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10 如图,在平面直角坐标系中,菱形ABCD的边长为4,且点A与原点O重合,边AD在x轴上,点B的横坐标为-2,现将菱形ABCD沿x轴以每秒1个单位长度的速度向右平移,设平移时间为t(秒),菱形ABCD位于y轴右侧部分的面积为S,则S关于t的函数图象大致为 (
A
)答案
10. A 【解析】过点 $B$ 作 $x$ 轴的垂线，垂足为点 $E$.
∵ 菱形 $ABCD$ 的边长为 4，且点 $A$ 与原点 $O$ 重合，边 $AD$ 在 $x$ 轴上，点 $B$ 的横坐标为 $-2$，
∴ $OE=2$，$OB=4$，
∴ $∠ OBE=30°$，
∴ $∠ BOE=60°$，$BE=2\sqrt{3}$. 当 $t=0$ 时，$S=0$. 当 $0＜t ≤ 2$ 时，如图
所示. 由题意得 $OA=t$，则 $OF=\sqrt{3}t$，∴ $S=S_{△ AFO} = \frac{1}{2}OA · OF = \frac{1}{2} × t × \sqrt{3}t = \frac{\sqrt{3}}{2}t^2$. 当 $2＜t＜4$ 时，如图
所示.∵ $OA=t$，$AE=2$，
∴ $OE=t-2$，
∴ $S=S_{△ ABE} + S_{\mathrm{矩形}OEBC} = \frac{1}{2}AE · BE + BE · OE = \frac{1}{2} × 2 × 2\sqrt{3} + 2\sqrt{3}(t-2) = 2\sqrt{3}t - 2\sqrt{3}$. 当 $4 ≤ t ＜ 6$ 时，如图
所示.∵ $∠ KDO = ∠ C = 60°$，$OD=OA-AD=t-4$，
∴ $OK=\sqrt{3}(t-4)$.
∵ $HO=BE=2\sqrt{3}$，
∴ $HK=HO-OK=2\sqrt{3}-\sqrt{3}(t-4) = -\sqrt{3}t + 6\sqrt{3}$.
∵ $HB=OE=OA-AE=t-2$，
∴ $CH=BC-HB=4-(t-2) = -t+6$，
∴ $S=S_{\mathrm{菱形}ABCD} - S_{△ CHK} = AD · BE - \frac{1}{2}CH · HK = 4 × 2\sqrt{3} - \frac{1}{2}(-t+6) · (-\sqrt{3}t + 6\sqrt{3}) = 8\sqrt{3} - ( \frac{\sqrt{3}}{2}t^2 - 6\sqrt{3}t + 18\sqrt{3} ) = -\frac{\sqrt{3}}{2}t^2 + 6\sqrt{3}t - 10\sqrt{3}$. 当 $t ≥ 6$ 时，$S=S_{\mathrm{菱形}ABCD} = AD · BE = 8\sqrt{3}$. 综上所述，$S=\begin{cases}\frac{\sqrt{3}}{2}t^2(0 ≤ t ≤ 2), \\2\sqrt{3}t - 2\sqrt{3}(2 ＜ t ＜ 4), \\-\frac{\sqrt{3}}{2}t^2 + 6\sqrt{3}t - 10\sqrt{3}(4 ≤ t ＜ 6), \\8\sqrt{3}(t ≥ 6),\end{cases}$ 观察各选项，只有 A 选项符合，故选 A.
解析
【分析】
本题是菱形平移过程中y轴右侧部分面积的函数图像判断问题，解题思路如下：第一步先求菱形的基本参数：过B作x轴垂线，利用菱形边长和B的横坐标求出菱形内角、高，计算出菱形总面积；第二步按平移时间t的不同范围分阶段讨论：①t在0到2秒时，y轴右侧是直角三角形，面积是关于t的开口向上的二次函数；②t在2到4秒时，y轴右侧是矩形加三角形，面积是关于t的单调递增的一次函数；③t在4到6秒时，y轴右侧面积为菱形总面积减去左侧小三角形的面积，是关于t的开口向下的二次函数；④t≥6秒时，菱形全部位于y轴右侧，面积为定值。最后根据各段函数的性质匹配对应图像即可。
【解析】
过点 $B$ 作 $x$ 轴的垂线，垂足为点 $E$.
∵ 菱形 $ABCD$ 的边长为 4，且点 $A$ 与原点 $O$ 重合，边 $AD$ 在 $x$ 轴上，点 $B$ 的横坐标为 $-2$，
∴ $OE=2$，$AB=4$，
∴ 在$Rt△ ABE$中，$AE=2$，$AB=4$，故$∠ABE=30°$，
∴ $∠BAE=60°$，$BE=2\sqrt{3}$，菱形ABCD的面积为$4×2\sqrt{3}=8\sqrt{3}$。
当 $t=0$ 时，$S=0$。
当 $0＜t ≤ 2$ 时，如图所示，由题意得 $OA=t$，$∠OAF=∠BAE=60°$，则 $OF=t·\tan60°=\sqrt{3}t$，
∴ $S=S_{△ AFO} = \frac{1}{2}OA · OF = \frac{1}{2} × t × \sqrt{3}t = \frac{\sqrt{3}}{2}t^2$，是开口向上的二次函数。
当 $2＜t＜4$ 时，如图所示，
∵ $OA=t$，$AE=2$，
∴ $OE=t-2$，
∴ $S=S_{△ ABE} + S_{\mathrm{矩形}OEBC} = \frac{1}{2}AE · BE + BE · OE = \frac{1}{2} × 2 × 2\sqrt{3} + 2\sqrt{3}(t-2) = 2\sqrt{3}t - 2\sqrt{3}$，是斜率为正的一次函数。
当 $4 ≤ t ＜ 6$ 时，如图所示，
∵ $∠KDO = ∠ADC = 60°$，$OD=OA-AD=t-4$，
∴ $OK=OD·\tan60°=\sqrt{3}(t-4)$，
∵ $HO=BE=2\sqrt{3}$，
∴ $HK=HO-OK=2\sqrt{3}-\sqrt{3}(t-4) = -\sqrt{3}t + 6\sqrt{3}$，
∵ $HB=OE=OA-AE=t-2$，
∴ $CH=BC-HB=4-(t-2) = -t+6$，
∴ $S=S_{\mathrm{菱形}ABCD} - S_{△ CHK} = 8\sqrt{3} - \frac{1}{2}CH · HK = 8\sqrt{3} - \frac{1}{2}(-t+6) · (-\sqrt{3}t + 6\sqrt{3}) = -\frac{\sqrt{3}}{2}t^2 + 6\sqrt{3}t - 10\sqrt{3}$，是开口向下的二次函数。
当 $t ≥ 6$ 时，菱形全部平移到y轴右侧，$S=S_{\mathrm{菱形}ABCD} = 8\sqrt{3}$，为定值。
综上所述，S的函数图像依次为开口向上的抛物线一段、上升的直线一段、开口向下的抛物线一段、水平直线一段，观察各选项，只有A选项符合。
【答案】
A
【知识点】
菱形的性质，图形的平移，分段函数
【点评】
本题是动态几何与函数图像结合的典型题型，考查了分类讨论思想和数形结合思想，解题关键是根据平移过程中y轴右侧图形的形状变化正确划分阶段，分别求出各阶段的面积函数表达式，再结合函数性质判断图像。
【难度系数】
0.6
本题是菱形平移过程中y轴右侧部分面积的函数图像判断问题，解题思路如下：第一步先求菱形的基本参数：过B作x轴垂线，利用菱形边长和B的横坐标求出菱形内角、高，计算出菱形总面积；第二步按平移时间t的不同范围分阶段讨论：①t在0到2秒时，y轴右侧是直角三角形，面积是关于t的开口向上的二次函数；②t在2到4秒时，y轴右侧是矩形加三角形，面积是关于t的单调递增的一次函数；③t在4到6秒时，y轴右侧面积为菱形总面积减去左侧小三角形的面积，是关于t的开口向下的二次函数；④t≥6秒时，菱形全部位于y轴右侧，面积为定值。最后根据各段函数的性质匹配对应图像即可。
【解析】
过点 $B$ 作 $x$ 轴的垂线，垂足为点 $E$.
