的关系，准确找到等量关系列方程，解完分式方程后要注意检验结果是否满足分式有意义、是否符合实际情况。
【难度系数】
0.7
5.(发散思维训练)如图是学习分式方程的应用时，老师板书的问题和两名同学所列的方程.
甲、乙两个工程队修路，甲队修路400 m与乙队修路600 m所用的时间相等，乙队每天比甲队多修20 m.求甲队每天修路的长度.
冰冰：$\frac{400}{x}=\frac{600}{x+20}$
庆庆：$\frac{600}{y}-\frac{400}{y}=20$
根据以上信息，解答下列问题.
(1)冰冰同学所列方程中的$x$表示：______，庆庆同学所列方程中的$y$表示：______；
(2)两个方程中任选一个，并写出它的等量关系；
(3)解(2)中你所选择的方程，并回答老师提出的问题.
甲、乙两个工程队修路，甲队修路400 m与乙队修路600 m所用的时间相等，乙队每天比甲队多修20 m.求甲队每天修路的长度.
冰冰：$\frac{400}{x}=\frac{600}{x+20}$
庆庆：$\frac{600}{y}-\frac{400}{y}=20$
根据以上信息，解答下列问题.
(1)冰冰同学所列方程中的$x$表示：______，庆庆同学所列方程中的$y$表示：______；
(2)两个方程中任选一个，并写出它的等量关系；
(3)解(2)中你所选择的方程，并回答老师提出的问题.
答案
5.(1)甲队每天修路的长度 甲队修400 m路所用的时间(或乙队修600 m路所用的时间)
(2)冰冰用的等量关系是：甲队修400 m路所用的时间=乙队修600 m路所用的时间，庆庆用的等量关系是:乙队每天修路的长度-甲队每天修路的长度=20米(选择一个即可)
(3)选冰冰的方程:$\frac{400}{x}=\frac{600}{x+20}$,方程两边乘$x(x+20)$,得$400x+8\ 000=600x$,解得$x=40$,检验:当$x=40$时,$x(x+20)≠0$,
∴原分式方程的解是$x=40$.答:甲队每天修路的长度为40米;选庆庆的方程:$\frac{600}{y}-\frac{400}{y}=20$,方程两边乘$y$,得$600-400=20y$,解得$y=10$,经检验,$y=10$是原分式方程的解,
∴$\frac{400}{y}=40$.答:甲队每天修路的长度为40米
(2)冰冰用的等量关系是：甲队修400 m路所用的时间=乙队修600 m路所用的时间，庆庆用的等量关系是:乙队每天修路的长度-甲队每天修路的长度=20米(选择一个即可)
(3)选冰冰的方程:$\frac{400}{x}=\frac{600}{x+20}$,方程两边乘$x(x+20)$,得$400x+8\ 000=600x$,解得$x=40$,检验:当$x=40$时,$x(x+20)≠0$,
∴原分式方程的解是$x=40$.答:甲队每天修路的长度为40米;选庆庆的方程:$\frac{600}{y}-\frac{400}{y}=20$,方程两边乘$y$,得$600-400=20y$,解得$y=10$,经检验,$y=10$是原分式方程的解,
∴$\frac{400}{y}=40$.答:甲队每天修路的长度为40米
解析
【分析】
第(1)问：根据“工作总量÷工作效率=工作时间”的数量关系分析，冰冰所列方程中400是甲队修路总长度，因此$\frac{400}{x}$表示甲队的修路时间，可推导x的意义；庆庆所列方程中$\frac{600}{y}$、$\frac{400}{y}$分别表示乙队、甲队的每天修路长度，二者差值为每天的工效差20m，可推导y的意义。
第(2)问：任选一个方程，对应题干给出的等量条件即可：选冰冰的方程对应“甲修400m和乙修600m所用时间相等”的条件，选庆庆的方程对应“乙队每天比甲队多修20m”的条件。
第(3)问：解分式方程遵循“去分母→解整式方程→检验分母不为0→结合所求问题作答”的步骤即可。
【解析】
(1) 冰冰的方程中，400m是甲队的修路总量，$\frac{400}{x}$表示甲队的修路时间，因此x表示甲队每天修路的长度；庆庆的方程中，$\frac{600}{y}$是乙队每天修路长度，$\frac{400}{y}$是甲队每天修路长度，因此y表示甲队修400m路所用的时间（或乙队修600m路所用的时间）。
(2) 示例：选冰冰的方程，等量关系：甲队修400 m路所用的时间=乙队修600 m路所用的时间。（若选庆庆的方程，等量关系：乙队每天修路的长度-甲队每天修路的长度=20米）
