13. ★★ 新考法 比较发现法 已知$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=\frac{e}{f}=\frac{2}{5}(b-d≠0,2b+3d-4f≠0).$
(1)求$\frac{a - c}{b - d}$的值.
(2)求$\frac{2a + 3c - 4e}{2b + 3d - 4f}$的值.
(3)比较(1)(2)的结论，你发现了什么规律？

【解】(1)$\because \frac{a}{b}=\frac{c}{d}=\frac{e}{f}=\frac{2}{5},\therefore \frac{a}{b}=\frac{-c}{-d}=\frac{2}{5}.$
又$\because b-d≠0,\therefore \frac{a-c}{b-d}=\frac{2}{5}.$
(2)$\because \frac{a}{b}=\frac{c}{d}=\frac{e}{f}=\frac{2}{5},\therefore \frac{2a}{2b}=\frac{3c}{3d}=\frac{-4e}{-4f}=\frac{2}{5}.$
又$\because 2b+3d-4f≠0,$
$\therefore \frac{2a+3c-4e}{2b+3d-4f}=\frac{2}{5}.$
(3)若$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=\frac{e}{f}=k(k≠0),lb+md+nf≠0),$
则$\frac{la+mc+ne}{lb+md+nf}=k.$

14. ★★★★ 2025·广东 新题型·新定义题 定义:把某线段一分为二的点,当整体线段比大线段等于大线段比小线段时,则称此线段被分为中外比,这个点称为中外比点.
(1)如图①,点P是线段MN的中外比点,MP＞PN,MN=2,求PN的长;

(2)如图②,用无刻度的直尺和圆规求作一点C把线段AB分为中外比,(保留作图痕迹,不写作法)
(3)如图③,动点B在第一象限内,反比例函数$y=\frac{k}{x}(k＞0,x＞0)$的图象分别与矩形OABC的边AB,BC相交于点D,E,与对角线OB相交于点F.当△ODE是等腰直角三角形时,探究点D,E,F是否分别为AB,BC,OB的中外比点,并证明.

【解】(1)设$PN=x$,则$MP=MN-PN=2-x$,
根据题意,得$\frac{MN}{MP}=\frac{MP}{PN}$,即$\frac{2}{2-x}=\frac{2-x}{x}$,
解得$x_1=3+\sqrt{5}$(不合题意,舍去),$x_2=3-\sqrt{5}.$
$\therefore PN=3-\sqrt{5}.$
(2)如图所示,点 C 即为所求.