∵ 菱形 $ABCD$ 的边长为 4，且点 $A$ 与原点 $O$ 重合，边 $AD$ 在 $x$ 轴上，点 $B$ 的横坐标为 $-2$，
∴ $OE=2$，$AB=4$，
∴ 在$Rt△ ABE$中，$AE=2$，$AB=4$，故$∠ABE=30°$，
∴ $∠BAE=60°$，$BE=2\sqrt{3}$，菱形ABCD的面积为$4×2\sqrt{3}=8\sqrt{3}$。
当 $t=0$ 时，$S=0$。
当 $0＜t ≤ 2$ 时，如图
所示，由题意得 $OA=t$，$∠OAF=∠BAE=60°$，则 $OF=t·\tan60°=\sqrt{3}t$，∴ $S=S_{△ AFO} = \frac{1}{2}OA · OF = \frac{1}{2} × t × \sqrt{3}t = \frac{\sqrt{3}}{2}t^2$，是开口向上的二次函数。
当 $2＜t＜4$ 时，如图
所示，∵ $OA=t$，$AE=2$，
∴ $OE=t-2$，
∴ $S=S_{△ ABE} + S_{\mathrm{矩形}OEBC} = \frac{1}{2}AE · BE + BE · OE = \frac{1}{2} × 2 × 2\sqrt{3} + 2\sqrt{3}(t-2) = 2\sqrt{3}t - 2\sqrt{3}$，是斜率为正的一次函数。
当 $4 ≤ t ＜ 6$ 时，如图
所示，∵ $∠KDO = ∠ADC = 60°$，$OD=OA-AD=t-4$，
∴ $OK=OD·\tan60°=\sqrt{3}(t-4)$，
∵ $HO=BE=2\sqrt{3}$，
∴ $HK=HO-OK=2\sqrt{3}-\sqrt{3}(t-4) = -\sqrt{3}t + 6\sqrt{3}$，
∵ $HB=OE=OA-AE=t-2$，
∴ $CH=BC-HB=4-(t-2) = -t+6$，
∴ $S=S_{\mathrm{菱形}ABCD} - S_{△ CHK} = 8\sqrt{3} - \frac{1}{2}CH · HK = 8\sqrt{3} - \frac{1}{2}(-t+6) · (-\sqrt{3}t + 6\sqrt{3}) = -\frac{\sqrt{3}}{2}t^2 + 6\sqrt{3}t - 10\sqrt{3}$，是开口向下的二次函数。
当 $t ≥ 6$ 时，菱形全部平移到y轴右侧，$S=S_{\mathrm{菱形}ABCD} = 8\sqrt{3}$，为定值。
综上所述，S的函数图像依次为开口向上的抛物线一段、上升的直线一段、开口向下的抛物线一段、水平直线一段，观察各选项，只有A选项符合。
【答案】
A
【知识点】
菱形的性质，图形的平移，分段函数
【点评】
本题是动态几何与函数图像结合的典型题型，考查了分类讨论思想和数形结合思想，解题关键是根据平移过程中y轴右侧图形的形状变化正确划分阶段，分别求出各阶段的面积函数表达式，再结合函数性质判断图像。
【难度系数】
0.6
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)
11 已知$\tan(α - 30°) = 1$,则锐角$α$的度数为
11 已知$\tan(α - 30°) = 1$,则锐角$α$的度数为
75°
.答案
11. 75° 【解析】
∵ $\tan(α - 30°) = 1$，$α$ 为锐角，
∴ $α - 30° = 45°$，
∴ $α$ 的度数为 $75°$. 故答案为 $75°$.
∵ $\tan(α - 30°) = 1$，$α$ 为锐角，
∴ $α - 30° = 45°$，
∴ $α$ 的度数为 $75°$. 故答案为 $75°$.
