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1. 若$\frac{a}{2}=\frac{3}{b}$，则$ab=$（
A.6
B.$\frac{3}{2}$
C.1
D.$\frac{2}{3}$
A
）A.6
B.$\frac{3}{2}$
C.1
D.$\frac{2}{3}$
答案
A
2. 已知$5x-4y=0(xy≠0)$，则下列比例式正确的是（
A.$\frac{x}{5}=\frac{y}{4}$
B.$\frac{x}{4}=\frac{y}{5}$
C.$\frac{x}{y}=\frac{5}{4}$
D.$\frac{x}{5}=\frac{4}{y}$
B
）A.$\frac{x}{5}=\frac{y}{4}$
B.$\frac{x}{4}=\frac{y}{5}$
C.$\frac{x}{y}=\frac{5}{4}$
D.$\frac{x}{5}=\frac{4}{y}$
答案
B
3. [2025 成都] 若$\frac{a}{b}=3$，则$\frac{a+b}{b}$的值为
4
。答案
4
4. 一题多解 已知$\frac{a+2b}{b}=\frac{7}{3}$，则$\frac{a}{b}=$
$\frac{1}{3}$
，$\frac{b}{b-a}=$$\frac{3}{2}$
，$\frac{b}{a+b}=$$\frac{3}{4}$
。答案
$\frac{1}{3};\frac{3}{2};\frac{3}{4}$
【点拨】解法1:$\because\frac{a+2b}{b}=\frac{7}{3},\therefore \frac{a}{b}+2=\frac{7}{3}.\therefore \frac{a}{b}=\frac{1}{3}.\therefore a=\frac{1}{3}b. \therefore \frac{b}{b-a}=\frac{b}{b-\frac{1}{3}b}=\frac{3}{2},\frac{b}{a+b}=\frac{b}{\frac{1}{3}b+b}=\frac{3}{4}.$
解法2:令$a+2b=7k(k≠0)$,则$b=3k,\therefore a=k,\therefore \frac{a}{b}=\frac{1}{3},$
$\frac{b}{b-a}=\frac{3k}{3k-k}=\frac{3}{2},\frac{b}{a+b}=\frac{3k}{k+3k}=\frac{3}{4}.$
【点拨】解法1:$\because\frac{a+2b}{b}=\frac{7}{3},\therefore \frac{a}{b}+2=\frac{7}{3}.\therefore \frac{a}{b}=\frac{1}{3}.\therefore a=\frac{1}{3}b. \therefore \frac{b}{b-a}=\frac{b}{b-\frac{1}{3}b}=\frac{3}{2},\frac{b}{a+b}=\frac{b}{\frac{1}{3}b+b}=\frac{3}{4}.$
解法2:令$a+2b=7k(k≠0)$,则$b=3k,\therefore a=k,\therefore \frac{a}{b}=\frac{1}{3},$
$\frac{b}{b-a}=\frac{3k}{3k-k}=\frac{3}{2},\frac{b}{a+b}=\frac{3k}{k+3k}=\frac{3}{4}.$
