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18 AI 名师编审 新素材 (6分)在2026年米兰-科尔蒂纳冬奥会上,中国自由式滑雪空中技巧队斩获2金3铜.某地区也开展了滑雪比赛,如图,一架无人机在滑雪赛道的一段坡道AB的上方进行跟踪拍摄,无人机伴随运动员水平向右飞行.某次拍摄中,当运动员在点A位置时,无人机在他的仰角为45°的斜上方C处,当运动员到达地面B点时,无人机恰好到达运动员正上方的D处,已知AB的坡度为1:$\sqrt{3}$且长为300米,无人机飞行距离CD为60米,求无人机离地面的高度BD.(参考数据:$\sqrt{3}$≈1.7)
答案
18. 【解】过A点作地面的垂线，交地面于点E，过点C作 $CG ⊥ AF$ 于点G，如图
.∵ AB 的坡度为 $1:\sqrt{3}$，
∴ $\frac{AE}{BE} = \frac{1}{\sqrt{3}}$. 设 $AE=x$ 米，则 $BE=\sqrt{3}x$ 米. 由勾股定理可得 $AB=\sqrt{AE^2+BE^2}=2x$ 米，
∴ $2x=300$，解得 $x=150$，
∴ 易得 $AE=BF=150$ 米，$BE=AF=150\sqrt{3}$ 米.
∵ $CD=FG=60$ 米，
∴ $AG=AF-FG=(150\sqrt{3}-60)$ 米. 在 $\mathrm{Rt}△ ACG$ 中，$∠ CAG=45°$，
∴ $AG=CG=(150\sqrt{3}-60)$ 米，
∴ $DF=CG=(150\sqrt{3}-60)$ 米，
∴ $BD=DF+BF=150\sqrt{3}+90 \approx 345$(米). 答：无人机离地面的高度 $BD$ 约为 345 米.
解析
【分析】
解决这道实际应用题需通过构造直角三角形转化已知条件：首先处理坡道AB，已知AB的坡度和长度，我们过A作地面的垂线AE，结合坡度的含义设未知数，用勾股定理即可求出AE、BE的长度，同时得到水平线段AF、竖直线段BF的长度；再根据无人机水平飞行的特点，CD为水平线段，过C作CG垂直于过A的水平线AF，得到Rt△ACG，由仰角45°可知该三角形为等腰直角三角形，结合已知的CD长度可求出AG、CG的长度；最后明确BD由DF和BF两段组成，其中DF=CG，BF=AE，代入数值计算即可得到BD的高度。
【解析】
过A点作地面的垂线，交地面于点E，过点C作 $CG ⊥ AF$ 于点G，如图。
∵ AB 的坡度为 $1:\sqrt{3}$，
∴ $\frac{AE}{BE} = \frac{1}{\sqrt{3}}$。设 $AE=x$ 米，则 $BE=\sqrt{3}x$ 米，由勾股定理可得 $AB=\sqrt{AE^2+BE^2}=2x$ 米，
∴ $2x=300$，解得 $x=150$，
∴ $AE=BF=150$ 米，$BE=AF=150\sqrt{3}$ 米。
∵ 无人机水平向右飞行，CD为水平线段，故 $CD=FG=60$ 米，
∴ $AG=AF-FG=(150\sqrt{3}-60)$ 米。
在 $\mathrm{Rt}△ ACG$ 中，$∠ CAG=45°$，
∴ $AG=CG=(150\sqrt{3}-60)$ 米，
又
∵ $DF=CG$，
∴ $BD=DF+BF=150\sqrt{3}-60+150=150\sqrt{3}+90 \approx 150×1.7+90=345$（米）。
【答案】
无人机离地面的高度BD约为345米。
【知识点】
解直角三角形应用、勾股定理、等腰直角三角形性质
【点评】
本题以冬奥会滑雪赛事为背景命题，将坡度、仰角等知识点融入实际问题，既考查了学生构造辅助线、梳理线段关系解决实际问题的能力，也体现了数学与生活的紧密联系。
【难度系数】
0.65
解决这道实际应用题需通过构造直角三角形转化已知条件：首先处理坡道AB，已知AB的坡度和长度，我们过A作地面的垂线AE，结合坡度的含义设未知数，用勾股定理即可求出AE、BE的长度，同时得到水平线段AF、竖直线段BF的长度；再根据无人机水平飞行的特点，CD为水平线段，过C作CG垂直于过A的水平线AF，得到Rt△ACG，由仰角45°可知该三角形为等腰直角三角形，结合已知的CD长度可求出AG、CG的长度；最后明确BD由DF和BF两段组成，其中DF=CG，BF=AE，代入数值计算即可得到BD的高度。