解析
【分析】
解题时首先回忆特殊角的正切三角函数值，已知tan45°=1，结合题目给出α是锐角的限定，可确定α-30°的取值范围，进而得到α-30°的具体角度，最后通过角度的和差运算求出α的度数即可。
【解析】
∵ $\tan(α - 30°) = 1$，$α$ 为锐角，
∴ $α - 30° = 45°$，
∴ $α = 45° + 30° = 75°$。
【答案】
$75°$
【知识点】
1. 特殊角的三角函数值 2. 角的和差计算
【点评】
本题属于基础题型，重点考查对特殊角三角函数值的掌握，解题时注意结合锐角的限定条件排除不符合的解即可。
【难度系数】
0.9
解题时首先回忆特殊角的正切三角函数值，已知tan45°=1，结合题目给出α是锐角的限定，可确定α-30°的取值范围，进而得到α-30°的具体角度，最后通过角度的和差运算求出α的度数即可。
【解析】
∵ $\tan(α - 30°) = 1$，$α$ 为锐角，
∴ $α - 30° = 45°$，
∴ $α = 45° + 30° = 75°$。
【答案】
$75°$
【知识点】
1. 特殊角的三角函数值 2. 角的和差计算
【点评】
本题属于基础题型，重点考查对特殊角三角函数值的掌握，解题时注意结合锐角的限定条件排除不符合的解即可。
【难度系数】
0.9
12 新考法[2026安徽六安校级期中]若顶角为$36°$的等腰三角形，其底边与腰之比为黄金数$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，则这样的三角形称为黄金三角形。如图，已知腰$AB=AC=1$，$△ ABC$为第1个黄金三角形，$△ CDB$为第2个黄金三角形，$△ BED$为第3个黄金三角形，依次作下去，第2021个黄金三角形的底边长为
(第12题图)
(第13题图)
$(\dfrac{\sqrt{5}-1}{2})^{2021}$
。(第12题图)
(第13题图)
答案
12. $\boldsymbol{(\dfrac{\sqrt{5}-1}{2})^{2021}}$ 【解析】
∵ $AB=AC=1$，$△ ABC$ 为第 1 个黄金三角形，
∴ $\frac{BC}{AB} = \frac{\sqrt{5}-1}{2}$，
∴ $BC = \frac{\sqrt{5}-1}{2}$；在第 2 个黄金三角形中，$\frac{DB}{BC} = \frac{\sqrt{5}-1}{2}$，
∴ $DB = ( \frac{\sqrt{5}-1}{2} )^2$；在第 3 个黄金三角形中，$\frac{DE}{DB} = \frac{\sqrt{5}-1}{2}$，
∴ $DE = ( \frac{\sqrt{5}-1}{2} )^3$；依次计算下去，即可得出规律：第 $n$ 个黄金三角形的底边长为 $( \frac{\sqrt{5}-1}{2} )^n$，则第 2021 个黄金三角形的底边长为 $( \frac{\sqrt{5}-1}{2} )^{2021}$，故答案为 $( \frac{\sqrt{5}-1}{2} )^{2021}$.
∵ $AB=AC=1$，$△ ABC$ 为第 1 个黄金三角形，
∴ $\frac{BC}{AB} = \frac{\sqrt{5}-1}{2}$，
∴ $BC = \frac{\sqrt{5}-1}{2}$；在第 2 个黄金三角形中，$\frac{DB}{BC} = \frac{\sqrt{5}-1}{2}$，
∴ $DB = ( \frac{\sqrt{5}-1}{2} )^2$；在第 3 个黄金三角形中，$\frac{DE}{DB} = \frac{\sqrt{5}-1}{2}$，
∴ $DE = ( \frac{\sqrt{5}-1}{2} )^3$；依次计算下去，即可得出规律：第 $n$ 个黄金三角形的底边长为 $( \frac{\sqrt{5}-1}{2} )^n$，则第 2021 个黄金三角形的底边长为 $( \frac{\sqrt{5}-1}{2} )^{2021}$，故答案为 $( \frac{\sqrt{5}-1}{2} )^{2021}$.
解析
【分析】
解题时首先结合黄金三角形的定义，先依次计算前几个黄金三角形的底边长，观察底边长的变化规律，推导得到第n个黄金三角形底边长的通用表达式，最后将n=2021代入表达式即可得到结果。第一步先明确第1个黄金三角形的腰长为1，根据底边和腰的比值为黄金数算出第1个的底边长；第二步发现第2个黄金三角形的腰长就是第1个的底边长，同理算出第2个的底边长，以此类推计算第3个的底边长，即可总结出指数和序号的对应规律。
【解析】
解：已知$AB=AC=1$，$△ ABC$为第1个黄金三角形，根据黄金三角形底边与腰之比为$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，可得：
$\frac{BC}{AB}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，因此第1个黄金三角形的底边长$BC=1×\frac{\sqrt{5}-1}{2}=(\frac{\sqrt{5}-1}{2})^1$；
$△ CDB$为第2个黄金三角形，它的腰长等于$BC$，因此$\frac{DB}{BC}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，则第2个黄金三角形的底边长$DB=BC×\frac{\sqrt{5}-1}{2}=(\frac{\sqrt{5}-1}{2})^2$；
$△ BED$为第3个黄金三角形，它的腰长等于$DB$，因此$\frac{DE}{DB}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，则第3个黄金三角形的底边长$DE=DB×\frac{\sqrt{5}-1}{2}=(\frac{\sqrt{5}-1}{2})^3$；
依此类推，可得到规律：第$n$个黄金三角形的底边长为$(\frac{\sqrt{5}-1}{2})^n$。
当$n=2021$时，第2021个黄金三角形的底边长为$(\frac{\sqrt{5}-1}{2})^{2021}$。
【答案】
$\boldsymbol{(\dfrac{\sqrt{5}-1}{2})^{2021}}$
【知识点】
黄金分割，图形规律探究，等腰三角形性质
【点评】
本题结合黄金三角形的新定义考查规律探究能力，解题的核心是通过计算前几个黄金三角形的底边长，归纳得出第n个底边长的通用表达式，再代入序号求解，有助于培养学生的归纳推理能力。
【难度系数】
0.7
解题时首先结合黄金三角形的定义，先依次计算前几个黄金三角形的底边长，观察底边长的变化规律，推导得到第n个黄金三角形底边长的通用表达式，最后将n=2021代入表达式即可得到结果。第一步先明确第1个黄金三角形的腰长为1，根据底边和腰的比值为黄金数算出第1个的底边长；第二步发现第2个黄金三角形的腰长就是第1个的底边长，同理算出第2个的底边长，以此类推计算第3个的底边长，即可总结出指数和序号的对应规律。
【解析】
解：已知$AB=AC=1$，$△ ABC$为第1个黄金三角形，根据黄金三角形底边与腰之比为$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，可得：
$\frac{BC}{AB}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，因此第1个黄金三角形的底边长$BC=1×\frac{\sqrt{5}-1}{2}=(\frac{\sqrt{5}-1}{2})^1$；
$△ CDB$为第2个黄金三角形，它的腰长等于$BC$，因此$\frac{DB}{BC}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，则第2个黄金三角形的底边长$DB=BC×\frac{\sqrt{5}-1}{2}=(\frac{\sqrt{5}-1}{2})^2$；
$△ BED$为第3个黄金三角形，它的腰长等于$DB$，因此$\frac{DE}{DB}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，则第3个黄金三角形的底边长$DE=DB×\frac{\sqrt{5}-1}{2}=(\frac{\sqrt{5}-1}{2})^3$；
依此类推，可得到规律：第$n$个黄金三角形的底边长为$(\frac{\sqrt{5}-1}{2})^n$。
当$n=2021$时，第2021个黄金三角形的底边长为$(\frac{\sqrt{5}-1}{2})^{2021}$。
【答案】
$\boldsymbol{(\dfrac{\sqrt{5}-1}{2})^{2021}}$
【知识点】
黄金分割，图形规律探究，等腰三角形性质
【点评】
本题结合黄金三角形的新定义考查规律探究能力，解题的核心是通过计算前几个黄金三角形的底边长，归纳得出第n个底边长的通用表达式，再代入序号求解，有助于培养学生的归纳推理能力。
【难度系数】
0.7
13 如图,在矩形ABCD中,E为AD的中点(AB＞AE),EF⊥EC交AB于F,连接FC. 设$\frac{AB}{BC}=k$,当k=
$\frac{\sqrt{3}}{2}$
时,$△ AEF ∽ △ BCF$.答案
13. $\boldsymbol{\frac{\sqrt{3}}{2}}$ 【解析】
∵ 四边形 $ABCD$ 为矩形，
∴ $∠ A = ∠ B = 90°$，$BC=AD$，$AB=CD$.
