例1 如图的图形我们把它称为“8字形”，求证：$∠ A+∠ B=∠ C+∠ D$.

$\because ∠ A + ∠ B = ∠ AED, ∠ C + ∠ D = ∠ AED, \therefore ∠ A + ∠ B = ∠ C + ∠ D$

【分析】
首先观察图形，AC、BD交于点E，∠AED同时是△ABE和△DCE的外角。我们可以利用三角形外角的性质：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和，分别得到∠A+∠B、∠C+∠D与∠AED的等量关系，再通过等量代换即可证明待求结论。
【解析】
证明：
∵ ∠AED是△ABE的外角，根据三角形外角的性质，可得$∠ A + ∠ B = ∠ AED$，
又
∵ ∠AED是△DCE的外角，同理可得$∠ C + ∠ D = ∠ AED$，
∴ $∠ A + ∠ B = ∠ C + ∠ D$（等量代换）。
【答案】
$∠ A+∠ B=∠ C+∠ D$
【知识点】
三角形外角的性质；等量代换
【点评】
本题是“8字形”几何模型的基础证明，该模型是角度计算、证明题型中常用的经典模型，掌握其结论可以快速解决多角求和、角度关系推导类问题，解题的核心是找准图形中公共的外角或对顶角关系。
【难度系数】
0.8

例2 一副三角板按如图所示放置，点A在DE上，点F在BC上，若∠EAB=25°，求∠DFC的度数.

由题意得$∠ BAC=60°, ∠ C=30°, ∠ D=45°, \because ∠ EAB=25°, \therefore ∠ GAD=180° - ∠ EAB - ∠ BAC=95°, \because ∠ DFC + ∠ C = ∠ AGF, ∠ GAD + ∠ D = ∠ AGF, \therefore ∠ DFC + ∠ C = ∠ GAD + ∠ D, \therefore ∠ DFC = ∠ GAD + ∠ D - ∠ C = 110°$

【分析】
解题时首先要明确一副三角板各内角的固定度数，先根据平角为180°，结合已知的∠EAB和三角板中∠BAC的度数，算出∠GAD的大小；再观察图形，∠AGF同时是△AGD和△FGC的外角，根据三角形外角的性质，就可以建立∠DFC和已知角度的等量关系，代入数值计算即可得到结果。
【解析】
由三角板的角度特征得：$∠ BAC=60°$，$∠ C=30°$，$∠ D=45°$。
$\because ∠ EAB=25°$，且点E、A、C在同一直线上，符合平角特征，
$\therefore ∠ GAD=180° - ∠ EAB - ∠ BAC=180°-25°-60°=95°$。
$\because ∠ AGF$是$△ AGD$的外角，根据三角形外角等于不相邻两个内角的和，可得$∠ AGF=∠ GAD+∠ D$；
同时$∠ AGF$也是$△ FGC$的外角，同理可得$∠ AGF=∠ DFC+∠ C$。
$\therefore ∠ DFC+∠ C=∠ GAD+∠ D$，
代入数值计算得：$∠ DFC=95°+45°-30°=110°$。
【答案】
$\boldsymbol{110°}$
【知识点】
三角板的固定角度、平角的定义、三角形外角的性质
【点评】
本题是三角板拼接类的角度计算常考题，解题的核心是准确识别图形中的角度关系，熟练运用平角性质和三角形外角性质建立等式即可快速求解，也可借助“8字形”模型简化推导过程。
【难度系数】
0.7

1.如图,已知 D 为$△ ABC$的边 BC 延长线上一点,$DF ⊥ AB$,垂足是 F,DF 交 AC 于点 E,$∠ A=48°,∠ D=56°$,则$∠ ACD=$.

1.$82°$

【分析】
解题时首先结合已知条件DF⊥AB，可得到直角三角形BFD，利用三角形内角和为180°先求出∠B的度数；再根据∠ACD是△ABC的外角，利用三角形外角等于与它不相邻的两个内角之和的性质，代入∠A和∠B的度数即可求出∠ACD的大小。
【解析】
解：
∵DF⊥AB，
∴∠BFD=90°，
在△BFD中，根据三角形内角和为180°，得：
$∠ B=180°-∠ BFD-∠ D=180°-90°-56°=34°$，
∵∠ACD是△ABC的外角，
∴$∠ ACD=∠ A+∠ B$，
将$∠ A=48°$，$∠ B=34°$代入得：
$∠ ACD=48°+34°=82°$。
【答案】
$82°$
【知识点】
垂直的定义，三角形内角和定理，三角形外角的性质
【点评】
本题是三角形角度计算的基础题，解题的关键是熟练掌握三角形内角和及外角的性质，通过直角三角形先求出未知角∠B的度数，再结合外角性质即可快速求解。
【难度系数】
0.85

