22.(真题·杭州上城)如图1,正方形ABCD与矩形AEFG的顶点重合于点A,且D为FG边上的一点,B,E,F三点共线。
(1)求证:矩形AEFG为正方形。
(2)如图2,连结CF,BD,若O,P,Q分别是BD,DF,CF的中点,连结OP,OQ,求证:∠POQ=45°。
(3)在(2)的条件下,已知CF=1,AD=5,求DF的长度。

22.(1)证明:因为四边形ABCD是正方形,所以AB=AD,∠BAD=90°,因为四边形AEFG是矩形,所以∠EAG=∠AEF=∠G=90°,因为B,E,F三点共线,所以∠AEB=90°,所以∠AEB=∠G=90°,因为∠BAD=∠EAG=90°,所以∠BAE=∠DAG,所以△BAE≌△DAG(AAS),所以AE=AG,又因为四边形AEFG是矩形,所以矩形AEFG为正方形。
(2)证明:连结AC,OF,易得A,O,C三点共线。因为四边形ABCD是正方形,所以OB=OD=$\frac{1}{2}$BD,AC=BD,OA=OC,∠COD=90°,因为四边形AEFG是矩形,所以∠BFD=90°,因为O是BD的中点,所以OF=$\frac{1}{2}$BD=OD,因为P是DF的中点,所以∠DOP=∠FOP,因为OC=OA=$\frac{1}{2}$AC=$\frac{1}{2}$BD=OF,Q是CF的中点,所以∠COQ=∠FOQ,所以∠FOP+∠FOQ=∠DOP+∠COQ,因为∠FOP+∠FOQ+∠DOP+∠COQ=∠COD=90°,所以2(∠FOP+∠FOQ)=90°,所以2∠POQ=90°,所以∠POQ=45°。
(3)连结AF,因为OA=OC,CQ=FQ,所以OQ//AF,因为OC=OF,CQ=FQ,所以OQ⊥CF,所以AF⊥CF,因为四边形ABCD是正方形,所以AB=BC=AD=5,∠ABC=90°,所以AC=$\sqrt{2}$BC=$5\sqrt{2}$,所以AF=$\sqrt{AC^2-CF^2}=\sqrt{(5\sqrt{2})^2-1^2}=7$。因为四边形AEFG为正方形,所以AG=GF,∠G=90°,所以AG²+GF²=AF²,所以2AG²=7²,所以AG=GF=$\frac{7}{2}\sqrt{2}$,在Rt△AGD中,DG=$\sqrt{AD^2-AG^2}=\sqrt{5^2-(\frac{7}{2}\sqrt{2})^2}=\frac{\sqrt{2}}{2}$,所以DF=GF-DG=$\frac{7}{2}\sqrt{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}=3\sqrt{2}$。

23.(真题·金华永康)小数在复习浙教版教材八下第 149 页第 5题后,进行了反思和探究。
(1)【反思】如图 1,将矩形纸片 ABCD 的四个角向内折起,恰好拼成一个无缝隙、无重叠的矩形 EFGH,这样的矩形 EFGH 称为叠合矩形。若 $EH=3\mathrm{cm},EF=4\mathrm{cm}$,求 AD 的长。
(2)【探究】小数改变条件和纸片的形状,对叠合矩形进行了如下探究:
①如图 1,若 $AB=6\mathrm{cm},AD=10\mathrm{cm}$,求 AH 的长;
②如图 2,菱形纸片 ABCD 按图 2 的方式折叠成一个叠合矩形EFGH,若 $EH=8\mathrm{cm},EF=6\mathrm{cm}$,求 MN 的长。

23.(1)如图1,连结EG。在矩形EFGH中,∠HEF=90°,HF=EG,因为EH=3cm,EF=4cm,所以HF=EG=5cm。在矩形ABCD中,AB//DC,由折叠,得:AE=EJ=EB=$\frac{1}{2}$AB,同理DG=$\frac{1}{2}$DC,所以AE//DG,所以四边形AEGD是平行四边形,所以AD=EG=5cm。
(2)①连结EG,如图2,由(1)可知:HF=EG=AD,AE=EB=$\frac{1}{2}$AB,DG=GC=$\frac{1}{2}$CD,所以BE=DG,因为四边形EFGH是矩形,所以EF=HG,在Rt△BEF和Rt△DGH中,$\begin{cases}EF=GH,\\BE=DG,\end{cases}$所以Rt△BEF≌Rt△DGH(HL),所以BF=HD。因为AB=6cm,AD=10cm,所以AE=EB=DG=3cm,HF=AD=EG=10cm,设AH=a cm,则BF=DH=(10-a)cm,由勾股定理,得:EH²+HG²=EG²,所以AE²+AH²+DG²+DH²=EG²,3²+a²+3²+(10-a)²=10²,解得:a₁=1,a₂=9,所以AH=1cm或9cm。
②连结EG交HF于点O,过点E作EJ⊥HF于点J,在矩形EFGH中,∠HEF=90°,因为EH=8cm,EF=6cm,所以FH=10cm,因为EJ⊥HF,所以$S_{△EFH}=\frac{1}{2}EF·EH=\frac{1}{2}FH·EJ$,所以6×8=10EJ,所以EJ=$\frac{24}{5}$,由(1)得:HF=EG=AD=10cm,所以EO=5cm,在菱形ABCD中,AB=AD=10cm,所以AE=EM=EO=5cm,所以△EMO为等腰三角形,因为EJ⊥HF,所以MJ=OJ=$\sqrt{OE^2-EJ^2}=\sqrt{5^2-(\frac{24}{5})^2}=\frac{7}{5}$cm,所以OM=2MJ=$\frac{14}{5}$cm,由折叠可知:BF=FM=HD=HN,所以ON=OM,所以MN=2OM=$\frac{28}{5}$cm。