∵ $E$ 为 $AD$ 的中点，
∴ $AE=DE = \frac{1}{2}AD = \frac{1}{2}BC$.
∵ $EF ⊥ EC$，
∴ $∠ CEF=90°$，
∴ $∠ AEF + ∠ CED = 90°$. 又
∵ $∠ DCE + ∠ CED = 90°$，
∴ $∠ AEF = ∠ DCE$，
∴ $△ AEF ∽ △ DCE$，
∴ $\frac{AF}{DE} = \frac{AE}{DC}$.
∵ $∠ A = ∠ B$，
∴ 当 $\frac{AE}{BC} = \frac{AF}{BF}$ 时，$△ AEF ∽ △ BCF$，此时 $\frac{AF}{BF} = \frac{1}{2}$，
∴ $AF = \frac{1}{3}AB = \frac{1}{3}CD$，
∴ $\frac{\frac{1}{3}AB}{\frac{1}{2}BC} = \frac{\frac{1}{2}BC}{AB}$，
∴ $\frac{AB^2}{BC^2} = \frac{3}{4}$，
∴ $k = \frac{AB}{BC} = \frac{\sqrt{3}}{2}$. 故答案为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$.
∵ 四边形 $ABCD$ 为矩形，
∴ $∠ A = ∠ B = 90°$，$BC=AD$，$AB=CD$.
∵ $E$ 为 $AD$ 的中点，
∴ $AE=DE = \frac{1}{2}AD = \frac{1}{2}BC$.
∵ $EF ⊥ EC$，
∴ $∠ CEF=90°$，
∴ $∠ AEF + ∠ CED = 90°$. 又
∵ $∠ DCE + ∠ CED = 90°$，
∴ $∠ AEF = ∠ DCE$，
∴ $△ AEF ∽ △ DCE$，
∴ $\frac{AF}{DE} = \frac{AE}{DC}$.
∵ $∠ A = ∠ B$，
∴ 当 $\frac{AE}{BC} = \frac{AF}{BF}$ 时，$△ AEF ∽ △ BCF$，此时 $\frac{AF}{BF} = \frac{1}{2}$，
∴ $AF = \frac{1}{3}AB = \frac{1}{3}CD$，
∴ $\frac{\frac{1}{3}AB}{\frac{1}{2}BC} = \frac{\frac{1}{2}BC}{AB}$，
∴ $\frac{AB^2}{BC^2} = \frac{3}{4}$，
∴ $k = \frac{AB}{BC} = \frac{\sqrt{3}}{2}$. 故答案为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$.
解析
【分析】
要使△AEF∽△BCF，已知∠A和∠B均为直角，只需满足两组直角边对应成比例即可。首先利用矩形的性质和EF⊥EC的条件，先证明△AEF∽△DCE，得到对应的边比例关系，再结合△AEF∽△BCF需要满足的边比例关系，将所有边用AB、BC表示，最后代入比例式求解k的值即可。
【解析】
∵ 四边形ABCD为矩形，
∴ ∠A = ∠B = ∠D = 90°，BC=AD，AB=CD。
∵ E为AD的中点，
∴ $AE=DE = \frac{1}{2}AD = \frac{1}{2}BC$。
∵ EF ⊥ EC，
∴ ∠CEF=90°，
∴ ∠AEF + ∠CED = 90°，
又
∵ ∠DCE + ∠CED = 90°，
∴ ∠AEF = ∠DCE，
∴ △AEF ∽ △DCE，
∴ $\frac{AF}{DE} = \frac{AE}{DC}$。
已知∠A = ∠B = 90°，当$\frac{AE}{BC} = \frac{AF}{BF}$时，△AEF ∽ △BCF，
将$AE=\frac{1}{2}BC$代入得$\frac{AF}{BF} = \frac{1}{2}$，即BF=2AF，
∴ $AF = \frac{1}{3}AB = \frac{1}{3}CD$。
把$AF=\frac{1}{3}AB$、$DE=\frac{1}{2}BC$、$AE=\frac{1}{2}BC$、$DC=AB$代入$\frac{AF}{DE} = \frac{AE}{DC}$，得：
$\frac{\frac{1}{3}AB}{\frac{1}{2}BC} = \frac{\frac{1}{2}BC}{AB}$，
整理得$\frac{AB^2}{BC^2} = \frac{3}{4}$，
∵ $k=\frac{AB}{BC}$＞0，
∴ $k = \frac{\sqrt{3}}{2}$。
【答案】
$\boldsymbol{\frac{\sqrt{3}}{2}}$
【知识点】
矩形的性质，相似三角形的判定，相似三角形的性质
【点评】
本题结合矩形性质和相似三角形的相关知识考查比例求值，解题的关键是先推导得到中间过渡的相似三角形△AEF∽△DCE，再结合目标相似的比例关系建立等式，求解时要注意相似三角形的对应边不要混淆。
【难度系数】
0.6
要使△AEF∽△BCF，已知∠A和∠B均为直角，只需满足两组直角边对应成比例即可。首先利用矩形的性质和EF⊥EC的条件，先证明△AEF∽△DCE，得到对应的边比例关系，再结合△AEF∽△BCF需要满足的边比例关系，将所有边用AB、BC表示，最后代入比例式求解k的值即可。
【解析】
∵ 四边形ABCD为矩形，
∴ ∠A = ∠B = ∠D = 90°，BC=AD，AB=CD。
∵ E为AD的中点，
∴ $AE=DE = \frac{1}{2}AD = \frac{1}{2}BC$。
∵ EF ⊥ EC，
∴ ∠CEF=90°，