【解析】
过A点作地面的垂线，交地面于点E，过点C作 $CG ⊥ AF$ 于点G，如图
。∵ AB 的坡度为 $1:\sqrt{3}$，
∴ $\frac{AE}{BE} = \frac{1}{\sqrt{3}}$。设 $AE=x$ 米，则 $BE=\sqrt{3}x$ 米，由勾股定理可得 $AB=\sqrt{AE^2+BE^2}=2x$ 米，
∴ $2x=300$，解得 $x=150$，
∴ $AE=BF=150$ 米，$BE=AF=150\sqrt{3}$ 米。
∵ 无人机水平向右飞行，CD为水平线段，故 $CD=FG=60$ 米，
∴ $AG=AF-FG=(150\sqrt{3}-60)$ 米。
在 $\mathrm{Rt}△ ACG$ 中，$∠ CAG=45°$，
∴ $AG=CG=(150\sqrt{3}-60)$ 米，
又
∵ $DF=CG$，
∴ $BD=DF+BF=150\sqrt{3}-60+150=150\sqrt{3}+90 \approx 150×1.7+90=345$（米）。
【答案】
无人机离地面的高度BD约为345米。
【知识点】
解直角三角形应用、勾股定理、等腰直角三角形性质
【点评】
本题以冬奥会滑雪赛事为背景命题，将坡度、仰角等知识点融入实际问题，既考查了学生构造辅助线、梳理线段关系解决实际问题的能力，也体现了数学与生活的紧密联系。
【难度系数】
0.65
19(8分)[2025安徽亳州质检]观察如下四个图形,并根据图中规律回答相关问题.
在图(1)中,D是△ABC中AB边的二等分点,图(2)中D,E是AB边的三等分点,图(3)中D,E,F是AB边的四等分点,…,图(4)中D,E,F,G,…是AB边的n等分点,过各等分点的线段与底边BC平行.设△ABC的面积为S,过各等分点与底边平行的线段分三角形各部分的面积分别为$S_1,S_2,S_3,\dots,S_n$,由两个相似三角形的面积比等于相似比的平方可得如下结论:
①D是AB边的二等分点:$S_2=\frac{2^2 -1^2}{2^2}S$;
②D,E是AB边的三等分点:$S_3=\frac{3^2 -2^2}{3^2}S$;
③D,E,F是AB边的四等分点:$S_4=\frac{4^2 -3^2}{4^2}S$;
……
按照以上规律,解决下列问题:
(1)写出第④个等式:$S_5=$
(2)请你猜想出$S_n$的结果(用含n的式子表示),并验证你的猜想.
在图(1)中,D是△ABC中AB边的二等分点,图(2)中D,E是AB边的三等分点,图(3)中D,E,F是AB边的四等分点,…,图(4)中D,E,F,G,…是AB边的n等分点,过各等分点的线段与底边BC平行.设△ABC的面积为S,过各等分点与底边平行的线段分三角形各部分的面积分别为$S_1,S_2,S_3,\dots,S_n$,由两个相似三角形的面积比等于相似比的平方可得如下结论:
①D是AB边的二等分点:$S_2=\frac{2^2 -1^2}{2^2}S$;
②D,E是AB边的三等分点:$S_3=\frac{3^2 -2^2}{3^2}S$;
③D,E,F是AB边的四等分点:$S_4=\frac{4^2 -3^2}{4^2}S$;
……
按照以上规律,解决下列问题:
(1)写出第④个等式:$S_5=$
$\frac{5^2-4^2}{5^2}S$
.(2)请你猜想出$S_n$的结果(用含n的式子表示),并验证你的猜想.
答案
19. 【解】(1)$S_5=\frac{5^2-4^2}{5^2}S$，故答案为 $\frac{5^2-4^2}{5^2}S$. (2)猜想：$S_n=\frac{2n-1}{n^2}S$. 验证：如题图(4)中，$D,E,F,G,\dots$ 是 $AB$ 边的 $n$ 等分点，过各等分点的线段与底边 $BC$ 平行，则各三角形的相似比为 $1:2:3:\dots:(n-1):n$，
∴ 面积比为 $1^2:2^2:3^2:\dots:(n-1)^2:n^2$，
∴ $S_n=\frac{n^2-(n-1)^2}{n^2}S = \frac{2n-1}{n^2}S$.
