8. 如图，BD平分∠ABC，CD⊥BD，垂足为D，∠C=55°，则∠ABC的度数是（）

A.35°
B.55°
C.60°
D.70°
（第8题图）
（第9题图）

8.D

【分析】
解题时首先根据CD⊥BD确定△BDC是直角三角形，利用直角三角形两个锐角互余的性质先计算出∠DBC的度数；再结合BD是∠ABC的角平分线这一条件，根据角平分线的定义，即可得到∠ABC是∠DBC的2倍，进而求出最终结果。
【解析】
解：
∵CD⊥BD，
∴∠BDC=90°，
在Rt△BDC中，∠C=55°，根据直角三角形两锐角互余可得：
∠DBC=90°-∠C=90°-55°=35°，
又
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABC=2∠DBC=2×35°=70°。
【答案】D
【知识点】
直角三角形的性质，角平分线的定义
【点评】
本题是基础的几何角度计算题，核心是梳理清楚已知角和待求角之间的数量关系，熟练掌握基础几何性质就能快速解答。
【难度系数】
0.8

9.如图,已知AD是△ABC的角平分线,CE是△ABC的高,AD,CE相交于点P,∠BAC=66°,∠BCE=40°,则∠ADC的度数为()

A.83°
B.86°
C.73°
D.77°

9.A

【分析】
解题时可按以下步骤思考：1. 先利用CE是△ABC的高，结合直角三角形两锐角互余的性质，由已知∠BCE的度数求出∠B的度数；2. 再根据AD是角平分线的条件，求出∠BAD的度数；3. 最后利用三角形外角的性质，∠ADC是△ABD的外角，等于和它不相邻的两个内角∠B与∠BAD的和，即可求出∠ADC的度数。
【解析】
解：
1. 求∠B的度数：
∵ CE是△ABC的高，
∴ ∠CEB=90°，
在Rt△BCE中，∠B + ∠BCE = 90°，
已知∠BCE=40°，
∴ ∠B = 90° - 40° = 50°。
2. 求∠BAD的度数：
∵ AD是△ABC的角平分线，∠BAC=66°，
∴ ∠BAD = $\frac{1}{2}$∠BAC = $\frac{1}{2}$×66° = 33°。
3. 求∠ADC的度数：
∵ ∠ADC是△ABD的外角，根据三角形外角的性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，
∴ ∠ADC = ∠B + ∠BAD = 50° + 33° = 83°。
【答案】
A
【知识点】
直角三角形的性质；角平分线的定义；三角形外角的性质
【点评】
本题属于三角形角度计算的基础题型，综合考查了三角形高、角平分线的相关性质，解题关键是理清各角度之间的数量关系，合理运用三角形外角性质可以简化计算过程，避免多余运算。
【难度系数】
0.7

10.将一副三角尺按如图所示的方式放置，则∠α的度数是（）

A.$15°$
B.$20°$
C.$30°$
D.$45°$
（第10题图）
（第11题图）

10.A

【分析】
首先明确一副三角尺的各角度数：等腰直角三角尺的锐角均为45°，另一个直角三角尺的较小锐角为30°、较大锐角为60°。观察图形可知，45°的角可看作对应三角形的外角，根据三角形外角性质，该外角等于不相邻的30°角与∠α的和，因此用45°减去30°即可求出∠α的度数。
【解析】
解：一副三角尺的锐角度数分别为30°、60°和45°、45°。
根据三角形外角的性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和，结合图形可得：
$45°=30°+∠α$
因此$∠α=45°-30°=15°$，故选A。
【答案】
A
【知识点】
三角尺角度认知，三角形外角性质
【点评】
本题属于基础几何题，主要考查对三角尺固定角度的记忆和三角形外角性质的简单应用，解题关键是准确识别两个三角尺叠放时角的数量关系。
【难度系数】
0.85

11.如图，在三角形纸片ABC中，∠A=58°，∠B=83°，将纸片的一角折叠，使点C落在△ABC内。若∠1=38°，则∠2的度数为。

11.$40°$

【分析】
解题可按三步思考：1. 首先利用三角形内角和为180°的定理，计算出△ABC中∠C的度数；2. 结合折叠的性质，折叠前后对应角相等，再根据平角为180°的定义，建立∠1、∠2和折点处两个角的数量关系；3. 最后再次利用三角形内角和定理，推导得到∠1、∠2与∠C的关系，代入已知数值即可求出∠2的度数。
【解析】
在△ABC中，根据三角形内角和定理：
$∠ C=180°-∠ A-∠ B=180°-58°-83°=39°$
设折痕与AC、BC的交点分别为E、F，点C折叠后的对应点为$C'$，由折叠的性质可得：$∠ CEF=∠ C'EF$，$∠ CFE=∠ C'FE$。
根据平角的定义：
$∠1+2∠ CEF=180°$ ①
$∠2+2∠ CFE=180°$ ②
将①+②得：$∠1+∠2+2(∠ CEF+∠ CFE)=360°$
在△CEF中，$∠ CEF+∠ CFE=180°-∠ C=180°-39°=141°$，代入上式：
$38°+∠2+2×141°=360°$
计算得：$∠2=360°-38°-282°=40°$
【答案】
$40°$
【知识点】
三角形内角和定理，折叠的性质，平角的定义
【点评】
本题是几何基础综合题，核心考查折叠性质与三角形内角和的结合应用，解题关键是通过折叠前后角的相等关系，结合平角、三角形内角和搭建已知角和未知角的联系，熟练掌握相关定理即可快速解题。
【难度系数】
0.7

