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热点趋势专项卷（二）
“码”上分析

解：
大正方形图案的总面积为 $20^2 = 400\ \mathrm{cm}^2$
核心识别区的面积为 $8^2 = 64\ \mathrm{cm}^2$
根据题意列方程：
$400 - 4x^2 - 64 = 236$
整理得：
$x^2 = 25$
解得 $x_1 = 5$，$x_2 = -5$
经检验，边长不能为负，舍去$x_2=-5$；且核心区到外框的等宽距离为$\frac{20-8}{2}=6\ \mathrm{cm}$，$5＜6$符合实际要求。
答：角落小正方形装饰的边长为5cm。

趋势三 新定义与阅读理解解题
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例题 (真题·绍兴柯桥)定义,若四边形的一条对角线平分这个四边形的面积,则称这个四边形为倍分四边形,这条对角线称为这个四边形的倍分线。如图1,在四边形ABCD中,若$S_{△ ABC}=S_{△ ADC}$,则四边形ABCD为倍分四边形,AC为四边形ABCD的倍分线。
探究问题:
(1)判断:平行四边形(填“是”或“不是”)倍分四边形。
(2)如图1,在倍分四边形ABCD中,AC是倍分线,若$AC⊥AB,AB=3,AD=DC=5$,求BC的长。
(3)如图2,在$△ ABC$中,$AB=BC$,过点B,C分别作$BM⊥AC,CN⊥AB$,垂足为点M,N,连结MN,若四边形BCMN为倍分四边形时,求$\frac{BM}{BC}$的值。
拆解剖析
新定义$\begin{cases}考查点1:平行四边形性质—平行四边形对角线平分平行四边形面积 \\考查点2:等腰三角形三线合一—M为AC中点,根据$BA=BC,BM⊥AC \\
考查点3:三角形中位线应用—\begin{cases}
MG为△ ABC中位线\begin{cases}取BC中点G \\ M为AC中点\end{cases}MG// BN \\
HG为△ BCN中位线,根据H,G分别为NC,BC中点—GH=\frac{1}{2}BN
\end{cases} \\
考查点4:直角三角形性质应用—MG=\frac{1}{2}BC,根据$△ BMC$为直角三角形,G为BC中点 \\
考查点5:勾股定理应用—\begin{cases}
(2)中求BC长度,结合$BC=\sqrt{AB^2+AC^2} \\(3)中求CN,BM,CM的长,结合\begin{cases}CN=\sqrt{BC^2-BN^2} \\ CM=\sqrt{CH^2+MH^2} \\ BM=\sqrt{BC^2-CM^2}\end{cases}设GH=x,用x表示BN,MH,MG,BC。\end{cases}\end{cases}$
答案:(1)因为平行四边形是中心对称图形,所以将平行四边形绕它的对称中心旋转$180°$可与自身重合,所以平行四边形的一条对角线将该平行四边形分为两个全等的三角形,所以平行四边形的一条对角线平分该平行四边形的面积,所以平行四边形是倍分四边形,故答案为:是。(2)如图1,作$DL⊥AC$于点D,则$∠CLD=90°$,$S_{△ ADC}=\frac{1}{2}AC·DL$,因为$AC⊥AB$,所以$∠BAC=90°$,$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}AC·AB$,因为四边形ABCD是倍分四边形,AC是倍分线,所以$S_{△ ADC}=S_{△ ABC}$,所以$\frac{1}{2}AC·DL=\frac{1}{2}AC·AB$,所以$DL=AB=3$,因为$AD=DC=5$,所以$AL=CL=\sqrt{DC^2-DL^2}=\sqrt{5^2-3^2}=4$,所以$AC=2AL=8$,所以$BC=\sqrt{AB^2+AC^2}=\sqrt{3^2+8^2}=\sqrt{73}$,所以BC的长是$\sqrt{73}$。(3)因为$AB=BC,BM⊥AC$于点M,所以$AM=CM,∠BMC=90°$,所以$S_{△ ABM}=S_{△ CBM}$,因为$S_{△ NBM}≠S_{△ ABM}$,所以$S_{△ NBM}≠S_{△ CBM}$,因为四边形BCMN为倍分四边形,所以$S_{△ MCN}=S_{△ BCN}$,如图2,取BC的中点G,连结MG交CN于点H,则$BG=CG$,所以$MG// AB$,因为$CN⊥AB$于点N,所以$∠MHC=∠ANC=∠BNC=90°$,所以$NM=CM=AM=\frac{1}{2}AC$,因为$MH⊥CN$,所以$NH=CH$,因为$GH=\frac{1}{2}BN$,因为$\frac{1}{2}CN·MH=\frac{1}{2}CN·BN$,所以$MH=BN$,设$GH=x$,则$MH=BN=2GH=2x$,所以$MG=BG=CG=GH+MH=x+2x=3x$,所以$BC=2BG=6x$,所以$CN=\sqrt{BC^2-BN^2}=\sqrt{(6x)^2-(2x)^2}=4\sqrt{2}x$,所以$CH=\frac{1}{2}CN=2\sqrt{2}x$。所以$CM=\sqrt{CH^2+MH^2}=\sqrt{(2\sqrt{2}x)^2+(2x)^2}=2\sqrt{3}x$,所以$BM=\sqrt{BC^2-CM^2}=\sqrt{(6x)^2-(2\sqrt{3}x)^2}=2\sqrt{6}x$,所以$\frac{BM}{BC}=\frac{2\sqrt{6}x}{6x}=\frac{\sqrt{6}}{3}$,所以$\frac{BM}{BC}$的值为$\frac{\sqrt{6}}{3}$。
练习

