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16.(2024－2025·蚌埠期中)【问题呈现】三角形的中线把三角形分成面积相等的两部分.
已知:如图①,在$△ ABC$中,点D是边BC的中点,连接AD.
求证:$S_{△ ABD}=S_{△ ACD}$.
证明:过点A作$AE⊥ BC$于点E.
∵点D是边BC的中点,
∴$BD=CD$.
∵$S_{△ ABD}=\frac{1}{2}BD· AE,S_{△ ACD}=\frac{1}{2}CD· AE$,
∴$S_{△ ABD}=S_{△ ACD}$.
【拓展探究】
(1)如图②,在$△ ABC$中,点D是BC边的中点,若$S_{△ ABC}=6$,则$S_{△ ABD}=$
(2)如图③,在$△ ABC$中,点D是BC边上的点,且$CD=2BD$,求$\frac{S_{△ ABD}}{S_{△ ABC}}$的值;
【问题解决】
(3)现在有一块四边形土地ABCD,如图④,甲、乙两人要均分这块土地,请通过作图均分四边形ABCD的面积.(要求:用不超过三条的线段画出平分方法,并对作法进行说明,可利用带刻度的直尺)
已知:如图①,在$△ ABC$中,点D是边BC的中点,连接AD.
求证:$S_{△ ABD}=S_{△ ACD}$.
证明:过点A作$AE⊥ BC$于点E.
∵点D是边BC的中点,
∴$BD=CD$.
∵$S_{△ ABD}=\frac{1}{2}BD· AE,S_{△ ACD}=\frac{1}{2}CD· AE$,
∴$S_{△ ABD}=S_{△ ACD}$.
【拓展探究】
(1)如图②,在$△ ABC$中,点D是BC边的中点,若$S_{△ ABC}=6$,则$S_{△ ABD}=$
3
;(2)如图③,在$△ ABC$中,点D是BC边上的点,且$CD=2BD$,求$\frac{S_{△ ABD}}{S_{△ ABC}}$的值;
【问题解决】
(3)现在有一块四边形土地ABCD,如图④,甲、乙两人要均分这块土地,请通过作图均分四边形ABCD的面积.(要求:用不超过三条的线段画出平分方法,并对作法进行说明,可利用带刻度的直尺)
答案
16.解:(1)3
(2)如图③,
取CD的中点E,连接AE,则$CE=DE$,$\therefore S_{△ ACE}=S_{△ ADE}$.$\because CD=2BD$,$\therefore DE=BD=CE$,$\therefore S_{△ ACE}=S_{△ ADE}=S_{△ ABD}$,$\therefore \frac{S_{△ ABD}}{S_{△ ABC}}=\frac{1}{3}$.(3)如图④,
连接BD,取BD中点E,连接AE,CE,则$S_{△ ADE}=S_{△ ABE}$,$S_{△ CDE}=S_{△ CBE}$,$\therefore S_{△ ADE}+S_{△ CDE}=S_{△ ABE}+S_{△ CBE}$,即$S_{四边形ADCE}=S_{四边形ABCE}$,$\therefore$ 四边形ABCD的面积被平均分成两份.解析
【分析】
本题围绕“等底等高的三角形面积相等”这一核心规律展开解题：
1. 第(1)问直接应用三角形中线将三角形分成面积相等的两部分的结论，代入已知的△ABC面积即可求解；
2. 第(2)问已知CD=2BD，可通过将CD拆分为两段与BD长度相等的线段，得到三个底相等、高相同的三角形，其面积相等，进而求出面积比值；
3. 第(3)问均分四边形面积，可先将四边形拆分为两个共对角线的三角形，再利用中线分三角形面积相等的性质，取对角线中点连接另外两个顶点，即可将四边形分为面积相等的两部分。
【解析】
(1) 已知点D是BC中点，根据三角形中线的性质，中线将三角形分为面积相等的两部分，因此$S_{△ABD}=\frac{1}{2}S_{△ABC}$，代入$S_{△ABC}=6$，即可算出$S_{△ABD}$的大小。
(2) 取CD中点E，连接AE，此时CE=DE，△ACE和△ADE等底等高，面积相等；结合CD=2BD可得BD=DE=CE，因此△ABD、△ADE、△ACE三个三角形等底等高，面积均相等，即可推出△ABD和△ABC的面积比值。
(3) 连接对角线BD，取BD中点E，连接AE、CE：AE是△ABD的中线，因此将△ABD分为面积相等的两部分；CE是△BCD的中线，因此将△BCD分为面积相等的两部分，两部分相加即可得到面积相等的两个四边形。
【答案】
(1) $\boxed{3}$
(2) 如图③,取CD的中点E,连接AE,则$CE=DE$,$\therefore S_{△ ACE}=S_{△ ADE}$.$\because CD=2BD$,$\therefore DE=BD=CE$,$\therefore S_{△ ACE}=S_{△ ADE}=S_{△ ABD}$,$\therefore \frac{S_{△ ABD}}{S_{△ ABC}}=\frac{1}{3}$.
