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思维导图
构建知识体系
三角形中的边角关系、命题与证明
三角形的相关概念和分类
边的关系
三角形中任何两边的和
三角形中任何两边的差
角的关系
定理:三角形的内角和等于
；
推论1:直角三角形的两锐角
推论2:有两个角互余的三角形是
推论3:三角形的外角等于与它
推论4:三角形的外角
命题与证明
构建知识体系
三角形中的边角关系、命题与证明
三角形的相关概念和分类
边的关系
三角形中任何两边的和
大于
第三边；三角形中任何两边的差
小于
第三边角的关系
定理:三角形的内角和等于
；推论1:直角三角形的两锐角
互余
；推论2:有两个角互余的三角形是
直角
三角形；推论3:三角形的外角等于与它
不相邻
的两个内角的和；推论4:三角形的外角
大于
与它不相邻的任何一个内角命题与证明
答案
三角形中任何两边的和大于第三边；三角形中任何两边的差小于第三边；三角形的内角和等于180°；直角三角形的两锐角互余；有两个角互余的三角形是直角三角形；三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和；三角形的外角大于与它不相邻的任何一个内角
解析
【分析】
这道题考查三角形边角相关的基础概念，属于识记类题目，解题时只需回忆教材中三角形三边关系、内角和定理及相关推论、外角性质的内容，对应空缺位置逐一填写即可。
【解析】
1. 边的关系：根据三角形三边的基本性质，三角形任意两边的和大于第三边，任意两边的差小于第三边，该性质是判断三条线段能否组成三角形的核心依据。
2. 角的关系：
（1）三角形内角和定理明确，三角形的内角和等于180°；
（2）结合内角和定理推导：直角三角形有一个内角为90°，因此剩余两个锐角的和为180°-90°=90°，即直角三角形的两锐角互余；反过来，如果一个三角形有两个角互余，那么第三个角的度数为180°-90°=90°，因此该三角形是直角三角形；
（3）三角形外角的性质：外角等于与它不相邻的两个内角的和，由此可进一步推出，三角形的外角大于与它不相邻的任何一个内角。
【答案】
三角形中任何两边的和大于第三边；三角形中任何两边的差小于第三边；三角形的内角和等于180°；直角三角形的两锐角互余；有两个角互余的三角形是直角三角形；三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和；三角形的外角大于与它不相邻的任何一个内角
【知识点】
三角形三边关系；三角形内角和定理；三角形外角的性质
【点评】
本题是对三角形边角基础知识点的直接考查，内容均为该模块的核心基础概念，熟练掌握这些知识点是解决三角形相关计算、证明类题目的前提，需牢固记忆。
【难度系数】
0.9
这道题考查三角形边角相关的基础概念，属于识记类题目，解题时只需回忆教材中三角形三边关系、内角和定理及相关推论、外角性质的内容，对应空缺位置逐一填写即可。
【解析】
1. 边的关系：根据三角形三边的基本性质，三角形任意两边的和大于第三边，任意两边的差小于第三边，该性质是判断三条线段能否组成三角形的核心依据。
2. 角的关系：
（1）三角形内角和定理明确，三角形的内角和等于180°；
（2）结合内角和定理推导：直角三角形有一个内角为90°，因此剩余两个锐角的和为180°-90°=90°，即直角三角形的两锐角互余；反过来，如果一个三角形有两个角互余，那么第三个角的度数为180°-90°=90°，因此该三角形是直角三角形；
（3）三角形外角的性质：外角等于与它不相邻的两个内角的和，由此可进一步推出，三角形的外角大于与它不相邻的任何一个内角。
【答案】
三角形中任何两边的和大于第三边；三角形中任何两边的差小于第三边；三角形的内角和等于180°；直角三角形的两锐角互余；有两个角互余的三角形是直角三角形；三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和；三角形的外角大于与它不相邻的任何一个内角
