8.如图，A是反比例函数$y=\frac{k}{x}(x＞0)$图象上的一点，点B，D在y轴正半轴上，$△ ABD$是$△ COD$关于点D的位似图形，且$△ ABD$与$△ COD$的位似比是$1:3$，$△ ABD$的面积为1，则k的值为。

8.8 [解析]过 A 作 $AE ⊥ x$ 轴,垂足为 E.$\because △ ABD$ 是 $△ COD$ 关于点 D 的位似图形,且$△ ABD$ 与 $△ COD$ 的位似比是 $1:3$,
$\therefore \frac{BD}{OD}=\frac{AB}{CO}=\frac{1}{3},OE=AB,\therefore \frac{CO}{CE}=\frac{DO}{AE}=\frac{3}{4}$.假设 $BD=x$,
$AB=y$,则 $DO=3x,AE=4x,CO=3y.\because △ ABD$ 的面积为 1,
$\therefore \frac{1}{2}xy=1,\therefore xy=2,\therefore AB · AE=4xy=8$,即 $k=4xy=8$.

9.如图，△ABC与△A'B'C'是位似图形，且位似比是1：2.
(1)请在图中画出位似中心；
(2)若AB=2 cm，求A'B'的长.

9.解:(1)如图所示,点 O 即为位似中心。
(2)$\because \frac{AB}{A'B'}=\frac{OA}{OA'}=\frac{1}{2}$,且 $AB=2\ \mathrm{cm},\therefore A'B'=2AB=4\ \mathrm{cm}$.

10.如图，$△ OAB$与$△ ODC$是位似图形，试问：
(1)AB与CD平行吗？请说明理由；
(2)如果$OB = 3$，$OC = 4$，$OD = 3.5$，试求$△ OAB$与$△ ODC$的相似比及OA的长。

10.解:(1)$AB // CD$.理由:$\because △ OAB$ 位似于 $△ ODC,\therefore △ OAB ∽ △ ODC,\therefore ∠ D=∠ A,\therefore AB // CD$.
(2)显然 O 是位似中心,相似比为 $OB:OC=3:4$.又 $OB:OC=OA:OD,\therefore 3:4=OA:3.5,\therefore OA=2.625$.

11.[几何直观]如图,正三角形ABC的边长为$3+\sqrt{3}$.
(1)如图1,正方形EFPN的顶点E,F在边AB上,顶点N在边AC上,在正三角形ABC及其内部,以点A为位似中心,作正方形EFPN的位似正方形$E'F'P'N'$,且使正方形$E'F'P'N'$的面积最大(不要求写作法);
(2)求(1)中作出的正方形$E'F'P'N'$的边长;
(3)如图2,在正三角形ABC中放入正方形DEMN和正方形EFPH,使得DE,EF在边AB上,点P,N分别在边CB,CA上,求这两个正方形面积和的最大值和最小值,并说明理由.

11.解:(1)如图 1,正方形 $E'F'P'N'$ 即为所求。
(2)设正方形 $E'F'P'N'$ 的边长为 $x.\because △ ABC$ 为正三角形,
$\therefore AE'=BF'=\frac{\sqrt{3}}{3}x.\because E'F'+AE'+BF'=AB,\therefore x+\frac{\sqrt{3}}{3}x+\frac{\sqrt{3}}{3}x=3+\sqrt{3},\therefore x=\frac{9+3\sqrt{3}}{2\sqrt{3}+3}$,即 $x=3\sqrt{3}-3$.
(3)如图 2,连接 NE,EP,PN,则 $∠ NEP=90°$.设正方形 DEMN、正方形 EFPH 的边长分别为 $m,n(m ≥ n)$,它们的面积和为 S,则 $NE=\sqrt{2}m,PE=\sqrt{2}n,\therefore PN^2=NE^2+PE^2=2m^2+2n^2=2(m^2+n^2),\therefore S=m^2+n^2=\frac{1}{2}PN^2$.延长 PH 交 ND 于点 G,则 $PG ⊥ ND$.在 $\mathrm{Rt}△ PGN$ 中, $PN^2=PG^2+GN^2=(m+n)^2+(m-n)^2.\because AD+DE+EF+BF=AB$,即 $\frac{\sqrt{3}}{3}m+m+n+\frac{\sqrt{3}}{3}n=\sqrt{3}+3$,化简得 $m+n=3,\therefore S=\frac{1}{2}[3^2+(m-n)^2]=\frac{9}{2}+\frac{1}{2}(m-n)^2$.①当 $(m-n)^2=0$ 时,即 $m=n$ 时,S 最小,$\therefore S_{\mathrm{最小}}=\frac{9}{2}$;②当 $(m-n)^2$ 最大时,S 最大,即当 m 最大且 n 最小时,S 最大.$\because m+n=3$,由(2)知,$m_{\mathrm{最大}}=3\sqrt{3}-3,\therefore S_{\mathrm{最大}}=\frac{1}{2}[9+(m_{\mathrm{最大}}-n_{\mathrm{最小}})^2]=\frac{1}{2}[9+(3\sqrt{3}-3-6+3\sqrt{3})^2]=99-54\sqrt{3}$.综上所述,$S_{\mathrm{最大}}=99-54\sqrt{3},S_{\mathrm{最小}}=\frac{9}{2}$。