(3) 如图④,连接BD,取BD中点E,连接AE,CE,则$S_{△ ADE}=S_{△ ABE}$,$S_{△ CDE}=S_{△ CBE}$,$\therefore S_{△ ADE}+S_{△ CDE}=S_{△ ABE}+S_{△ CBE}$,即$S_{四边形ADCE}=S_{四边形ABCE}$,$\therefore$ 四边形ABCD的面积被平均分成两份.
【知识点】
三角形中线的面积性质；等底等高三角形面积相等；四边形面积分割
【点评】
本题以三角形中线分等面积的基础结论为载体，由浅入深设置问题，既考查了对三角形面积公式的理解应用，也考查了转化思想在几何面积问题中的运用，能有效提升逻辑推理能力和动手作图能力。
【难度系数】
0.7
本题围绕“等底等高的三角形面积相等”这一核心规律展开解题：
1. 第(1)问直接应用三角形中线将三角形分成面积相等的两部分的结论，代入已知的△ABC面积即可求解；
2. 第(2)问已知CD=2BD，可通过将CD拆分为两段与BD长度相等的线段，得到三个底相等、高相同的三角形，其面积相等，进而求出面积比值；
3. 第(3)问均分四边形面积，可先将四边形拆分为两个共对角线的三角形，再利用中线分三角形面积相等的性质，取对角线中点连接另外两个顶点，即可将四边形分为面积相等的两部分。
【解析】
(1) 已知点D是BC中点，根据三角形中线的性质，中线将三角形分为面积相等的两部分，因此$S_{△ABD}=\frac{1}{2}S_{△ABC}$，代入$S_{△ABC}=6$，即可算出$S_{△ABD}$的大小。
(2) 取CD中点E，连接AE，此时CE=DE，△ACE和△ADE等底等高，面积相等；结合CD=2BD可得BD=DE=CE，因此△ABD、△ADE、△ACE三个三角形等底等高，面积均相等，即可推出△ABD和△ABC的面积比值。
(3) 连接对角线BD，取BD中点E，连接AE、CE：AE是△ABD的中线，因此将△ABD分为面积相等的两部分；CE是△BCD的中线，因此将△BCD分为面积相等的两部分，两部分相加即可得到面积相等的两个四边形。
【答案】
(1) $\boxed{3}$
(2) 如图③,
取CD的中点E,连接AE,则$CE=DE$,$\therefore S_{△ ACE}=S_{△ ADE}$.$\because CD=2BD$,$\therefore DE=BD=CE$,$\therefore S_{△ ACE}=S_{△ ADE}=S_{△ ABD}$,$\therefore \frac{S_{△ ABD}}{S_{△ ABC}}=\frac{1}{3}$.(3) 如图④,
连接BD,取BD中点E,连接AE,CE,则$S_{△ ADE}=S_{△ ABE}$,$S_{△ CDE}=S_{△ CBE}$,$\therefore S_{△ ADE}+S_{△ CDE}=S_{△ ABE}+S_{△ CBE}$,即$S_{四边形ADCE}=S_{四边形ABCE}$,$\therefore$ 四边形ABCD的面积被平均分成两份.【知识点】
三角形中线的面积性质；等底等高三角形面积相等；四边形面积分割
【点评】
本题以三角形中线分等面积的基础结论为载体，由浅入深设置问题，既考查了对三角形面积公式的理解应用，也考查了转化思想在几何面积问题中的运用，能有效提升逻辑推理能力和动手作图能力。
【难度系数】
0.7