【知识点】
三角形三边关系；三角形内角和定理；三角形外角的性质
【点评】
本题是对三角形边角基础知识点的直接考查，内容均为该模块的核心基础概念，熟练掌握这些知识点是解决三角形相关计算、证明类题目的前提，需牢固记忆。
【难度系数】
0.9
1.已知三角形的两边长分别是5和9,则此三角形的第三边长可能是 （
A.1
B.4
C.8
D.14
C
）A.1
B.4
C.8
D.14
答案
1.C
解析
【分析】
遇到已知三角形两边长、求第三边可能取值的题目，解题核心是运用三角形三边关系确定第三边的取值范围。首先回忆三角形三边关系：三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。我们可以先设第三边长为x，代入已知的两边长求出x的取值范围，再逐一对比选项，落在取值范围内的即为正确答案，需要注意取值范围的边界值不能取，否则无法构成三角形。
【解析】
解：设此三角形的第三边长为$ x $，根据三角形三边关系可得：
两边之差 ＜ 第三边 ＜ 两边之和，即
$ 9 - 5 ＜ x ＜ 9 + 5 $
计算得：$ 4 ＜ x ＜ 14 $
逐一核对选项：
A. $ 1 ＜ 4 $，不符合范围；
B. $ 4 $是边界值，不符合；
C. $ 4 ＜ 8 ＜ 14 $，符合范围；
D. $ 14 $是边界值，不符合。
因此选C。
【答案】
C
【知识点】
三角形三边关系
【点评】
本题是基础题型，主要考查三角形三边关系的应用，解题关键是准确求出第三边的取值范围，注意排除等于两边之差、两边之和的边界值，即可快速得出正确结果。
【难度系数】
0.9
遇到已知三角形两边长、求第三边可能取值的题目，解题核心是运用三角形三边关系确定第三边的取值范围。首先回忆三角形三边关系：三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。我们可以先设第三边长为x，代入已知的两边长求出x的取值范围，再逐一对比选项，落在取值范围内的即为正确答案，需要注意取值范围的边界值不能取，否则无法构成三角形。
【解析】
解：设此三角形的第三边长为$ x $，根据三角形三边关系可得：
两边之差 ＜ 第三边 ＜ 两边之和，即
$ 9 - 5 ＜ x ＜ 9 + 5 $
计算得：$ 4 ＜ x ＜ 14 $
逐一核对选项：
A. $ 1 ＜ 4 $，不符合范围；
B. $ 4 $是边界值，不符合；
C. $ 4 ＜ 8 ＜ 14 $，符合范围；
D. $ 14 $是边界值，不符合。
因此选C。
【答案】
C
【知识点】
三角形三边关系
【点评】
本题是基础题型，主要考查三角形三边关系的应用，解题关键是准确求出第三边的取值范围，注意排除等于两边之差、两边之和的边界值，即可快速得出正确结果。
【难度系数】
0.9
2.(2024－2025·淮北期中)已知$a,b,c$分别为三角形$ABC$的三边，且满足$a+c=3b-2$，$a-c=2b-4$，则$b$的取值范围是（
A.$\frac{4}{3}＜b＜4$
B.$1＜b＜4$
C.$1＜b＜3$
D.$\frac{4}{3}＜b＜3$
B
）A.$\frac{4}{3}＜b＜4$
B.$1＜b＜4$
C.$1＜b＜3$
D.$\frac{4}{3}＜b＜3$
答案
2.B
3.(易错题)若一个等腰三角形的腰长是3，则它的周长可能是（
A.5
B.10
C.15
D.20
B
）A.5
B.10
C.15
D.20
答案
3.B
解析
【分析】
解题思路如下：首先明确等腰三角形的周长由两条腰和一条底边组成，已知腰长为3，先根据三角形三边关系（任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边）求出底边长的取值范围，再进一步推导周长的取值范围，最后对比选项选出符合范围的答案即可。
【解析】