∴ 面积比为 $1^2:2^2:3^2:\dots:(n-1)^2:n^2$，
∴ $S_n=\frac{n^2-(n-1)^2}{n^2}S = \frac{2n-1}{n^2}S$.
解析
【分析】
解决第(1)问时，先观察已知等式的共性规律：二等分点对应$S_2$的分子为$2^2-1^2$、分母为$2^2$，三等分点对应$S_3$的分子为$3^2-2^2$、分母为$3^2$，四等分点对应$S_4$的分子为$4^2-3^2$、分母为$4^2$，由此可直接推导五等分点对应的$S_5$的表达式。
第(2)问先根据前几个等式的规律猜想$S_n$的表达式，再结合相似三角形的性质验证：n等分AB时，各平行于BC的线段截得的小三角形与$△ ABC$的相似比依次为$1:n,2:n,\dots,(n-1):n$，面积比为相似比的平方，$S_n$为大三角形面积减去第$(n-1)$个小三角形的面积，化简代数式即可验证猜想。
【解析】
(1) 根据已知等式的规律，第k个等分情况对应的$S_{k+1}$表达式为$\frac{(k+1)^2-k^2}{(k+1)^2}S$，因此第④个五等分情况对应：
$S_5=\frac{5^2-4^2}{5^2}S$
(2) 猜想：$S_n=\frac{2n-1}{n^2}S$。
验证过程：
∵ D、E、F、G…是AB边的n等分点，且过各等分点的线段与BC平行，
∴ 截得的各小三角形与$△ ABC$的相似比依次为$1:2:3:\dots:(n-1):n$，
根据相似三角形面积比等于相似比的平方，可得各小三角形与$△ ABC$的面积比为$1^2:2^2:3^2:\dots:(n-1)^2:n^2$，
因此第n部分面积为大三角形面积减去从上往下第$(n-1)$个小三角形的面积，即：
$S_n=\frac{n^2-(n-1)^2}{n^2}S$
化简分子：$n^2-(n-1)^2=n^2-(n^2-2n+1)=2n-1$，
即$S_n=\frac{2n-1}{n^2}S$，猜想成立。
【答案】
(1) $\frac{5^2-4^2}{5^2}S$
(2) $S_n=\frac{2n-1}{n^2}S$，验证如上
【知识点】
相似三角形的性质、规律探究、整式化简
【点评】
本题结合相似三角形知识考查规律探究能力，解题时先从特殊案例归纳共性规律，再用基础性质验证猜想，既考查对相似三角形知识点的掌握程度，也锻炼归纳推理的思维能力。
【难度系数】
0.7
解决第(1)问时，先观察已知等式的共性规律：二等分点对应$S_2$的分子为$2^2-1^2$、分母为$2^2$，三等分点对应$S_3$的分子为$3^2-2^2$、分母为$3^2$，四等分点对应$S_4$的分子为$4^2-3^2$、分母为$4^2$，由此可直接推导五等分点对应的$S_5$的表达式。
第(2)问先根据前几个等式的规律猜想$S_n$的表达式，再结合相似三角形的性质验证：n等分AB时，各平行于BC的线段截得的小三角形与$△ ABC$的相似比依次为$1:n,2:n,\dots,(n-1):n$，面积比为相似比的平方，$S_n$为大三角形面积减去第$(n-1)$个小三角形的面积，化简代数式即可验证猜想。
【解析】
(1) 根据已知等式的规律，第k个等分情况对应的$S_{k+1}$表达式为$\frac{(k+1)^2-k^2}{(k+1)^2}S$，因此第④个五等分情况对应：
$S_5=\frac{5^2-4^2}{5^2}S$
(2) 猜想：$S_n=\frac{2n-1}{n^2}S$。
验证过程：
∵ D、E、F、G…是AB边的n等分点，且过各等分点的线段与BC平行，
∴ 截得的各小三角形与$△ ABC$的相似比依次为$1:2:3:\dots:(n-1):n$，
根据相似三角形面积比等于相似比的平方，可得各小三角形与$△ ABC$的面积比为$1^2:2^2:3^2:\dots:(n-1)^2:n^2$，
因此第n部分面积为大三角形面积减去从上往下第$(n-1)$个小三角形的面积，即：
$S_n=\frac{n^2-(n-1)^2}{n^2}S$
化简分子：$n^2-(n-1)^2=n^2-(n^2-2n+1)=2n-1$，
即$S_n=\frac{2n-1}{n^2}S$，猜想成立。
【答案】
(1) $\frac{5^2-4^2}{5^2}S$
(2) $S_n=\frac{2n-1}{n^2}S$，验证如上
【知识点】
相似三角形的性质、规律探究、整式化简
【点评】
本题结合相似三角形知识考查规律探究能力，解题时先从特殊案例归纳共性规律，再用基础性质验证猜想，既考查对相似三角形知识点的掌握程度，也锻炼归纳推理的思维能力。
【难度系数】
0.7
20(8分)[2025安徽合肥庐阳区校级质检]某药厂销售部门根据市场调研结果,对该厂生产的一种新型药品未来两年的销售情况进行预测,发现月销售量P(吨)与t(月)的函数关系式如下: $P=\begin{cases}\dfrac{k}{t+4}&(0≤ t≤8),\\mt+n&(8＜ t≤24),\end{cases}$ 且P关于t的函数图象如图所示.