2.如图，在$△ ABC$中，$CD ⊥ AB$于$D$，$∠ BCD = 36°$，$∠ CEA = 70°$，则$∠ EAB =$。

2.$16°$

【分析】
解题时先根据CD垂直AB的条件得到直角三角形BCD，利用直角三角形两锐角互余先求出∠B的度数；再观察∠CEA是△ABE的外角，结合三角形外角的性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和，代入已知角度即可求出∠EAB的度数。
【解析】
∵ CD⊥AB，
∴ ∠CDB=90°，
在Rt△BCD中，∠B + ∠BCD = 90°，
已知∠BCD=36°，
∴ ∠B=90°-36°=54°，
又
∵ ∠CEA是△ABE的外角，
∴ ∠CEA=∠B + ∠EAB，
已知∠CEA=70°，
∴ ∠EAB=∠CEA - ∠B=70°-54°=16°。
【答案】
$16°$
【知识点】
垂直的性质、直角三角形两锐角互余、三角形外角的性质
【点评】
本题属于几何基础计算题，解题的核心是先通过直角三角形的性质求出中间角∠B的度数，再结合外角性质推导所求角度，只要熟练掌握三角形相关基础性质就能顺利解答。
【难度系数】
0.8

3.如图，求$∠ A + ∠ B + ∠ C + ∠ D + ∠ E$的度数.

3.如图,连接 BC,,$\because ∠ D + ∠ E = ∠ 1 + ∠ 2 = ∠ BFD, \therefore ∠ A + ∠ ABE + ∠ ACD + ∠ D + ∠ E = ∠ A + ∠ ABE + ∠ ACD + ∠ 1 + ∠ 2 = ∠ A + (∠ ABE + ∠ 1) + (∠ ACD + ∠ 2) = ∠ A + ∠ ABC + ∠ ACB = 180°$

【分析】
要求五个分散角的度数和，可利用转化思想，通过作辅助线构造“8字形”模型，将分散的角转移到同一个三角形中，借助三角形内角和定理求解。首先连接BC，根据“8字形”模型中对顶角相等、三角形内角和固定的特点，可将∠D+∠E转化为∠1+∠2，此时五个角的和就转化为△ABC的三个内角之和，代入三角形内角和结论即可求出结果。
【解析】
解：如图，连接BC，
∵∠D+∠E+∠DFE=180°，∠1+∠2+∠BFC=180°，且∠DFE=∠BFC（对顶角相等）
∴∠D + ∠E = ∠1 + ∠2
∴∠A + ∠B + ∠C + ∠D + ∠E
=∠A + ∠ABE + ∠ACD + ∠1 + ∠2
=∠A + (∠ABE + ∠1) + (∠ACD + ∠2)
=∠A + ∠ABC + ∠ACB
根据三角形内角和定理，三角形内角和为180°，因此：
∠A + ∠ABC + ∠ACB=180°
即∠A + ∠B + ∠C + ∠D + ∠E=180°
【答案】
3.如图,连接 BC,,$\because ∠ D + ∠ E = ∠ 1 + ∠ 2 = ∠ BFD, \therefore ∠ A + ∠ ABE + ∠ ACD + ∠ D + ∠ E = ∠ A + ∠ ABE + ∠ ACD + ∠ 1 + ∠ 2 = ∠ A + (∠ ABE + ∠ 1) + (∠ ACD + ∠ 2) = ∠ A + ∠ ABC + ∠ ACB = 180°$
【知识点】
三角形内角和定理、对顶角相等、角度转化
【点评】
本题是不规则图形角度和的典型考题，解题核心是通过作辅助线构造“8字形”模型，将分散的未知角集中到已知内角和的三角形中，考查学生对角度转化思想和常见几何模型的运用能力，熟练掌握三角形相关性质和常用模型是解题的关键。
【难度系数】
0.7