12.(2024－2025·合肥期中)如图,在△ACD中,B是DC边上一点,2∠1=∠2,∠3=4∠4,∠DAC=110°,求∠1和∠DAB的度数.

12.解:根据题意,得$∠ 3=∠ 2+∠ 1$.
$\because 2∠ 1=∠ 2$,$∠ 3=4∠ 4$,$\therefore 4∠ 4=2∠ 1+∠ 1$,$\therefore ∠ 4=\frac{3}{4}∠ 1$. $\because ∠ DAC=110°$,$\therefore ∠ 4+∠ 1=70°$,$\therefore \frac{3}{4}∠ 1+∠ 1=70°$,$\therefore ∠ 1=40°$,$\therefore ∠ 2=2∠ 1=80°$,$\therefore ∠ DAB=∠ DAC-∠ 2=30°$.

【分析】
解题时首先利用三角形外角的性质，得到∠3与∠1、∠2的关系，再结合题目给出的角的倍数关系，将∠4用∠1表示；然后根据三角形内角和定理，已知∠DAC的度数，可得到∠1与∠4的和，代入等量关系即可求出∠1的度数，最后利用角的和差关系计算∠DAB的度数即可。
【解析】
根据三角形外角的性质，可得$∠ 3=∠ 2+∠ 1$。
$\because 2∠ 1=∠ 2$，$∠ 3=4∠ 4$，
$\therefore 4∠ 4=2∠ 1+∠ 1$，整理得$∠ 4=\frac{3}{4}∠ 1$。
在$△ ACD$中，根据三角形内角和定理，$∠ DAC+∠ 1+∠ 4=180°$，
已知$∠ DAC=110°$，$\therefore ∠ 1+∠ 4=180°-110°=70°$。
将$∠ 4=\frac{3}{4}∠ 1$代入得：$\frac{3}{4}∠ 1+∠ 1=70°$，
解得$∠ 1=40°$。
$\therefore ∠ 2=2∠ 1=2×40°=80°$，
$\therefore ∠ DAB=∠ DAC-∠ 2=110°-80°=30°$。
【答案】
$∠1=40°$，$∠ DAB=30°$
【知识点】
1. 三角形外角性质
2. 三角形内角和定理
3. 角度和差运算
【点评】
本题属于基础题型，重点考查三角形内外角相关性质的综合应用，解题核心是梳理清楚各角之间的倍数、和差等量关系，通过代换建立等式即可求解，是三角形角度计算类的典型考题。
【难度系数】
0.7

13.有下列语句:①两点确定一条直线;②请随手关门;③零既不是正数,也不是负数;④你昨晚睡好了吗;⑤动物都需要氧气。
其中命题的个数是 ()

A.2
B.3
C.4
D.5

13.B

【分析】
要解决本题，首先需要明确命题的核心定义：判断一件事情的陈述句叫做命题，必须同时满足两个条件：1. 是陈述句，祈使句、疑问句、感叹句等都不符合要求；2. 能够明确判断真假（无论结论是真还是假，只要能判断就满足）。解题时我们逐一核对每个语句是否符合这两个条件，统计符合条件的数量即可得到答案。
【解析】
根据命题的定义逐一分析每个语句：
1. ①“两点确定一条直线”：是可判断为真的陈述句，属于命题；
2. ②“请随手关门”：是祈使句，没有对某件事作出真假判断，不属于命题；
3. ③“零既不是正数，也不是负数”：是可判断为真的陈述句，属于命题；
4. ④“你昨晚睡好了吗”：是疑问句，没有作出判断，不属于命题；
5. ⑤“动物都需要氧气”：是可判断为真的陈述句，属于命题。
综上，属于命题的有①③⑤，共3个。
【答案】
B
【知识点】
命题的定义
【点评】
本题重点考查对命题概念的掌握，解题的关键是牢记命题的两个核心特征，需注意假命题也属于命题，只要能明确判断真假即可，避免出现“只有正确的语句才是命题”的认知误区。
【难度系数】
0.8

14.下列命题中,逆命题是假命题的是 ()