(3)当$△ ODE$是等腰三角形时,点 D,E,F 分别为 AB,BC,OB 的中外比点.证明如下：
第一种情况:当$∠ OED=90°$时,则$OE=ED$,
$\therefore ∠ OEC+∠ DEB=90°.$
$\because$ 四边形 OABC 是矩形,$\therefore ∠ OCE=∠ EBD=90°,$
$\therefore ∠ COE+∠ OEC=90°,\therefore ∠ COE=∠ DEB,$
$\therefore △ COE≌△ BED. \therefore OC=BE,CE=BD.$
设点$E(m,n)$,$\therefore$ 易知$OC=EB=n,CE=BD=m$,
$\therefore B(m+n,n),D(m+n,n-m).$
$\because$ 点 D,E 在反比例函数$y=\frac{k}{x}(k＞0,x＞0)$的图象上，
$\therefore \begin{cases}\frac{k}{m}=n,\\\frac{k}{m+n}=n-m,\end{cases}$ 整理,得$n^2-mn-m^2=0,$
解得$n_1=\frac{1+\sqrt{5}}{2}m$,$n_2=\frac{1-\sqrt{5}}{2}m$(不符合题意,舍去),
$\therefore BE=\frac{1+\sqrt{5}}{2}m$,$E(m,\frac{1+\sqrt{5}}{2}m)$,$D(\frac{3+\sqrt{5}}{2}m,\frac{\sqrt{5}-1}{2}m)$,
$B(\frac{3+\sqrt{5}}{2}m,\frac{1+\sqrt{5}}{2}m)$,
$\therefore BC=\frac{3+\sqrt{5}}{2}m$,$AD=\frac{\sqrt{5}-1}{2}m$,$AB=\frac{1+\sqrt{5}}{2}m.$
$\because BE^2=(\frac{1+\sqrt{5}}{2}m)^2=\frac{3+\sqrt{5}}{2}m^2$,$BC· CE=\frac{3+\sqrt{5}}{2}m· m=\frac{3+\sqrt{5}}{2}m^2$,$BD^2=m^2$,$AB· AD=\frac{1+\sqrt{5}}{2}m·\frac{\sqrt{5}-1}{2}m=m^2$,
$\therefore \frac{BC}{BE}=\frac{BE}{CE}$,$\frac{AB}{BD}=\frac{BD}{AD}$,
$\therefore$ 点 E,D 分别为 BC,AB 的中外比点.
$\because$ 点 E 在反比例函数$y=\frac{k}{x}$($k＞0,x＞0$)的图象上，
$E(m,\frac{1+\sqrt{5}}{2}m)$,
$\therefore k=\frac{1+\sqrt{5}}{2}m^2$,$\therefore$ 反比例函数的表达式为$y=\frac{\frac{1+\sqrt{5}}{2}m^2}{x}.$
设直线 OB 的函数表达式为$y=ax(a≠0)$,
将点$B(\frac{3+\sqrt{5}}{2}m,\frac{1+\sqrt{5}}{2}m)$的坐标代入上式,可得$a=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$,
$\therefore$ 直线 OB 的函数表达式为$y=\frac{\sqrt{5}-1}{2}x$,
联立,得$\begin{cases}y=\frac{\sqrt{5}-1}{2}x,\\y=\frac{\frac{1+\sqrt{5}}{2}m^2}{x},\end{cases}$ 解得$\begin{cases}x=\frac{\sqrt{5}+1}{2}m,\\y=m.\end{cases}$
$\therefore F(\frac{\sqrt{5}+1}{2}m,m)$,$\therefore$ 易得$\frac{OB}{OF}=\frac{OF}{BF}$,
$\therefore$ 点 F 为 OB 的中外比点.
第二种情况:当$∠ ODE=90°$时,则$OD=DE$,
$\therefore ∠ ODA+∠ EDB=90°.$
$\because$ 四边形 OABC 是矩形,$\therefore ∠ OAD=∠ EBD=90°$,
$\therefore ∠ ODA+∠ DOA=90°,\therefore ∠ EDB=∠ DOA$,
$\therefore △ OAD≌△ DBE. \therefore OA=DB,AD=BE.$
设点$D(a,b)$,$\therefore$ 易知$OA=BC=DB=a$,$AD=BE=b$,
$\therefore B(a,a+b)$,$E(a-b,a+b).$
$\because$ 点 D,E 在反比例函数$y=\frac{k}{x}(k＞0,x＞0)$的图象上，
$\therefore \begin{cases}\frac{k}{a}=b,\\\frac{k}{a-b}=a+b,\end{cases}$
整理,得$a^2-ab-b^2=0$,解得$b_1=\frac{-1+\sqrt{5}}{2}a$,$b_2=\frac{-1-\sqrt{5}}{2}a$(不符合题意,舍去),
$\therefore BE=AD=\frac{\sqrt{5}-1}{2}a$,$D(a,\frac{\sqrt{5}-1}{2}a)$,$E(\frac{3-\sqrt{5}}{2}a,\frac{\sqrt{5}+1}{2}a)$,$B(a,\frac{1+\sqrt{5}}{2}a)$,$\therefore CE=\frac{3-\sqrt{5}}{2}a$,$AB=\frac{1+\sqrt{5}}{2}a$,
$\therefore$ 易得$\frac{BC}{BE}=\frac{BE}{CE}$,$\frac{AB}{BD}=\frac{BD}{AD}$,
$\therefore$ 点 E,D 分别为 BC,AB 的中外比点.
$\because$ 点 E 在反比例函数$y=\frac{k}{x}$($k＞0,x＞0$)的图象上，
$E(\frac{3-\sqrt{5}}{2}a,\frac{\sqrt{5}+1}{2}a)$,
$\therefore k=\frac{\sqrt{5}-1}{2}a^2$.$\therefore$ 反比例函数的表达式为$y=\frac{\frac{\sqrt{5}-1}{2}a^2}{x}.$
设直线 OB 的函数表达式为$y=gx(g≠0)$,
将点$B(a,\frac{1+\sqrt{5}}{2}a)$的坐标代入上式,可得$g=\frac{\sqrt{5}+1}{2}$,
$\therefore$ 直线 OB 的函数表达式为$y=\frac{\sqrt{5}+1}{2}x$,
联立,得$\begin{cases}y=\frac{\sqrt{5}+1}{2}x,\\y=\frac{\frac{\sqrt{5}-1}{2}a^2}{x},\end{cases}$ 解得$\begin{cases}x=\frac{\sqrt{5}-1}{2}a,\\y=a.\end{cases}$
$\therefore F(\frac{\sqrt{5}-1}{2}a,a)$,$\therefore$ 易得$\frac{OB}{OF}=\frac{OF}{BF}$,
$\therefore$ 点 F 为 OB 的中外比点.
第三种情况:当$∠ EOD=90°$,则点 E,D 分别位于 y 轴、x 轴上,与题意不符,因此这种情况不存在.
综上所述,当$△ ODE$是等腰直角三角形时,点 D,E,F 分别为 AB,BC,OB 的中外比点.