∴ ∠AEF + ∠CED = 90°，
又
∵ ∠DCE + ∠CED = 90°，
∴ ∠AEF = ∠DCE，
∴ △AEF ∽ △DCE，
∴ $\frac{AF}{DE} = \frac{AE}{DC}$。
已知∠A = ∠B = 90°，当$\frac{AE}{BC} = \frac{AF}{BF}$时，△AEF ∽ △BCF，
将$AE=\frac{1}{2}BC$代入得$\frac{AF}{BF} = \frac{1}{2}$，即BF=2AF，
∴ $AF = \frac{1}{3}AB = \frac{1}{3}CD$。
把$AF=\frac{1}{3}AB$、$DE=\frac{1}{2}BC$、$AE=\frac{1}{2}BC$、$DC=AB$代入$\frac{AF}{DE} = \frac{AE}{DC}$，得：
$\frac{\frac{1}{3}AB}{\frac{1}{2}BC} = \frac{\frac{1}{2}BC}{AB}$，
整理得$\frac{AB^2}{BC^2} = \frac{3}{4}$，
∵ $k=\frac{AB}{BC}$＞0，
∴ $k = \frac{\sqrt{3}}{2}$。
【答案】
$\boldsymbol{\frac{\sqrt{3}}{2}}$
【知识点】
矩形的性质，相似三角形的判定，相似三角形的性质
【点评】
本题结合矩形性质和相似三角形的相关知识考查比例求值，解题的关键是先推导得到中间过渡的相似三角形△AEF∽△DCE，再结合目标相似的比例关系建立等式，求解时要注意相似三角形的对应边不要混淆。
【难度系数】
0.6
14[2025安徽合肥包河区校级期末]已知函数
$y=\begin{cases}2mx^2 -4mx -3 & (x≥0), \\ -2mx^2 -4mx -3 & (x＜0),\end{cases}$
其中$m$是常数且$m≠0$，该函数的图象记为$G$.
(1)当$m=\dfrac{1}{2}$时，图象$G$与$x$轴的交点坐标为
(2)若直线$y=m$与该函数图象$G$恰好只有两个交点，则$m$的取值为
$y=\begin{cases}2mx^2 -4mx -3 & (x≥0), \\ -2mx^2 -4mx -3 & (x＜0),\end{cases}$
其中$m$是常数且$m≠0$，该函数的图象记为$G$.
(1)当$m=\dfrac{1}{2}$时，图象$G$与$x$轴的交点坐标为
$(3,0)$
.(2)若直线$y=m$与该函数图象$G$恰好只有两个交点，则$m$的取值为
3或-1
.答案
14. (1) $(3,0)$ (2) 3或-1 【解析】(1)当 $m=\frac{1}{2}$ 时，函数 $y=\begin{cases}x^2-2x-3(x ≥ 0), \\-x^2-2x-3(x ＜ 0),\end{cases}$ 当 $x ≥ 0$ 时，令 $x^2-2x-3=0$，
∴ $(x-3)(x+1)=0$，
∴ $x_1=3$ 或 $x_2=-1$(舍去)，
∴ $x ≥ 0$ 时，图象 $G$ 与 $x$ 轴的交点坐标为 $(3,0)$. 当 $x ＜ 0$ 时，令 $-x^2-2x-3=0$，
∴ $x^2+2x+3=0$.
∵ $\Delta=4-12＜0$，
∴ 该方程无实数解，
∴ 当 $x ＜ 0$ 时，图象 $G$ 与 $x$ 轴无交点. 综上，图象 $G$ 与 $x$ 轴的交点坐标为 $(3,0)$. (2)当 $x ≥ 0$ 时，抛物线对称轴为直线 $x=-\frac{-4m}{2 × 2m}=1$；当 $x ＜ 0$ 时，抛物线对称轴为直线 $x=-\frac{-4m}{2 × (-2m)}=-1$. 当 $m＞0$ 时，图象 $G$ 大致如图
所示. 当 $x=-1$ 时，$y=-2m+4m-3=2m-3=m$，∴ $m=3$；当 $x=1$ 时，$y=2m-4m-3=-2m-3=m$，
∴ $m=-1$(舍去). 当 $m＜0$ 时，图象 $G$ 大致如图
所示. 当 $x=-1$ 时，$y=-2m+4m-3=2m-3=m$，∴ $m=3$(舍去)；当 $x=1$ 时，$y=2m-4m-3=-2m-3=m$，
∴ $m=-1$. 综上所述，$m$ 的取值为 3 或 -1.
解析
【分析】
(1) 求图象G与x轴的交点，即求y=0时x的取值。先将$m=\frac{1}{2}$代入分段函数，再分$x≥0$、$x＜0$两种情况解方程，注意解要符合对应的定义域范围，方程无实根则对应无交点。
(2) 先分别求出两段二次函数的对称轴，得到两段函数的顶点坐标；再分$m＞0$、$m＜0$两种情况结合图象分析：直线$y=m$与图象G恰好只有2个交点时，$y=m$刚好经过其中一段抛物线的顶点，将顶点纵坐标等于m列方程求解，再结合m的正负取舍结果即可。
【解析】
(1) 当$m=\frac{1}{2}$时，代入分段函数得：
$y=\begin{cases}x^2-2x-3&(x ≥ 0), \\-x^2-2x-3&(x ＜ 0),\end{cases}$
当$x ≥ 0$时，令$y=0$，即$x^2-2x-3=0$，
因式分解得$(x-3)(x+1)=0$，解得$x_1=3$，$x_2=-1$，
∵$x≥0$，
∴舍去$x=-1$，得交点坐标为$(3,0)$。
当$x ＜ 0$时，令$y=0$，即$-x^2-2x-3=0$，整理得$x^2+2x+3=0$，
判别式$\Delta=2^2-4×1×3=4-12=-8＜0$，该方程无实数根，即x＜0时图象G与x轴无交点。
综上，图象G与x轴的交点坐标为$(3,0)$。
(2) 先求两段抛物线的对称轴：
