趋势一 一元二次方程根与系数的关系
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💡例题 (真题·绍兴柯桥)根据以下素材,解决问题。
十六世纪的法国数学家韦达在研究一元二次方程的解法的过程中,发现方程的根与系数之间存在着特殊关系,由于该关系最早由韦达发现,人们把这个关系称之为韦达定理。
素材1
材料1:关于$x$的一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$的两个实数根$x_1,x_2$和系数$a,b,c$有如下关系:$x_1+x_2=-\frac{b}{a},x_1x_2=\frac{c}{a}$。
素材2
材料2:已知一元二次方程$x^2-x-1=0$的两个实数根分别为$m,n$,求$m^2n+mn^2$的值。解:因为$m,n$是一元二次方程的两个实数根,所以$m+n=1,mn=-1$。则$m^2n+mn^2=mn(m+n)=-1×1=-1$。
解决问题
问题1 若一元二次方程$2x^2+3x-1=0$的两个实数根为$x_1,x_2$,则$x_1+x_2=$,$x_1x_2=$。
问题2 已知关于$x$的一元二次方程$x^2-6x+(2m+1)=0$有两个实数根为$x_1,x_2$,且$2x_1x_2+x_1+x_2≥20$,求$m$的取值范围。
问题3 已知一元二次方程$2x^2+2025x-3=0$的两个实数根为$m,n$,求$(2m^2+2024m-7)(2n^2+2026n+1)$的值。

问题1：$\boldsymbol{-\frac{3}{2}}$，$\boldsymbol{-\frac{1}{2}}$；
问题2：$\boldsymbol{3≤ m≤4}$；
问题3：$\boldsymbol{\frac{8071}{2}}$。

解：
问题1
对于一元二次方程$2x^2+3x-1=0$，其中$a=2$，$b=3$，$c=-1$，
由韦达定理得：
$x_1+x_2=-\frac{b}{a}=-\frac{3}{2}$，
$x_1x_2=\frac{c}{a}=-\frac{1}{2}$。
问题2
$\because$ 方程$x^2-6x+(2m+1)=0$有两个实数根，
$\therefore$ 判别式$\Delta=(-6)^2 - 4×1×(2m+1)≥0$，
即$36-8m-4≥0$，
解得$m≤4$。
由韦达定理得：$x_1+x_2=6$，$x_1x_2=2m+1$，
代入不等式$2x_1x_2+x_1+x_2≥20$，得：
$2(2m+1)+6≥20$，
$4m+8≥20$，
解得$m≥3$。
综上，$m$的取值范围是$3≤ m≤4$。
问题3
$\because m,n$是一元二次方程$2x^2+2025x-3=0$的两个实数根，
$\therefore 2m^2+2025m-3=0$，$2n^2+2025n-3=0$，
整理得：$2m^2+2024m = -m+3$，$2n^2+2026n = n+3$。
$\therefore 2m^2+2024m-7 = -m+3-7 = -m-4$，
$2n^2+2026n+1 = n+3+1 = n+4$。
$\therefore (2m^2+2024m-7)(2n^2+2026n+1) = (-m-4)(n+4)$
$= -mn -4m -4n -16$
$= -mn -4(m+n) -16$。
由韦达定理得：$m+n=-\frac{2025}{2}$，$mn=-\frac{3}{2}$，
代入得：
原式$= -(-\frac{3}{2}) -4×(-\frac{2025}{2}) -16$
$=\frac{3}{2} + 4050 -16$
$=\frac{8071}{2}$。
最终