解：已知等腰三角形腰长为3，因此两条腰的长度和为$3+3=6$。
设底边长为$x$，根据三角形三边关系可得：
$3-3 ＜ x ＜ 3+3$，即$0 ＜ x ＜ 6$。
等腰三角形周长$L = 3+3+x = 6+x$，将$x$的取值范围代入得：
$6+0 ＜ L ＜ 6+6$，即$6 ＜ L ＜ 12$。
逐一判断选项：
A.5＜6，不符合范围，排除；
B.10满足$6＜10＜12$，符合要求；
C.15＞12、D.20＞12，均不符合范围，排除。
因此本题选B。
【答案】
B
【知识点】
等腰三角形性质、三角形三边关系、周长计算
【点评】
本题属于易错题，易错点是容易忽略三角形三边关系对底边长的限制，直接随意假设底边长计算周长。解题的核心是先通过三边关系确定周长的取值范围，再结合选项筛选答案，要注意几何题中隐含的边长限制条件。
【难度系数】
0.7
解题思路如下：首先明确等腰三角形的周长由两条腰和一条底边组成，已知腰长为3，先根据三角形三边关系（任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边）求出底边长的取值范围，再进一步推导周长的取值范围，最后对比选项选出符合范围的答案即可。
【解析】
解：已知等腰三角形腰长为3，因此两条腰的长度和为$3+3=6$。
设底边长为$x$，根据三角形三边关系可得：
$3-3 ＜ x ＜ 3+3$，即$0 ＜ x ＜ 6$。
等腰三角形周长$L = 3+3+x = 6+x$，将$x$的取值范围代入得：
$6+0 ＜ L ＜ 6+6$，即$6 ＜ L ＜ 12$。
逐一判断选项：
A.5＜6，不符合范围，排除；
B.10满足$6＜10＜12$，符合要求；
C.15＞12、D.20＞12，均不符合范围，排除。
因此本题选B。
【答案】
B
【知识点】
等腰三角形性质、三角形三边关系、周长计算
【点评】
本题属于易错题，易错点是容易忽略三角形三边关系对底边长的限制，直接随意假设底边长计算周长。解题的核心是先通过三边关系确定周长的取值范围，再结合选项筛选答案，要注意几何题中隐含的边长限制条件。
【难度系数】
0.7
4.已知a,b,c是△ABC的三边长,则化简|a+b−c|+|b−c−a|−|c−a+b|的结果是
$3a-b-c$
.答案
4.$3a-b-c$
解析
【分析】
要化简含绝对值的式子，首先需要判断每个绝对值内代数式的正负性，再根据绝对值的性质去绝对值符号，最后合并同类项即可。本题可先利用三角形三边关系：任意两边之和大于第三边，判断三个绝对值内式子的正负，再逐步计算。
【解析】
∵a、b、c是△ABC的三边长，根据三角形三边关系“任意两边之和大于第三边”，可得：
1. $a + b ＞ c$，即$a + b - c ＞ 0$，因此$\vert a + b - c\vert = a + b - c$；
2. $a + c ＞ b$，即$b - c - a = b - (a + c) ＜ 0$，因此$\vert b - c - a\vert = -(b - c - a) = a + c - b$；
3. $b + c ＞ a$，即$c - a + b = (b + c) - a ＞ 0$，因此$\vert c - a + b\vert = c - a + b$。
将上述结果代入原式得：
$\begin{aligned}原式&=(a + b - c) + (a + c - b) - (c - a + b)\\&=a + b - c + a + c - b - c + a - b\\&=3a - b - c\end{aligned}$
【答案】
$3a - b - c$
【知识点】
三角形三边关系，绝对值化简，整式的加减
【点评】
本题属于基础综合题，将三角形的性质和代数运算结合考查，解题核心是先通过三角形三边关系确定绝对值内表达式的符号，去绝对值时注意符号规则，合并同类项时不要漏项。
【难度系数】
0.7