当$x≥0$时，$y=2mx^2-4mx-3$，对称轴为直线$x=-\frac{b}{2a}=-\frac{-4m}{2×2m}=1$；
当$x＜0$时，$y=-2mx^2-4mx-3$，对称轴为直线$x=-\frac{b}{2a}=-\frac{-4m}{2×(-2m)}=-1$。
① 当$m＞0$时，图象G大致如图(1)所示：
此时x＜0段抛物线开口向下，顶点为最高点，x≥0段抛物线开口向上，顶点为最低点。
直线y=m与图象恰好2个交点时，只能与x＜0段的顶点相交：
将x=-1代入x＜0段的函数得$y=-2m×(-1)^2-4m×(-1)-3=2m-3$，
令$2m-3=m$，解得$m=3$，符合$m＞0$。
若与x≥0段顶点相交，代入x=1得$y=2m×1^2-4m×1-3=-2m-3$，令$-2m-3=m$，解得$m=-1$，不符合$m＞0$，舍去。
② 当$m＜0$时，图象G大致如图(2)所示：
此时x＜0段抛物线开口向上，顶点为最低点，x≥0段抛物线开口向下，顶点为最高点。
直线y=m与图象恰好2个交点时，只能与x≥0段的顶点相交：
将x=1代入x≥0段的函数得$y=2m×1^2-4m×1-3=-2m-3$，令$-2m-3=m$，解得$m=-1$，符合$m＜0$。
若与x＜0段顶点相交，令$2m-3=m$，解得$m=3$，不符合$m＜0$，舍去。
综上，m的取值为3或-1。
【答案】
(1) $\boldsymbol{(3,0)}$ (2) $\boldsymbol{3}$或$\boldsymbol{-1}$
【知识点】
分段函数的应用；二次函数的图象与性质；函数交点问题
【点评】
本题重点考查分段函数与二次函数的综合应用，解题时需要结合分类讨论思想，根据m的正负判断抛物线开口方向，再结合二次函数的对称轴、顶点分析交点个数，易错点是忽略定义域的限制，以及对m的取值没有合理取舍。
【难度系数】
0.6
(1) 求图象G与x轴的交点，即求y=0时x的取值。先将$m=\frac{1}{2}$代入分段函数，再分$x≥0$、$x＜0$两种情况解方程，注意解要符合对应的定义域范围，方程无实根则对应无交点。
(2) 先分别求出两段二次函数的对称轴，得到两段函数的顶点坐标；再分$m＞0$、$m＜0$两种情况结合图象分析：直线$y=m$与图象G恰好只有2个交点时，$y=m$刚好经过其中一段抛物线的顶点，将顶点纵坐标等于m列方程求解，再结合m的正负取舍结果即可。
【解析】
(1) 当$m=\frac{1}{2}$时，代入分段函数得：
$y=\begin{cases}x^2-2x-3&(x ≥ 0), \\-x^2-2x-3&(x ＜ 0),\end{cases}$
当$x ≥ 0$时，令$y=0$，即$x^2-2x-3=0$，
因式分解得$(x-3)(x+1)=0$，解得$x_1=3$，$x_2=-1$，
∵$x≥0$，
∴舍去$x=-1$，得交点坐标为$(3,0)$。
当$x ＜ 0$时，令$y=0$，即$-x^2-2x-3=0$，整理得$x^2+2x+3=0$，
判别式$\Delta=2^2-4×1×3=4-12=-8＜0$，该方程无实数根，即x＜0时图象G与x轴无交点。
综上，图象G与x轴的交点坐标为$(3,0)$。
(2) 先求两段抛物线的对称轴：
当$x≥0$时，$y=2mx^2-4mx-3$，对称轴为直线$x=-\frac{b}{2a}=-\frac{-4m}{2×2m}=1$；
当$x＜0$时，$y=-2mx^2-4mx-3$，对称轴为直线$x=-\frac{b}{2a}=-\frac{-4m}{2×(-2m)}=-1$。
① 当$m＞0$时，图象G大致如图(1)所示：
此时x＜0段抛物线开口向下，顶点为最高点，x≥0段抛物线开口向上，顶点为最低点。
直线y=m与图象恰好2个交点时，只能与x＜0段的顶点相交：
将x=-1代入x＜0段的函数得$y=-2m×(-1)^2-4m×(-1)-3=2m-3$，
令$2m-3=m$，解得$m=3$，符合$m＞0$。
若与x≥0段顶点相交，代入x=1得$y=2m×1^2-4m×1-3=-2m-3$，令$-2m-3=m$，解得$m=-1$，不符合$m＞0$，舍去。
② 当$m＜0$时，图象G大致如图(2)所示：
此时x＜0段抛物线开口向上，顶点为最低点，x≥0段抛物线开口向下，顶点为最高点。
直线y=m与图象恰好2个交点时，只能与x≥0段的顶点相交：
将x=1代入x≥0段的函数得$y=2m×1^2-4m×1-3=-2m-3$，令$-2m-3=m$，解得$m=-1$，符合$m＜0$。
若与x＜0段顶点相交，令$2m-3=m$，解得$m=3$，不符合$m＜0$，舍去。
综上，m的取值为3或-1。
【答案】
(1) $\boldsymbol{(3,0)}$ (2) $\boldsymbol{3}$或$\boldsymbol{-1}$
【知识点】
分段函数的应用；二次函数的图象与性质；函数交点问题
【点评】
本题重点考查分段函数与二次函数的综合应用，解题时需要结合分类讨论思想，根据m的正负判断抛物线开口方向，再结合二次函数的对称轴、顶点分析交点个数，易错点是忽略定义域的限制，以及对m的取值没有合理取舍。
【难度系数】
0.6
15(6分)计算: $2\sin^2 45° + \tan 60° · \tan 30° - \cos 60°.$
答案
15. 【解】原式=$2 × ( \frac{\sqrt{2}}{2} )^2 + \sqrt{3} × \frac{\sqrt{3}}{3} - \frac{1}{2} = 2 × \frac{1}{2} + 1 - \frac{1}{2} = 1+1-\frac{1}{2} = \frac{3}{2}$.