(1)根据图象求P与t之间的函数关系式;
(2)预测月销售量不低于15吨有
(3)若该药品每吨的利润Q(万元)与t(月)之间满足如下关系: $Q=\begin{cases}2t+8&(0≤ t≤12),\\-t+44&(12＜ t≤24),\end{cases}$ 预测药厂未来两年的月最大利润.
(1)根据图象求P与t之间的函数关系式;
(2)预测月销售量不低于15吨有
15
个月;(3)若该药品每吨的利润Q(万元)与t(月)之间满足如下关系: $Q=\begin{cases}2t+8&(0≤ t≤12),\\-t+44&(12＜ t≤24),\end{cases}$ 预测药厂未来两年的月最大利润.
答案
20. 【解】(1)当 $0 ≤ t ≤ 8$ 时，$P=\frac{k}{t+4}$，将 $A(8,10)$ 代入，得 $\frac{k}{8+4}=10$，解得 $k=120$，
∴ $P=\frac{120}{t+4}(0 ≤ t ≤ 8)$；当 $8＜t ≤ 24$ 时，$P=mt+n$，将 $A(8,10)$，$B(24,26)$ 代入，得 $\begin{cases}8m+n=10, \\24m+n=26,\end{cases}$ 解得 $\begin{cases}m=1, \\n=2,\end{cases}$
∴ $P=t+2(8＜t ≤ 24)$，
∴ $P=\begin{cases}\frac{120}{t+4}(0 ≤ t ≤ 8), \\t+2(8＜t ≤ 24).\end{cases}$ (2)将 $P=15$ 代入 $P=\frac{120}{t+4}(0 ≤ t ≤ 8)$，得 $15=\frac{120}{t+4}$，解得 $t=4$；将 $P=15$ 代入 $P=t+2(8＜t ≤ 24)$，得 $15=t+2$，解得 $t=13$，则 $24-13+4=15$，
∴ 预测月销售量不低于 15 吨有 15 个月. 故答案为 15. (3)设月利润为 $w$ 万元，当 $0＜t ≤ 8$ 时，$w=P × Q=(2t+8) × \frac{120}{t+4}=240$；当 $8＜t ≤ 12$ 时，$w=P × Q=(2t+8)(t+2)=2t^2+12t+16$；当 $12＜t ≤ 24$ 时，$w=P × Q=(-t+44)(t+2) = -t^2+42t+88$. 当 $0＜t ≤ 8$ 时，$w$ 的值始终是 240；当 $8＜t ≤ 12$ 时，$w=2t^2+12t+16=2(t+3)^2-2$，当 $t=12$ 时，$w$ 取得最大值 448；当 $12＜t ≤ 24$ 时，$w=-t^2+42t+88=-(t-21)^2+529$，当 $t=21$ 时，$w$ 取得最大值 529. 综上，药厂未来两年的月最大利润为 529 万元.