(3) 示例一：选冰冰的方程$\frac{400}{x}=\frac{600}{x+20}$
去分母，方程两边同乘$x(x+20)$，得：$400(x+20)=600x$
展开得：$400x+8000=600x$
移项合并得：$200x=8000$
解得：$x=40$
检验：当$x=40$时，$x(x+20)=40×60=2400≠0$，因此$x=40$是原分式方程的解，符合题意。
答：甲队每天修路的长度为40米。
示例二：选庆庆的方程$\frac{600}{y}-\frac{400}{y}=20$
去分母，方程两边同乘y，得：$600-400=20y$
计算得：$200=20y$
解得：$y=10$
检验：当$y=10$时，$y≠0$，因此$y=10$是原分式方程的解，符合题意。
则甲队每天修路长度为$\frac{400}{y}=\frac{400}{10}=40$（米）
答：甲队每天修路的长度为40米。
【答案】
(1) 甲队每天修路的长度；甲队修400 m路所用的时间(或乙队修600 m路所用的时间)
(2) 示例：甲队修400 m路所用的时间=乙队修600 m路所用的时间（或乙队每天修路的长度-甲队每天修路的长度=20米，任选其一即可）
(3) 甲队每天修路的长度为40米
【知识点】
1. 分式方程的实际应用
2. 分式方程的解法
3. 工程问题数量关系
【点评】
本题属于分式方程应用的基础题型，从不同设未知数的角度考察对工程问题等量关系的理解，解题时要准确把握未知数的意义，解分式方程时注意检验增根，注重对基础应用能力的考察。
【难度系数】
0.75
第(1)问：根据“工作总量÷工作效率=工作时间”的数量关系分析，冰冰所列方程中400是甲队修路总长度，因此$\frac{400}{x}$表示甲队的修路时间，可推导x的意义；庆庆所列方程中$\frac{600}{y}$、$\frac{400}{y}$分别表示乙队、甲队的每天修路长度，二者差值为每天的工效差20m，可推导y的意义。
第(2)问：任选一个方程，对应题干给出的等量条件即可：选冰冰的方程对应“甲修400m和乙修600m所用时间相等”的条件，选庆庆的方程对应“乙队每天比甲队多修20m”的条件。
第(3)问：解分式方程遵循“去分母→解整式方程→检验分母不为0→结合所求问题作答”的步骤即可。
【解析】
(1) 冰冰的方程中，400m是甲队的修路总量，$\frac{400}{x}$表示甲队的修路时间，因此x表示甲队每天修路的长度；庆庆的方程中，$\frac{600}{y}$是乙队每天修路长度，$\frac{400}{y}$是甲队每天修路长度，因此y表示甲队修400m路所用的时间（或乙队修600m路所用的时间）。
(2) 示例：选冰冰的方程，等量关系：甲队修400 m路所用的时间=乙队修600 m路所用的时间。（若选庆庆的方程，等量关系：乙队每天修路的长度-甲队每天修路的长度=20米）
(3) 示例一：选冰冰的方程$\frac{400}{x}=\frac{600}{x+20}$
去分母，方程两边同乘$x(x+20)$，得：$400(x+20)=600x$
展开得：$400x+8000=600x$
移项合并得：$200x=8000$
解得：$x=40$
检验：当$x=40$时，$x(x+20)=40×60=2400≠0$，因此$x=40$是原分式方程的解，符合题意。
答：甲队每天修路的长度为40米。
示例二：选庆庆的方程$\frac{600}{y}-\frac{400}{y}=20$
去分母，方程两边同乘y，得：$600-400=20y$
计算得：$200=20y$
解得：$y=10$
检验：当$y=10$时，$y≠0$，因此$y=10$是原分式方程的解，符合题意。
则甲队每天修路长度为$\frac{400}{y}=\frac{400}{10}=40$（米）
答：甲队每天修路的长度为40米。
【答案】
(1) 甲队每天修路的长度；甲队修400 m路所用的时间(或乙队修600 m路所用的时间)
(2) 示例：甲队修400 m路所用的时间=乙队修600 m路所用的时间（或乙队每天修路的长度-甲队每天修路的长度=20米，任选其一即可）
(3) 甲队每天修路的长度为40米
【知识点】
1. 分式方程的实际应用
2. 分式方程的解法
3. 工程问题数量关系
【点评】
本题属于分式方程应用的基础题型，从不同设未知数的角度考察对工程问题等量关系的理解，解题时要准确把握未知数的意义，解分式方程时注意检验增根，注重对基础应用能力的考察。
【难度系数】
0.75