5. [2025 南充] 已知$\frac{a}{bc}=\frac{b}{ac}=\frac{c}{ab}=2$，则$\frac{a^2 + b^2 + c^2}{abc}$的值是（
A.2
B.3
C.4
D.6
D
）A.2
B.3
C.4
D.6
答案
D
6.若$\frac{a}{5}=\frac{b}{7}=\frac{c}{8}=k$且$3a-2b+c=3$，则$2a+4b-3c$的值是（
A.14
B.42
C.7
D.$\frac{14}{3}$
D
）A.14
B.42
C.7
D.$\frac{14}{3}$
答案
D
7. 已知$\frac{a+b+c}{d}=\frac{a+b+d}{c}=\frac{a+c+d}{b}=\frac{b+c+d}{a}=m$，则$m$的值为
3或-1
。答案
3或-1
【点拨】分两种情况:当$a+b+c+d≠0$时,根据等比性质,可得 $m = \frac{a+b+c+a+b+d+a+c+d+b+c+d}{a+b+c+d} = \frac{3(a+b+c+d)}{a+b+c+d}=3$;当$a+b+c+d=0$时,$a+b+c=-d,\therefore m=\frac{a+b+c}{d}=\frac{-d}{d}=-1.$综上所述,$m$的值为3或$-1.$
【点拨】分两种情况:当$a+b+c+d≠0$时,根据等比性质,可得 $m = \frac{a+b+c+a+b+d+a+c+d+b+c+d}{a+b+c+d} = \frac{3(a+b+c+d)}{a+b+c+d}=3$;当$a+b+c+d=0$时,$a+b+c=-d,\therefore m=\frac{a+b+c}{d}=\frac{-d}{d}=-1.$综上所述,$m$的值为3或$-1.$
8. 地图上淮北到合肥的距离为2.8厘米，比例尺是1∶10 000 000，那么淮北到合肥的实际距离是（
A.2 800米
B.28 000米
C.280 000米
D.2 800 000米
C
）A.2 800米
B.28 000米
C.280 000米
D.2 800 000米
答案
C
9. 在比例尺是$1:300\ 000$的地图上，量得甲、乙两地的距离是12 cm，如果改用$1:500\ 000$的比例尺，甲、乙两地的距离应画
7.2
cm.答案
7.2
10. 若$\frac{a}{b+c}=\frac{b}{a+c}=\frac{c}{a+b}=k$,则$k=$
$\frac{1}{2}$或$-1$
.答案
$\frac{1}{2}$或$-1$
【点拨】当$a+b+c=0$时,$a=-(b+c)$,则$k=\frac{-(b+c)}{b+c}=-1$;当$a+b+c≠0$时,根据等比性质可以得到$k=\frac{a+b+c}{(b+c)+(a+c)+(a+b)}=\frac{1}{2}.$综上,$k=\frac{1}{2}$或$-1.$
点易错 运用等比性质的条件是分母之和不等于0,往往易忽视这一隐含条件而出错.本题题目中并没有交代$a+b+c≠0$,所以应分两种情况讨论,容易出现的错误是忽视讨论$a+b+c=0$这种情况.
【点拨】当$a+b+c=0$时,$a=-(b+c)$,则$k=\frac{-(b+c)}{b+c}=-1$;当$a+b+c≠0$时,根据等比性质可以得到$k=\frac{a+b+c}{(b+c)+(a+c)+(a+b)}=\frac{1}{2}.$综上,$k=\frac{1}{2}$或$-1.$
点易错 运用等比性质的条件是分母之和不等于0,往往易忽视这一隐含条件而出错.本题题目中并没有交代$a+b+c≠0$,所以应分两种情况讨论,容易出现的错误是忽视讨论$a+b+c=0$这种情况.