要化简含绝对值的式子，首先需要判断每个绝对值内代数式的正负性，再根据绝对值的性质去绝对值符号，最后合并同类项即可。本题可先利用三角形三边关系：任意两边之和大于第三边，判断三个绝对值内式子的正负，再逐步计算。
【解析】
∵a、b、c是△ABC的三边长，根据三角形三边关系“任意两边之和大于第三边”，可得：
1. $a + b ＞ c$，即$a + b - c ＞ 0$，因此$\vert a + b - c\vert = a + b - c$；
2. $a + c ＞ b$，即$b - c - a = b - (a + c) ＜ 0$，因此$\vert b - c - a\vert = -(b - c - a) = a + c - b$；
3. $b + c ＞ a$，即$c - a + b = (b + c) - a ＞ 0$，因此$\vert c - a + b\vert = c - a + b$。
将上述结果代入原式得：
$\begin{aligned}原式&=(a + b - c) + (a + c - b) - (c - a + b)\\&=a + b - c + a + c - b - c + a - b\\&=3a - b - c\end{aligned}$
【答案】
$3a - b - c$
【知识点】
三角形三边关系，绝对值化简，整式的加减
【点评】
本题属于基础综合题，将三角形的性质和代数运算结合考查，解题核心是先通过三角形三边关系确定绝对值内表达式的符号，去绝对值时注意符号规则，合并同类项时不要漏项。
【难度系数】
0.7
5. 如图,在$△ ABC$中,$∠ C=90°$,$D$,$E$是$AC$上两点,且$AE=DE$,$BD$平分$∠ EBC$,则下列说法不正确的是（
A.$BE$是$△ ABD$的中线
B.$BD$是$△ BCE$的角平分线
C.$∠1=∠2=∠3$
D.$BC$是$△ BDE$的高
C
）A.$BE$是$△ ABD$的中线
B.$BD$是$△ BCE$的角平分线
C.$∠1=∠2=∠3$
D.$BC$是$△ BDE$的高
答案
5.C
解析
【分析】
解题时首先明确三角形中线、角平分线、高的定义，再结合题目给出的“AE=DE、BD平分∠EBC、∠C=90°”这几个已知条件，逐个判断每个选项的正误，最终选出不正确的选项即可。需要注意不要自行添加题目未给出的条件，避免判断失误。
【解析】
我们结合三角形三类线段的定义逐个分析选项：
1. 分析选项A：已知AE=DE，说明E是AD的中点，在△ABD中，BE是连接顶点B和对边AD中点E的线段，因此BE是△ABD的中线，A说法正确，不符合题意。
2. 分析选项B：已知BD平分∠EBC，即BD平分△BCE的内角∠EBC，且BD与CE交于点D，因此BD是△BCE的角平分线，B说法正确，不符合题意。
3. 分析选项C：由BD平分∠EBC可推出∠2=∠3，但题目中没有任何条件能证明BE平分∠ABD，无法得到∠1=∠2，因此∠1=∠2=∠3的说法不成立，C说法错误，符合题意。
4. 分析选项D：已知∠C=90°，即BC⊥AC，而线段DE在AC边上，因此BC⊥DE，BC是△BDE中顶点B到DE边的垂线段，即BC是△BDE的高，D说法正确，不符合题意。
【答案】
C
【知识点】
三角形的中线；三角形的角平分线；三角形的高
【点评】
本题核心是考查对三角形三类基本线段定义的掌握，解题时要严格结合已知条件分析，不能主观臆断题目不存在的结论，是对基础概念应用的典型考查题。
【难度系数】
0.8
解题时首先明确三角形中线、角平分线、高的定义，再结合题目给出的“AE=DE、BD平分∠EBC、∠C=90°”这几个已知条件，逐个判断每个选项的正误，最终选出不正确的选项即可。需要注意不要自行添加题目未给出的条件，避免判断失误。
【解析】
我们结合三角形三类线段的定义逐个分析选项：
1. 分析选项A：已知AE=DE，说明E是AD的中点，在△ABD中，BE是连接顶点B和对边AD中点E的线段，因此BE是△ABD的中线，A说法正确，不符合题意。