解析
【分析】
本题考查特殊角三角函数的混合运算，解题思路如下：首先要准确记忆30°、45°、60°这几个特殊角的三角函数值，将原式中的三角函数替换为对应的数值；再按照实数混合运算的顺序，先计算乘方运算，再计算乘法运算，最后计算加减运算，逐步求解即可，计算时注意避免数值代错或运算顺序错误。
【解析】
先代入特殊角的三角函数值：$\sin45°=\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\tan60°=\sqrt{3}$，$\tan30°=\frac{\sqrt{3}}{3}$，$\cos60°=\frac{1}{2}$，代入原式计算：
$\begin{aligned}原式&=2 × ( \frac{\sqrt{2}}{2} )^2 + \sqrt{3} × \frac{\sqrt{3}}{3} - \frac{1}{2} \\&=2 × \frac{1}{2} + 1 - \frac{1}{2} \\&=1+1-\frac{1}{2} \\&=\frac{3}{2}\end{aligned}$
【答案】
$\frac{3}{2}$
【知识点】
特殊角的三角函数值；实数的混合运算
【点评】
本题属于基础运算类题型，核心考查对特殊角三角函数值的掌握程度和基本运算能力，难度较低，只要准确记忆特殊角的三角函数值，严格遵循运算顺序计算即可得分，计算时需注意乘方运算的准确性，避免粗心出错。
【难度系数】
0.9
本题考查特殊角三角函数的混合运算，解题思路如下：首先要准确记忆30°、45°、60°这几个特殊角的三角函数值，将原式中的三角函数替换为对应的数值；再按照实数混合运算的顺序，先计算乘方运算，再计算乘法运算，最后计算加减运算，逐步求解即可，计算时注意避免数值代错或运算顺序错误。
【解析】
先代入特殊角的三角函数值：$\sin45°=\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\tan60°=\sqrt{3}$，$\tan30°=\frac{\sqrt{3}}{3}$，$\cos60°=\frac{1}{2}$，代入原式计算：
$\begin{aligned}原式&=2 × ( \frac{\sqrt{2}}{2} )^2 + \sqrt{3} × \frac{\sqrt{3}}{3} - \frac{1}{2} \\&=2 × \frac{1}{2} + 1 - \frac{1}{2} \\&=1+1-\frac{1}{2} \\&=\frac{3}{2}\end{aligned}$
【答案】
$\frac{3}{2}$
【知识点】
特殊角的三角函数值；实数的混合运算
【点评】
本题属于基础运算类题型，核心考查对特殊角三角函数值的掌握程度和基本运算能力，难度较低，只要准确记忆特殊角的三角函数值，严格遵循运算顺序计算即可得分，计算时需注意乘方运算的准确性，避免粗心出错。
【难度系数】
0.9
16(6分)如图,在平面直角坐标系中,△ABC的顶点都在网格的格点上,按要求解决下列问题.
(1)画出△ABC关于y轴的轴对称图形△A₁B₁C₁;
(2)以点O为位似中心,在第一象限中画出△A₂B₂C₂,使得△A₁B₁C₁与△A₂B₂C₂位似,且相似比为1:3.
(1)画出△ABC关于y轴的轴对称图形△A₁B₁C₁;
(2)以点O为位似中心,在第一象限中画出△A₂B₂C₂,使得△A₁B₁C₁与△A₂B₂C₂位似,且相似比为1:3.
答案
16. 【解】(1)如图所示，$△ A_1B_1C_1$ 即为所求. (2)如图
所示，$△ A_2B_2C_2$ 即为所求.解析
【分析】
解决本题需分两步进行：①画轴对称图形：首先明确关于y轴对称的点的坐标特征为纵坐标不变、横坐标互为相反数，先找到△ABC三个顶点的坐标，计算出各顶点关于y轴的对称点坐标，描点后顺次连接即可得到△A₁B₁C₁；②画位似图形：已知位似中心为原点O，相似比为1:3且图形在第一象限，位似变换后△A₂B₂C₂的各顶点坐标为△A₁B₁C₁对应顶点坐标的3倍，计算得到各顶点坐标后描点、顺次连接即可得到所求图形。
【解析】
(1) 观察网格确定△ABC各顶点坐标：$A(-2,0)$，$B(-1,2)$，$C(-5,2)$。
根据关于y轴对称的点的坐标规律：横坐标互为相反数，纵坐标不变，可得对应对称点坐标：$A_1(2,0)$，$B_1(1,2)$，$C_1(5,2)$。
在平面直角坐标系中描出$A_1$、$B_1$、$C_1$三个点，顺次连接三点，得到的$△ A_1B_1C_1$即为所求的轴对称图形。
(2) 以原点O为位似中心，相似比为$1:3$，且$△ A_2B_2C_2$在第一象限，根据原点为位似中心的位似变换坐标规律：放大后的对应点坐标为原坐标乘以相似比3，可得对应点坐标：
$A_2(2×3,0×3)=(6,0)$，$B_2(1×3,2×3)=(3,6)$，$C_2(5×3,2×3)=(15,6)$。
在平面直角坐标系中描出$A_2$、$B_2$、$C_2$三个点，顺次连接三点，得到的$△ A_2B_2C_2$即为所求的位似图形。
【答案】
(1) 如图所示，$△ A_1B_1C_1$ 即为所求。
(2) 如图所示，$△ A_2B_2C_2$ 即为所求。
【知识点】
轴对称作图，位似作图，坐标变换
【点评】
本题是基础的图形变换作图题，重点考查轴对称和位似两种变换的作图规则，熟练掌握两种变换对应的坐标变化规律是解题的关键，作图时要注意点位准确、连线规范。
【难度系数】
0.8
解决本题需分两步进行：①画轴对称图形：首先明确关于y轴对称的点的坐标特征为纵坐标不变、横坐标互为相反数，先找到△ABC三个顶点的坐标，计算出各顶点关于y轴的对称点坐标，描点后顺次连接即可得到△A₁B₁C₁；②画位似图形：已知位似中心为原点O，相似比为1:3且图形在第一象限，位似变换后△A₂B₂C₂的各顶点坐标为△A₁B₁C₁对应顶点坐标的3倍，计算得到各顶点坐标后描点、顺次连接即可得到所求图形。
【解析】
(1) 观察网格确定△ABC各顶点坐标：$A(-2,0)$，$B(-1,2)$，$C(-5,2)$。
根据关于y轴对称的点的坐标规律：横坐标互为相反数，纵坐标不变，可得对应对称点坐标：$A_1(2,0)$，$B_1(1,2)$，$C_1(5,2)$。
在平面直角坐标系中描出$A_1$、$B_1$、$C_1$三个点，顺次连接三点，得到的$△ A_1B_1C_1$即为所求的轴对称图形。
(2) 以原点O为位似中心，相似比为$1:3$，且$△ A_2B_2C_2$在第一象限，根据原点为位似中心的位似变换坐标规律：放大后的对应点坐标为原坐标乘以相似比3，可得对应点坐标：
$A_2(2×3,0×3)=(6,0)$，$B_2(1×3,2×3)=(3,6)$，$C_2(5×3,2×3)=(15,6)$。
在平面直角坐标系中描出$A_2$、$B_2$、$C_2$三个点，顺次连接三点，得到的$△ A_2B_2C_2$即为所求的位似图形。
【答案】
(1) 如图所示，$△ A_1B_1C_1$ 即为所求。
(2) 如图
所示，$△ A_2B_2C_2$ 即为所求。【知识点】
轴对称作图，位似作图，坐标变换
【点评】
本题是基础的图形变换作图题，重点考查轴对称和位似两种变换的作图规则，熟练掌握两种变换对应的坐标变化规律是解题的关键，作图时要注意点位准确、连线规范。
【难度系数】
0.8
17(6分)[2026安徽合肥期中]如图，△OAP，△ABC均是等腰直角三角形，点P，C在反比例函数$y=\dfrac{4}{x}(x＞0)$的图象上，直角顶点A，B均在x轴上，求点C的坐标。
答案
17. 【解】设 $OA=a$，则 $AP=OA=a$，
∴ $P(a,a)$. 又
∵ 点 $P$ 在反比例函数 $y=\frac{4}{x}(x＞0)$ 的图象上，
∴ $a^2=4$，
∴ $a=2$. 设 $AB=b$，则 $BC=AB=b$，
∴ $C(2+b,b)$. 又
∵ 点 $C$ 在反比例函数 $y=\frac{4}{x}(x＞0)$ 的图象上，
∴ $b(b+2)=4$，
∴ $b=\sqrt{5}-1$，
∴ $C(\sqrt{5}+1,\sqrt{5}-1)$.