∴ $P=\frac{120}{t+4}(0 ≤ t ≤ 8)$；当 $8＜t ≤ 24$ 时，$P=mt+n$，将 $A(8,10)$，$B(24,26)$ 代入，得 $\begin{cases}8m+n=10, \\24m+n=26,\end{cases}$ 解得 $\begin{cases}m=1, \\n=2,\end{cases}$
∴ $P=t+2(8＜t ≤ 24)$，
∴ $P=\begin{cases}\frac{120}{t+4}(0 ≤ t ≤ 8), \\t+2(8＜t ≤ 24).\end{cases}$ (2)将 $P=15$ 代入 $P=\frac{120}{t+4}(0 ≤ t ≤ 8)$，得 $15=\frac{120}{t+4}$，解得 $t=4$；将 $P=15$ 代入 $P=t+2(8＜t ≤ 24)$，得 $15=t+2$，解得 $t=13$，则 $24-13+4=15$，
∴ 预测月销售量不低于 15 吨有 15 个月. 故答案为 15. (3)设月利润为 $w$ 万元，当 $0＜t ≤ 8$ 时，$w=P × Q=(2t+8) × \frac{120}{t+4}=240$；当 $8＜t ≤ 12$ 时，$w=P × Q=(2t+8)(t+2)=2t^2+12t+16$；当 $12＜t ≤ 24$ 时，$w=P × Q=(-t+44)(t+2) = -t^2+42t+88$. 当 $0＜t ≤ 8$ 时，$w$ 的值始终是 240；当 $8＜t ≤ 12$ 时，$w=2t^2+12t+16=2(t+3)^2-2$，当 $t=12$ 时，$w$ 取得最大值 448；当 $12＜t ≤ 24$ 时，$w=-t^2+42t+88=-(t-21)^2+529$，当 $t=21$ 时，$w$ 取得最大值 529. 综上，药厂未来两年的月最大利润为 529 万元.
解析
【分析】
(1) 求分段函数解析式采用待定系数法：当$0≤t≤8$时，函数为反比例型，将点$A(8,10)$代入即可求出参数$k$；当$8＜t≤24$时，函数为一次函数，将$A(8,10)$和$B(24,26)$两点代入联立二元一次方程组，解出$m、n$即可得到解析式。
(2) 月销售量不低于15吨即$P≥15$，分别在两个分段函数中令$P=15$，求出对应的临界$t$值，得到符合条件的$t$的区间，计算区间覆盖的总月数即可。
(3) 月利润$w=P×Q$，需结合$P$和$Q$的分段节点，将$t$划分为$0≤t≤8$、$8＜t≤12$、$12＜t≤24$三个范围，分别推导每个范围内$w$的函数表达式，再结合函数的增减性或配方求各段的最大值，最后比较三个最大值得到全局最大月利润。
【解析】
(1) 当 $0 ≤ t ≤ 8$ 时，将 $A(8,10)$ 代入 $P=\frac{k}{t+4}$，得 $\frac{k}{8+4}=10$，解得 $k=120$，
$\therefore P=\frac{120}{t+4}(0 ≤ t ≤ 8)$；
当 $8＜t ≤ 24$ 时，将 $A(8,10)$、$B(24,26)$ 代入 $P=mt+n$，得
$\begin{cases}8m+n=10 \\24m+n=26\end{cases}$，解得 $\begin{cases}m=1 \\n=2\end{cases}$，
$\therefore P=t+2(8＜t ≤ 24)$，
综上，$P$与$t$的函数关系式为$P=\begin{cases}\frac{120}{t+4}(0 ≤ t ≤ 8) \\t+2(8＜t ≤ 24)\end{cases}$。
(2) 令$P=15$：
当 $0 ≤ t ≤ 8$ 时，$15=\frac{120}{t+4}$，解得$t=4$，即$0≤t≤4$时$P≥15$；
当 $8＜t ≤ 24$ 时，$15=t+2$，解得$t=13$，即$13≤t≤24$时$P≥15$；
总月数为$4+(24-13+1)=15$个月。
(3) 设月利润为$w$万元：
①当 $0 ≤ t ≤ 8$ 时，$w=P×Q=\frac{120}{t+4}×(2t+8)=\frac{240(t+4)}{t+4}=240$，此时$w$恒为240万元；
②当 $8＜t ≤ 12$ 时，$w=(t+2)(2t+8)=2t^2+12t+16$，配方得$w=2(t+3)^2-2$，
$\because 2＞0$，抛物线开口向上，对称轴为$t=-3$，在$8＜t≤12$范围内$w$随$t$增大而增大，
$\therefore$当$t=12$时，$w$取得最大值，$w_{max}=2×(12+3)^2-2=448$万元；
③当 $12＜t ≤ 24$ 时，$w=(t+2)(-t+44)=-t^2+42t+88$，配方得$w=-(t-21)^2+529$，