2. 分析选项B：已知BD平分∠EBC，即BD平分△BCE的内角∠EBC，且BD与CE交于点D，因此BD是△BCE的角平分线，B说法正确，不符合题意。
3. 分析选项C：由BD平分∠EBC可推出∠2=∠3，但题目中没有任何条件能证明BE平分∠ABD，无法得到∠1=∠2，因此∠1=∠2=∠3的说法不成立，C说法错误，符合题意。
4. 分析选项D：已知∠C=90°，即BC⊥AC，而线段DE在AC边上，因此BC⊥DE，BC是△BDE中顶点B到DE边的垂线段，即BC是△BDE的高，D说法正确，不符合题意。
【答案】
C
【知识点】
三角形的中线；三角形的角平分线；三角形的高
【点评】
本题核心是考查对三角形三类基本线段定义的掌握，解题时要严格结合已知条件分析，不能主观臆断题目不存在的结论，是对基础概念应用的典型考查题。
【难度系数】
0.8
6.如图，AD，CE是$△ ABC$的两条中线，连接ED.若$S_{△ ABC}=12$，则$S_{△ BDE}$的值为（
A.1
B.2
C.3
D.6
C
）A.1
B.2
C.3
D.6
答案
6.C
解析
【分析】
求解本题可利用三角形中线的性质推导面积关系：首先明确三角形的中线会将三角形分为两个面积相等的部分，因为两个部分等底同高。第一步先根据CE是△ABC的中线，求出△BCE的面积；第二步再根据AD是△ABC的中线，可知D是BC中点，即ED是△BCE的中线，进而求出△BDE的面积。
【解析】
解：
∵CE是△ABC的中线，
∴E为AB中点，BE=$\frac{1}{2}$AB，
△BCE和△ABC同高，面积比等于底的比，因此：
$S_{△ BCE}=\frac{1}{2}S_{△ ABC}=\frac{1}{2}×12=6$。
又
∵AD是△ABC的中线，
∴D为BC中点，BD=$\frac{1}{2}$BC，
ED是△BCE的中线，△BDE和△BCE同高，面积比等于底的比，因此：
$S_{△ BDE}=\frac{1}{2}S_{△ BCE}=\frac{1}{2}×6=3$。
故选C。
【答案】
C
【知识点】
三角形中线的性质，三角形面积计算
【点评】
本题是三角形面积相关的基础题型，核心考查中线平分三角形面积的性质，解题时只需找准中线对应的中点，逐步推导所求三角形与已知面积三角形的比例关系即可。
【难度系数】
0.7
求解本题可利用三角形中线的性质推导面积关系：首先明确三角形的中线会将三角形分为两个面积相等的部分，因为两个部分等底同高。第一步先根据CE是△ABC的中线，求出△BCE的面积；第二步再根据AD是△ABC的中线，可知D是BC中点，即ED是△BCE的中线，进而求出△BDE的面积。
【解析】
解：
∵CE是△ABC的中线，
∴E为AB中点，BE=$\frac{1}{2}$AB，
△BCE和△ABC同高，面积比等于底的比，因此：
$S_{△ BCE}=\frac{1}{2}S_{△ ABC}=\frac{1}{2}×12=6$。
又
∵AD是△ABC的中线，
∴D为BC中点，BD=$\frac{1}{2}$BC，
ED是△BCE的中线，△BDE和△BCE同高，面积比等于底的比，因此：
$S_{△ BDE}=\frac{1}{2}S_{△ BCE}=\frac{1}{2}×6=3$。
故选C。
【答案】
C
【知识点】
三角形中线的性质，三角形面积计算
【点评】
本题是三角形面积相关的基础题型，核心考查中线平分三角形面积的性质，解题时只需找准中线对应的中点，逐步推导所求三角形与已知面积三角形的比例关系即可。
【难度系数】
0.7
7.如图，在$△ ABC$中，AD是BC边上的中线，AE是BC边上的高.
(1)若$∠ ACB=100°$,求$∠ CAE$的度数；
(2)若$S_{△ ABC}=12$,$CD=4$,求AE的长.
(1)若$∠ ACB=100°$,求$∠ CAE$的度数；
(2)若$S_{△ ABC}=12$,$CD=4$,求AE的长.