(1)因为平行四边形是中心对称图形,所以将平行四边形绕它的对称中心旋转$180°$可与自身重合,所以平行四边形的一条对角线将该平行四边形分为两个全等的三角形,所以平行四边形的一条对角线平分该平行四边形的面积,所以平行四边形是倍分四边形,故答案为:是。
(2)如图1,作$DL⊥AC$于点D,则$∠CLD=90°$,$S_{△ ADC}=\frac{1}{2}AC·DL$,因为$AC⊥AB$,所以$∠BAC=90°$,$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}AC·AB$,因为四边形ABCD是倍分四边形,AC是倍分线,所以$S_{△ ADC}=S_{△ ABC}$,所以$\frac{1}{2}AC·DL=\frac{1}{2}AC·AB$,所以$DL=AB=3$,因为$AD=DC=5$,所以$AL=CL=\sqrt{DC^2-DL^2}=\sqrt{5^2-3^2}=4$,所以$AC=2AL=8$,所以$BC=\sqrt{AB^2+AC^2}=\sqrt{3^2+8^2}=\sqrt{73}$,所以BC的长是$\sqrt{73}$。
(3)因为$AB=BC,BM⊥AC$于点M,所以$AM=CM,∠BMC=90°$,所以$S_{△ ABM}=S_{△ CBM}$,因为$S_{△ NBM}≠S_{△ ABM}$,所以$S_{△ NBM}≠S_{△ CBM}$,因为四边形BCMN为倍分四边形,所以$S_{△ MCN}=S_{△ BCN}$,如图2,取BC的中点G,连结MG交CN于点H,则$BG=CG$,所以$MG// AB$,因为$CN⊥AB$于点N,所以$∠MHC=∠ANC=∠BNC=90°$,所以$NM=CM=AM=\frac{1}{2}AC$,因为$MH⊥CN$,所以$NH=CH$,因为$GH=\frac{1}{2}BN$,因为$\frac{1}{2}CN·MH=\frac{1}{2}CN·BN$,所以$MH=BN$,设$GH=x$,则$MH=BN=2GH=2x$,所以$MG=BG=CG=GH+MH=x+2x=3x$,所以$BC=2BG=6x$,所以$CN=\sqrt{BC^2-BN^2}=\sqrt{(6x)^2-(2x)^2}=4\sqrt{2}x$,所以$CH=\frac{1}{2}CN=2\sqrt{2}x$。所以$CM=\sqrt{CH^2+MH^2}=\sqrt{(2\sqrt{2}x)^2+(2x)^2}=2\sqrt{3}x$,所以$BM=\sqrt{BC^2-CM^2}=\sqrt{(6x)^2-(2\sqrt{3}x)^2}=2\sqrt{6}x$,所以$\frac{BM}{BC}=\frac{2\sqrt{6}x}{6x}=\frac{\sqrt{6}}{3}$,所以$\frac{BM}{BC}$的值为$\frac{\sqrt{6}}{3}$。