∴ $P(a,a)$. 又
∵ 点 $P$ 在反比例函数 $y=\frac{4}{x}(x＞0)$ 的图象上，
∴ $a^2=4$，
∴ $a=2$. 设 $AB=b$，则 $BC=AB=b$，
∴ $C(2+b,b)$. 又
∵ 点 $C$ 在反比例函数 $y=\frac{4}{x}(x＞0)$ 的图象上，
∴ $b(b+2)=4$，
∴ $b=\sqrt{5}-1$，
∴ $C(\sqrt{5}+1,\sqrt{5}-1)$.
解析
【分析】
要解决本题，先利用等腰直角三角形两条直角边相等的性质，表示出反比例函数图象上点的坐标，再代入反比例函数解析式列方程求解即可。第一步先分析△OAP：它是等腰直角三角形，因此OA=AP，点P的横、纵坐标相等，代入反比例函数解析式可求出OA的长度；第二步分析△ABC：它也是等腰直角三角形，因此AB=BC，设AB的长度为b，即可用b表示出点C的坐标，再次代入反比例函数解析式，解方程求出符合条件的b的值，即可得到点C的坐标。
【解析】
设$OA=a$，
∵$△ OAP$是等腰直角三角形，直角顶点为A，
∴$AP=OA=a$，即点P的坐标为$(a,a)$。
∵点P在反比例函数$y=\dfrac{4}{x}(x＞0)$的图象上，
∴将$P(a,a)$代入解析式得：$a=\dfrac{4}{a}$，即$a^2=4$，
∵$x＞0$，故$a＞0$，解得$a=2$，即$OA=2$。
设$AB=b$，
∵$△ ABC$是等腰直角三角形，直角顶点为B，
∴$BC=AB=b$，点C的横坐标为$OA+AB=2+b$，纵坐标为$b$，即$C(2+b,b)$。
∵点C在反比例函数$y=\dfrac{4}{x}(x＞0)$的图象上，
∴将$C(2+b,b)$代入解析式得：$b=\dfrac{4}{2+b}$，即$b(b+2)=4$，
整理得$b^2+2b-4=0$，解该方程：
$b=\dfrac{-2\pm\sqrt{2^2+4×4}}{2}=\dfrac{-2\pm2\sqrt{5}}{2}=-1\pm\sqrt{5}$，
∵长度为正，即$b＞0$，故取$b=\sqrt{5}-1$，
则点C的横坐标为$2+b=2+\sqrt{5}-1=\sqrt{5}+1$，纵坐标为$\sqrt{5}-1$。
【答案】
$(\sqrt{5}+1,\sqrt{5}-1)$
【知识点】
反比例函数点的坐标特征；等腰直角三角形的性质；解一元二次方程
【点评】
本题是反比例函数与几何图形结合的典型题型，解题的核心是利用等腰直角三角形的边的关系建立点的坐标与边长的联系，再结合反比例函数图象上点的坐标满足解析式的特点列方程求解，解题时要注意结合实际意义舍去不符合要求的方程根。
【难度系数】
0.6
要解决本题，先利用等腰直角三角形两条直角边相等的性质，表示出反比例函数图象上点的坐标，再代入反比例函数解析式列方程求解即可。第一步先分析△OAP：它是等腰直角三角形，因此OA=AP，点P的横、纵坐标相等，代入反比例函数解析式可求出OA的长度；第二步分析△ABC：它也是等腰直角三角形，因此AB=BC，设AB的长度为b，即可用b表示出点C的坐标，再次代入反比例函数解析式，解方程求出符合条件的b的值，即可得到点C的坐标。
【解析】
设$OA=a$，
∵$△ OAP$是等腰直角三角形，直角顶点为A，
∴$AP=OA=a$，即点P的坐标为$(a,a)$。
∵点P在反比例函数$y=\dfrac{4}{x}(x＞0)$的图象上，
∴将$P(a,a)$代入解析式得：$a=\dfrac{4}{a}$，即$a^2=4$，
∵$x＞0$，故$a＞0$，解得$a=2$，即$OA=2$。
设$AB=b$，
∵$△ ABC$是等腰直角三角形，直角顶点为B，
∴$BC=AB=b$，点C的横坐标为$OA+AB=2+b$，纵坐标为$b$，即$C(2+b,b)$。
∵点C在反比例函数$y=\dfrac{4}{x}(x＞0)$的图象上，
∴将$C(2+b,b)$代入解析式得：$b=\dfrac{4}{2+b}$，即$b(b+2)=4$，
整理得$b^2+2b-4=0$，解该方程：
$b=\dfrac{-2\pm\sqrt{2^2+4×4}}{2}=\dfrac{-2\pm2\sqrt{5}}{2}=-1\pm\sqrt{5}$，
∵长度为正，即$b＞0$，故取$b=\sqrt{5}-1$，
则点C的横坐标为$2+b=2+\sqrt{5}-1=\sqrt{5}+1$，纵坐标为$\sqrt{5}-1$。
【答案】
$(\sqrt{5}+1,\sqrt{5}-1)$
【知识点】
反比例函数点的坐标特征；等腰直角三角形的性质；解一元二次方程
【点评】
本题是反比例函数与几何图形结合的典型题型，解题的核心是利用等腰直角三角形的边的关系建立点的坐标与边长的联系，再结合反比例函数图象上点的坐标满足解析式的特点列方程求解，解题时要注意结合实际意义舍去不符合要求的方程根。
【难度系数】
0.6