答案
7.解:(1)$\because AE$是$BC$边上的高,$\therefore ∠ E=90°$.$\because ∠ ACB=100°$,$\therefore ∠ CAE=∠ ACB-∠ E=10°$.
(2)$\because AD$是$BC$上的中线,$\therefore BC=2CD=8$.$\because AE$是$BC$边上的高,$S_{△ ABC}=12$,$\therefore S_{△ ABC}=\frac{1}{2}BC· AE=\frac{1}{2}×8× AE=12$.$\therefore AE=3$.
(2)$\because AD$是$BC$上的中线,$\therefore BC=2CD=8$.$\because AE$是$BC$边上的高,$S_{△ ABC}=12$,$\therefore S_{△ ABC}=\frac{1}{2}BC· AE=\frac{1}{2}×8× AE=12$.$\therefore AE=3$.
解析
【分析】
(1)求解∠CAE的度数时，首先根据AE是BC边上的高，可得∠E=90°，观察图形可知∠ACB是△ACE的外角，结合三角形外角的性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和，代入已知角度即可计算∠CAE。
(2)求解AE的长度时，先根据AD是BC边上的中线，可得BC的长度是CD的2倍，算出BC后，再利用三角形面积公式$S=\frac{1}{2}×底×高$，将已知面积、BC长度代入公式，即可解出高AE的长度。
【解析】
(1)
∵AE是BC边上的高，
∴∠E=90°，
∵∠ACB是△ACE的外角，
∴∠ACB=∠E+∠CAE，
又
∵∠ACB=100°，
∴∠CAE=∠ACB-∠E=100°-90°=10°。
(2)
∵AD是BC边上的中线，CD=4，
∴BC=2CD=2×4=8，
∵AE是BC边上的高，$S_{△ABC}=12$，
∴$S_{△ABC}=\frac{1}{2}×BC×AE$，
代入得$\frac{1}{2}×8×AE=12$，
解得AE=3。
【答案】
(1)$\boldsymbol{∠CAE=10°}$；(2)$\boldsymbol{AE=3}$
【知识点】
三角形高的性质，三角形中线的性质，三角形面积公式
【点评】
本题属于三角形基础类习题，侧重考查对三角形高、中线概念的理解，以及三角形面积公式的简单应用，解题的关键是准确识别图形中各线段的性质，代入数据计算即可，整体解题思路清晰，计算量小。
【难度系数】
0.8
(1)求解∠CAE的度数时，首先根据AE是BC边上的高，可得∠E=90°，观察图形可知∠ACB是△ACE的外角，结合三角形外角的性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和，代入已知角度即可计算∠CAE。
(2)求解AE的长度时，先根据AD是BC边上的中线，可得BC的长度是CD的2倍，算出BC后，再利用三角形面积公式$S=\frac{1}{2}×底×高$，将已知面积、BC长度代入公式，即可解出高AE的长度。
【解析】
(1)
∵AE是BC边上的高，
∴∠E=90°，
∵∠ACB是△ACE的外角，
∴∠ACB=∠E+∠CAE，
又
∵∠ACB=100°，
∴∠CAE=∠ACB-∠E=100°-90°=10°。
(2)
∵AD是BC边上的中线，CD=4，
∴BC=2CD=2×4=8，
∵AE是BC边上的高，$S_{△ABC}=12$，
∴$S_{△ABC}=\frac{1}{2}×BC×AE$，
代入得$\frac{1}{2}×8×AE=12$，
解得AE=3。
【答案】
(1)$\boldsymbol{∠CAE=10°}$；(2)$\boldsymbol{AE=3}$
【知识点】
三角形高的性质，三角形中线的性质，三角形面积公式
【点评】
本题属于三角形基础类习题，侧重考查对三角形高、中线概念的理解，以及三角形面积公式的简单应用，解题的关键是准确识别图形中各线段的性质，代入数据计算即可，整体解题思路清晰，计算量小。
【难度系数】
0.8
