1.(真题·金华永康)对于任意两个非零实数$a,b$,定义运算“◎”如下:$a◎b=\begin{cases} \dfrac{a}{b}(a≥ b), \\ ab(a＜ b), \end{cases}$如:$4◎3=\dfrac{4}{3},2◎3=2×3=6$。
根据上述定义,解决下列问题:
(1)计算:$\sqrt{1000}◎\sqrt{10}=$,$\sqrt{2}◎(\sqrt{8}+1)=$。
(2)若$(x-1)◎(x+1)=2x+2$,求$x$的值。

(1) 10，$4+\sqrt{2}$，解析:因为$\sqrt{1000}＞\sqrt{10}$,所以$\sqrt{1000}◎\sqrt{10}=\frac{\sqrt{1000}}{\sqrt{10}}=10$,因为$\sqrt{2}＜\sqrt{8}+1$,所以$\sqrt{2}◎(\sqrt{8}+1)=\sqrt{2}(\sqrt{8}+1)=4+\sqrt{2}$。
(2) 因为$x-1＜x+1$,所以$(x-1)(x+1)=2x+2$,所以$x_1=3,x_2=-1$。

2.若一个四边形有一组邻边相等，且这组邻边夹角所对的对角线平分一个内角，则称这样的四边形为“近似菱形”，例如：如图1，在四边形ABCD中，AB=AD，BD平分∠ABC，则四边形ABCD是近似菱形。
(1)请在图2中作出一个以BD为对角线的“近似菱形”ABCD，顶点A、顶点C要在网格格点上。
(2)如图3，在四边形ABCD中，AB=AC，AD//BC，∠CAD=2∠DBC，求证：四边形ABCD是“近似菱形”。
(3)在(2)的条件下，若BD=6，CD=2，求AB的长。

(1) 如图1所示，答案不唯一。
(2) 证明:因为$AB=AC$,所以$∠ABC=∠ACB$,因为$AD// BC$,所以$∠ADB=∠DBC$,$∠CAD=∠ACB$,所以$∠CAD=∠ABC=2∠DBC$,所以BD平分$∠ABC$,即$∠ABD=∠DBC$,因为$∠ADB=∠DBC$,所以$∠ABD=∠ADB$,所以$AB=AD$,所以四边形ABCD是“近似菱形”。
(3) 过点D作$DE// AB$,交BC于点E,连结AE,交BD于点O,如图2所示。因为$AD// BC$,所以四边形ABED是平行四边形,因为$AB=AD$,所以平行四边形ABED是菱形,所以$AE⊥BD$,$OB=\frac{1}{2}BD=3$,$OA=\frac{1}{2}AE$,$DE=AB$,因为$AB=AC$,所以$DE=AC$,因为$DE// AB$,所以$∠DEC=∠ABC$,因为$∠ABC=∠ACE$,所以$∠DEC=∠ACE$,在$△ DEC$和$△ ACE$中,
$\begin{cases} DE=AC, \\ ∠DEC=∠ACE, \\ CE=CE, \end{cases}$
所以$△ DEC ≌ △ ACE$(SAS),所以$AE=CD=2$,所以$OA=1$,在$Rt△AOB$中,由勾股定理得:
$AB=\sqrt{OB^2+OA^2}=\sqrt{3^2+1^2}=\sqrt{10}$。