A.若$|a|=0$,则$a=0$
B.等边三角形是锐角三角形
C.两直线平行,内错角相等
D.同一平面内,垂直于同一条直线的两条直线互相平行

14.B

【分析】
解题首先要明确逆命题的定义：将原命题的条件和结论互换位置，即可得到原命题的逆命题。解题步骤为：1.分别写出四个选项中原命题的逆命题；2.结合所学的公理、定理、定义判断每个逆命题的真假；3.选出逆命题为假命题的选项即可。
【解析】
把原命题的题设（条件）和结论互换，得到的就是它的逆命题，我们逐个分析：
A. 原命题题设：$|a|=0$，结论：$a=0$；逆命题为“若$a=0$，则$|a|=0$”，根据绝对值的性质，0的绝对值为0，该逆命题是真命题，不符合题意。
B. 原命题题设：一个三角形是等边三角形，结论：这个三角形是锐角三角形；逆命题为“锐角三角形是等边三角形”。举反例：三个内角分别为50°、60°、70°的三角形是锐角三角形，但不是等边三角形，因此该逆命题是假命题，符合题意。
C. 原命题题设：两直线平行，结论：内错角相等；逆命题为“内错角相等，两直线平行”，这是平行线的判定定理，是真命题，不符合题意。
D. 原命题题设：同一平面内，两条直线垂直于同一条直线，结论：这两条直线互相平行；逆命题为“同一平面内，若两条直线互相平行，则它们垂直于同一条直线”，根据平行线的性质，若一条直线垂直于两条平行线中的一条，必然垂直于另一条，该逆命题是真命题，不符合题意。
综上，选B。
【答案】
B
【知识点】
逆命题定义；真假命题判定；平行线性质与判定
【点评】
本题核心考查逆命题的改写及真假判断，解题的易错点是改写逆命题时混淆原命题的条件和结论，判断真假时要注意结合学过的定理验证，也可通过举反例快速判断假命题。
【难度系数】
0.7

15.(2024－2025·六安期中)(1)完成下面的推理说明：
已知:如图，BE//CF，BE，CF分别平分∠ABC和∠BCD.
求证:AB//CD.
证明:∵BE，CF分别平分∠ABC和∠BCD(已知)，
∴∠1=$\frac{1}{2}$∠，∠2=$\frac{1}{2}$∠().
∵BE//CF(已知)，
∴∠1=∠2()，
∴$\frac{1}{2}$∠ABC=$\frac{1}{2}$∠BCD()，
∴∠ABC=∠BCD(等式的性质)，
∴AB//CD()；
(2)指出(1)的推理中运用了哪两个互逆的真命题.

15.(1)ABC BCD 角平分线的定义 两直线平行，内错角相等 等量代换 内错角相等，两直线平行
(2)两个互逆的真命题为两直线平行,内错角相等;内错角相等,两直线平行.

【分析】
解决本题首先要理清几何推理的逻辑链条：
1. 遇到角平分线的已知条件，优先联想到角平分线的定义，即角平分线将角分成两个相等的小角，大小为原角的一半；
2. 遇到两直线平行的已知条件，对应平行线的性质，可得到同位角、内错角相等，同旁内角互补的结论，本题中∠1和∠2是BE、CF被BC所截的内错角，因此可推出二者相等；
3. 通过等量代换将角平分线的数量关系和平行线的角相等关系结合，推导得到∠ABC和∠BCD相等，这两个角是AB、CD被BC所截的内错角，对应平行线的判定定理，即可推出AB//CD；
4. 找互逆真命题时，只需找题设和结论互换的两个真命题即可。
【解析】
(1) 根据已知条件，BE平分∠ABC，CF平分∠BCD，结合角平分线的定义，可得$∠1=\frac{1}{2}∠ ABC$，$∠2=\frac{1}{2}∠ BCD$；
已知$BE// CF$，根据两直线平行，内错角相等，可得$∠1=∠2$；
将角平分线的结论代入上式，通过等量代换可得$\frac{1}{2}∠ ABC=\frac{1}{2}∠ BCD$；
根据等式性质两边同乘2得$∠ ABC=∠ BCD$，二者是直线AB、CD被BC所截的内错角，根据内错角相等，两直线平行，可推出$AB// CD$。
(2) 互逆命题的题设和结论互换，本题中用到的“两直线平行，内错角相等”和“内错角相等，两直线平行”满足互逆关系，且均为真命题。
【答案】
(1)ABC；BCD；角平分线的定义；两直线平行，内错角相等；等量代换；内错角相等，两直线平行
(2)两个互逆的真命题为：两直线平行，内错角相等；内错角相等，两直线平行。
【知识点】
角平分线的定义；平行线的性质；平行线的判定
【点评】
本题属于几何基础推理题，核心考查平行线性质和判定的区分与应用，以及互逆命题的识别，解题的关键是明确每一步推理的条件和结论的对应关系，熟练掌握相关定理的使用场景。
【难度系数】
0.8