$\because -1＜0$，抛物线开口向下，对称轴为$t=21$，在$12＜t≤24$范围内，$t=21$时$w$取最大值529万元。
比较240、448、529，可得最大月利润为529万元。
【答案】
(1) $P=\begin{cases}\frac{120}{t+4}(0 ≤ t ≤ 8) \\t+2(8＜t ≤ 24)\end{cases}$
(2) $\boxed{15}$
(3) $\boxed{529}$万元
【知识点】
待定系数法求解析式，分段函数应用，二次函数的最值
【点评】
本题以实际销售场景为载体，综合考查了反比例函数、一次函数、二次函数的应用，解题时需注意根据自变量的分段范围选择对应函数表达式，求最值时要结合函数性质和自变量取值范围判断，最后需比较各段最值得到最终结果，易错点为分段边界值的处理。
【难度系数】
0.65
(1) 求分段函数解析式采用待定系数法：当$0≤t≤8$时，函数为反比例型，将点$A(8,10)$代入即可求出参数$k$；当$8＜t≤24$时，函数为一次函数，将$A(8,10)$和$B(24,26)$两点代入联立二元一次方程组，解出$m、n$即可得到解析式。
(2) 月销售量不低于15吨即$P≥15$，分别在两个分段函数中令$P=15$，求出对应的临界$t$值，得到符合条件的$t$的区间，计算区间覆盖的总月数即可。
(3) 月利润$w=P×Q$，需结合$P$和$Q$的分段节点，将$t$划分为$0≤t≤8$、$8＜t≤12$、$12＜t≤24$三个范围，分别推导每个范围内$w$的函数表达式，再结合函数的增减性或配方求各段的最大值，最后比较三个最大值得到全局最大月利润。
【解析】
(1) 当 $0 ≤ t ≤ 8$ 时，将 $A(8,10)$ 代入 $P=\frac{k}{t+4}$，得 $\frac{k}{8+4}=10$，解得 $k=120$，
$\therefore P=\frac{120}{t+4}(0 ≤ t ≤ 8)$；
当 $8＜t ≤ 24$ 时，将 $A(8,10)$、$B(24,26)$ 代入 $P=mt+n$，得
$\begin{cases}8m+n=10 \\24m+n=26\end{cases}$，解得 $\begin{cases}m=1 \\n=2\end{cases}$，
$\therefore P=t+2(8＜t ≤ 24)$，
综上，$P$与$t$的函数关系式为$P=\begin{cases}\frac{120}{t+4}(0 ≤ t ≤ 8) \\t+2(8＜t ≤ 24)\end{cases}$。
(2) 令$P=15$：
当 $0 ≤ t ≤ 8$ 时，$15=\frac{120}{t+4}$，解得$t=4$，即$0≤t≤4$时$P≥15$；
当 $8＜t ≤ 24$ 时，$15=t+2$，解得$t=13$，即$13≤t≤24$时$P≥15$；
总月数为$4+(24-13+1)=15$个月。
(3) 设月利润为$w$万元：
①当 $0 ≤ t ≤ 8$ 时，$w=P×Q=\frac{120}{t+4}×(2t+8)=\frac{240(t+4)}{t+4}=240$，此时$w$恒为240万元；
②当 $8＜t ≤ 12$ 时，$w=(t+2)(2t+8)=2t^2+12t+16$，配方得$w=2(t+3)^2-2$，
$\because 2＞0$，抛物线开口向上，对称轴为$t=-3$，在$8＜t≤12$范围内$w$随$t$增大而增大，
$\therefore$当$t=12$时，$w$取得最大值，$w_{max}=2×(12+3)^2-2=448$万元；
③当 $12＜t ≤ 24$ 时，$w=(t+2)(-t+44)=-t^2+42t+88$，配方得$w=-(t-21)^2+529$，
$\because -1＜0$，抛物线开口向下，对称轴为$t=21$，在$12＜t≤24$范围内，$t=21$时$w$取最大值529万元。
比较240、448、529，可得最大月利润为529万元。
【答案】
(1) $P=\begin{cases}\frac{120}{t+4}(0 ≤ t ≤ 8) \\t+2(8＜t ≤ 24)\end{cases}$
(2) $\boxed{15}$
(3) $\boxed{529}$万元
【知识点】
待定系数法求解析式，分段函数应用，二次函数的最值
【点评】
本题以实际销售场景为载体，综合考查了反比例函数、一次函数、二次函数的应用，解题时需注意根据自变量的分段范围选择对应函数表达式，求最值时要结合函数性质和自变量取值范围判断，最后需比较各段最值得到最终结果，易错点为分段边界值的处理。
【难度系数】
0.65