11. ★★ 新考法 参数法 已知非负数$a,b,c$满足$\frac{a-1}{2}=\frac{b-2}{3}=\frac{3-c}{4}$，设$S=a+2b+3c$，则$S$的取值范围是
$11≤ S≤16$
.答案
$11≤ S≤16$
【点拨】设$\frac{a-1}{2}=\frac{b-2}{3}=\frac{3-c}{4}=k$,则$a=2k+1,b=3k+2,c=3-4k,\therefore S=a+2b+3c=(2k+1)+2(3k+2)+3(3-4k)=-4k+14.$
$\because -4＜0,\therefore S$随$k$的增大而减小.$\because a,b,c$为非负数，
$\therefore \begin{cases}2k+1≥0,\\2k+2≥0,\\3-4k≥0,\end{cases}$解得$-\frac{1}{2}≤ k≤\frac{3}{4}.$
$\therefore$当$k=-\frac{1}{2}$时,$S$取最大值,最大值为$-4×(-\frac{1}{2})+14=16$;当$k=\frac{3}{4}$时,$S$取最小值,最小值为$-4×\frac{3}{4}+14=11.$
$\therefore S$的取值范围是$11≤ S≤16.$
【点拨】设$\frac{a-1}{2}=\frac{b-2}{3}=\frac{3-c}{4}=k$,则$a=2k+1,b=3k+2,c=3-4k,\therefore S=a+2b+3c=(2k+1)+2(3k+2)+3(3-4k)=-4k+14.$
$\because -4＜0,\therefore S$随$k$的增大而减小.$\because a,b,c$为非负数，
$\therefore \begin{cases}2k+1≥0,\\2k+2≥0,\\3-4k≥0,\end{cases}$解得$-\frac{1}{2}≤ k≤\frac{3}{4}.$
$\therefore$当$k=-\frac{1}{2}$时,$S$取最大值,最大值为$-4×(-\frac{1}{2})+14=16$;当$k=\frac{3}{4}$时,$S$取最小值,最小值为$-4×\frac{3}{4}+14=11.$
$\therefore S$的取值范围是$11≤ S≤16.$
12. 新考法 数形结合法 求比例式的值，常用的方法有“设参消参法”“代入消元法”“特殊值法”.
例:已知$\frac{x}{2}=\frac{y}{5}=\frac{z}{7}$,求$\frac{x-2y+3z}{x-4y+5z}$的值.
解:设$\frac{x}{2}=\frac{y}{5}=\frac{z}{7}=k(k≠0)$,则$x=2k,y=5k$,
$z=7k$,所以$\frac{x-2y+3z}{x-4y+5z}=\frac{2k-10k+21k}{2k-20k+35k}=\frac{13}{17}$.
已知$a,b,c$为$△ ABC$的三条边长,且$(a-c):(a+b):(c-b)=-2:7:1,a+b+c=24$.
(1)求$a,b,c$的值;
(2)求$△ ABC$的面积.
例:已知$\frac{x}{2}=\frac{y}{5}=\frac{z}{7}$,求$\frac{x-2y+3z}{x-4y+5z}$的值.
解:设$\frac{x}{2}=\frac{y}{5}=\frac{z}{7}=k(k≠0)$,则$x=2k,y=5k$,
$z=7k$,所以$\frac{x-2y+3z}{x-4y+5z}=\frac{2k-10k+21k}{2k-20k+35k}=\frac{13}{17}$.
已知$a,b,c$为$△ ABC$的三条边长,且$(a-c):(a+b):(c-b)=-2:7:1,a+b+c=24$.
(1)求$a,b,c$的值;
(2)求$△ ABC$的面积.
答案
【解】(1)设$\frac{a-c}{-2}=\frac{a+b}{7}=\frac{c-b}{1}=k(k≠0),$
所以$\begin{cases}a-c=-2k,\\a+b=7k,\\c-b=k,\end{cases}$ 解得$\begin{cases}a=3k,\\b=4k,\\c=5k.\end{cases}$
因为$a+b+c=24$,所以$3k+4k+5k=24$,解得$k=2.$
所以$a=6,b=8,c=10.$
(2)因为$a=6,b=8,c=10$,所以$a^2+b^2=c^2.$
所以$△ ABC$是直角三角形,且$a,b$为两条直角边长，
所以$△ ABC$的面积$=\frac{1}{2}×6×8=24.$
所以$\begin{cases}a-c=-2k,\\a+b=7k,\\c-b=k,\end{cases}$ 解得$\begin{cases}a=3k,\\b=4k,\\c=5k.\end{cases}$
因为$a+b+c=24$,所以$3k+4k+5k=24$,解得$k=2.$
所以$a=6,b=8,c=10.$
(2)因为$a=6,b=8,c=10$,所以$a^2+b^2=c^2.$
所以$△ ABC$是直角三角形,且$a,b$为两条直角边长，
所以$△ ABC$的面积$=\frac{1}{2}×6×8=24.$