例3 (2025·防城港期末)如图，已知AE，CE分别平分∠BAD和∠BCD，∠B＝50°，∠D＝54°，求∠E的度数。

$\because AE, CE$分别平分$∠ BAD$和$∠ BCD, \therefore ∠ BAE = ∠ DAE, ∠ BCE = ∠ DCE, \because ∠ E + ∠ BCE = ∠ AFC, ∠ B + ∠ BAE = ∠ AFC, \therefore ∠ E + ∠ BCE = ∠ B + ∠ BAE$ ①,同理$∠ E + ∠ DAE = ∠ D + ∠ DCE$②,由①+②,得$∠ E + ∠ BCE + ∠ E + ∠ DAE = ∠ B + ∠ BAE + ∠ D + ∠ DCE, \therefore 2∠ E = ∠ B + ∠ D, \therefore ∠ E = \frac{1}{2}(∠ B + ∠ D) = 52°$

【分析】
本题可结合角平分线性质与“8字形”结构的角度关系求解。首先观察图形，存在两组“8字形”结构的三角形，结合角平分线定义可得到两组相等的角；再利用三角形外角的性质，分别列出两组“8字形”对应的角度等量关系；最后将两个等量关系相加，消去相等的角，即可推导出∠E与已知∠B、∠D的关系，代入数值计算即可。
【解析】
∵AE，CE分别平分∠BAD和∠BCD，
∴∠BAE = ∠DAE，∠BCE = ∠DCE，
∵∠AFC是△ABF的外角，也是△EFC的外角，
∴∠AFC = ∠B + ∠BAE，∠AFC = ∠E + ∠BCE，
∴∠E + ∠BCE = ∠B + ∠BAE ①，
同理可得∠E + ∠DAE = ∠D + ∠DCE ②，
将①+②，得：
∠E + ∠BCE + ∠E + ∠DAE = ∠B + ∠BAE + ∠D + ∠DCE，
又
∵∠BAE = ∠DAE，∠BCE = ∠DCE，
∴2∠E = ∠B + ∠D，
∴∠E = $\frac{1}{2}$(∠B + ∠D) = $\frac{1}{2}$×(50°+54°) = 52°
【答案】
$52°$
【知识点】
角平分线定义、三角形外角性质、等量代换
【点评】
本题是典型的“8字形”角度计算问题，解题的关键是找到图形中隐含的两组“8字形”结构，结合角平分线性质建立角度等式，通过等式变形快速求出未知角，熟练掌握这类常见几何模型能有效提升解题速度和准确率。
【难度系数】
0.6

4.小慧一笔画成了如图所示的图形，若$∠ A=60°$,则$∠ B+∠ C+∠ D+∠ E$的度数为()

A.$180°$
B.$240°$
C.$270°$
D.$300°$

4.B

【分析】
本题是分散角度求和问题，可利用三角形外角性质将分散的角转化为关联角，再结合三角形内角和、邻补角的性质求解。首先找到三角形的外角，将∠B+∠C、∠D+∠E分别用对应外角表示，再通过△AMN的内角和求出两个邻补角的和，最终计算出目标角度和。
【解析】
设线段AC与BE交于点M，线段AD与BE交于点N：
1. 根据三角形外角的性质：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和，可得∠CMN是△BCM的外角，因此$\boldsymbol{∠CMN=∠B+∠C}$；同理，∠DNM是△DEN的外角，因此$\boldsymbol{∠DNM=∠D+∠E}$。
2. 在△AMN中，已知∠A=60°，根据三角形内角和为180°，可得$∠AMN+∠ANM=180°-∠A=180°-60°=120°$。
3. 因为∠CMN与∠AMN互为邻补角，∠DNM与∠ANM互为邻补角，所以$∠CMN=180°-∠AMN$，$∠DNM=180°-∠ANM$。
4. 计算目标角度和：
$∠B+∠C+∠D+∠E=∠CMN+∠DNM$
$=(180°-∠AMN)+(180°-∠ANM)$
$=360°-(∠AMN+∠ANM)$
$=360°-120°=240°$
【答案】
B
【知识点】
三角形外角性质，三角形内角和定理，邻补角性质
【点评】
本题是角度求和类的典型题型，解题核心是通过三角形外角性质将分散的未知角转化为和已知角∠A相关的角度，结合基础的角度性质即可快速求解，需要熟练掌握角度转化的思路。
【难度系数】
0.7