1. 如图，点C是线段AB靠近点B的黄金分割点，则下列等式不正确的是（）


A.$\frac{AC}{AB}=\frac{BC}{AC}$
B.$\frac{AC}{AB}\approx0.618$
C.$AC=\frac{\sqrt{5}-1}{2}AB$
D.$BC=\frac{\sqrt{5}-1}{2}AB$

1.D

2. 如图，在$△ ABC$中，已知$AB=AC=3$，$BC=4$，若D，E是边BC的两个“黄金分割”点，则$△ ADE$的面积为。

2.$10-4\sqrt{5}$ 【点拨】作$AH⊥BC$于点H.$\because AB=AC,\therefore BH=CH=\frac{1}{2}BC=2$. 在$\mathrm{Rt}△ ABH$中,$AH=\sqrt{3^2-2^2}=\sqrt{5}$.$\because E$是边BC的“黄金分割”点，$\therefore BE=\frac{\sqrt{5}-1}{2}BC=2(\sqrt{5}-1)=2\sqrt{5}-2$.$\therefore HE=BE-BH=2\sqrt{5}-2-2=2\sqrt{5}-4$. 同理可得$DH=2\sqrt{5}-4$.$\therefore DE=4\sqrt{5}-8$.$\therefore S_{△ ADE}=\frac{1}{2}×(4\sqrt{5}-8)×\sqrt{5}=10-4\sqrt{5}$.

3. 新考向 数学文化 古希腊时期，人们认为最美人体的肚脐至脚底的长度与身高之比约为0.618，著名的“断臂维纳斯”便是如此.若王老师身高165 cm，肚脐到脚底的长度为100 cm，为使王老师穿上高跟鞋以后更接近最美人体比例，选择高跟鞋的跟高约为
（）

A.3 cm
B.5 cm
C.7 cm
D.10 cm

3.B

4. 新趋势 跨学科 黄金分割是汉字结构最基本的规律.
借助如图的正方形习字格书写的汉字“晋”端庄稳重、舒展美观.已知一条分割线的端点$A,B$分别在习字格的边$MN,PQ$上，且$AB// NP$，“晋”字的笔画“、”的位置在$AB$的黄金分割点$C$处，且$\frac{BC}{AB}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，若$NP=2\ \mathrm{cm}$，则$BC$的长为 $\mathrm{cm}$
（结果保留根号）.

4.$(\sqrt{5}-1)$

5. 如图，点E是正方形ABCD的边AB上的黄金分割点，且AE＞EB，以AE为边作正方形AEHF，F在AD上，延长EH交CD于点I，连接BF交EI于点G，连接BI，则$S_{△ BCI}:S_{△ FGH}$的值为。

5.$\frac{\sqrt{5}+1}{2}$ 【点拨】$\because$ 四边形ABCD是正方形，$\therefore BC=CD=DA=AB$.$\because$ 点E是正方形ABCD的边AB上的黄金分割点，且$AE＞EB$,$\therefore \frac{AE}{AB}=\frac{BE}{AE}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$.$\because$ 四边形AEHF是正方形，$\therefore EH=HF=FA=AE$,$FH// AE$,$\therefore$ 易证$△ FHG∽△ BEG$,$\therefore \frac{GH}{GE}=\frac{FH}{BE}$,$\therefore \frac{GH}{GH+GE}=\frac{GH}{HE}=\frac{FH}{FH+BE}=\frac{AE}{AE+BE}=\frac{AE}{AB}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$,$\therefore GH=\frac{\sqrt{5}-1}{2}HE=\frac{\sqrt{5}-1}{2}AE$. 易知$∠ C=∠ CBE=∠ BEI=90°$,$\therefore$ 四边形BCIE是矩形，$\therefore IC=BE$,$\therefore S_{△ BCI}:S_{△ FGH}=\frac{\frac{1}{2}BC· IC}{\frac{1}{2}FH· HG}=\frac{AB· BE}{AE· HG}=\frac{BE}{AE}·\frac{AB}{HG}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}·\frac{AB}{\frac{\sqrt{5}-1}{2}AE}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}·\frac{1}{\frac{\sqrt{5}-1}{2}×\frac{\sqrt{5}-1}{2}}=\frac{2}{\sqrt{5}-1}=\frac{\sqrt{5}+1}{2}$.

6. /新视角 动手操作题 (1)在图①中按下列步骤作图:
第一步:过点 C 画 $CD⊥AC$,使 $CD=\frac{1}{2}AC$;
第二步:连接 AD,以点 D 为圆心,DC 的长为半径画弧,交 AD 于点 E;
第三步:以点 A 为圆心,AE 的长为半径画弧,交 AC 于点 B.
(2)在所画图中,点 B 是线段 AC 的黄金分割点吗?请说明理由.
(3)如果一等腰三角形的底边长与腰长的比等于黄金比,那么这个等腰三角形就叫做黄金三角形.请你在图②中以线段 AB 为腰,用直尺和圆规,作一个黄金三角形 ABC.(不写作法,保留作图痕迹)

6.【解】(1)如图①.
(2)点B是线段AC的黄金分割点.
理由:设$AC=a$,则$CD=\frac{1}{2}a$.
$\because DE=DC$,$\therefore DE=\frac{1}{2}a$.
在$\mathrm{Rt}△ ACD$中,$AD=\sqrt{a^2+(\frac{1}{2}a)^2}=\frac{\sqrt{5}}{2}a$,
$\therefore AE=AD-DE=\frac{\sqrt{5}}{2}a-\frac{1}{2}a=\frac{\sqrt{5}-1}{2}a$.
$\because AE=AB$,$\therefore AB=\frac{\sqrt{5}-1}{2}a$,即$AB=\frac{\sqrt{5}-1}{2}AC$.
$\therefore$ 点B是线段AC的黄金分割点.
(3)如图②,$△ ABC$即为所求.