1. 如图,半径为5的半圆的初始状态是直径平行于桌面上的直线b,然后把半圆沿直线b进行无滑动滚动,使半圆的直径与直线b重合为止,则圆心O运动路径的长度等于 ()


A.$5π$
B.$2.5π$
C.$5+2.5π$
D.$10$

1.A 解析:由题图可知,圆心先向前走 $OO_1$ 的长度,从点 O到点 $O_1$ 的运动轨迹是一条线段,长度为$\frac{1}{4}$圆的周长,然后沿着$\widehat{O_1O_2}$旋转$\frac{1}{4}$圆的周长,则圆心 O 运动路径的长度为$\frac{1}{4}×2π×5+\frac{1}{4}×2π×5=5π.$

2. (2025·临沂模拟)如图,将边长为1 cm的等边三角形ABC沿直线l向右翻动(不滑动),点B从开始到结束,所经过路径的长度为。

2.$\frac{4}{3}π\ \mathrm{cm}$ 解析:$\because △ ABC$ 为等边三角形, $\therefore ∠ BCA=60°$,$\therefore △ ABC$每次旋转的度数为 $120°$,点 B 从开始到结束,所经过路径的长度$=\frac{120· π · 1}{180}+\frac{120· π · 1}{180}=\frac{4}{3}π(\mathrm{cm}).$

3. (2025·南昌期末)如图,直角三角板放置在平面直角坐标系上,$∠ BAO=30°$,将三角板绕点$A(\sqrt{3},0)$顺时针旋转到如图位置,则点B旋转过程弧长为.(结果保留π)

3.$\frac{5π}{3}$ 解析:$\because$ 如图,$∠ BAO=30°$,$∠ BOA=90°$,点 $A(\sqrt{3},0)$,$\therefore OA=\sqrt{3}$,$2OB=AB$,$OA^2+OB^2=AB^2$,$∠ BAB'=180°-30°=150°$,$\therefore (\sqrt{3})^2+OB^2=(2OB)^2$,解得 $OB=1$,负值已舍去,$\therefore AB=2$,根据旋转可得 $AB=AB'=2$,$\therefore$ 点 B 旋转过程$\widehat{BB'}$的长为$\frac{150· π · 2}{180}=\frac{5π}{3}.$

4. 如图,在扇形OAB中,∠AOB=60°,扇形半径为r,点C在$\overset{\frown}{AB}$上,CD⊥OA,垂足为D,当△OCD的面积最大时,$\overset{\frown}{AC}$的长为.
(结果保留π)

4.$\frac{1}{4}π r$ 解析:$\because OC=r$,点 C 在$\widehat{AB}$上,$CD⊥ OA$,$\therefore DC=\sqrt{OC^2-OD^2}=\sqrt{r^2-OD^2}$,$\therefore S_{△ OCD}=\frac{1}{2}OD · \sqrt{r^2-OD^2}$,$\therefore S^2_{△ OCD}=\frac{1}{4}OD^2 · (r^2-OD^2)=-\frac{1}{4}OD^4+\frac{1}{4}r^2OD^2=-\frac{1}{4}(OD^2-\frac{r^2}{2})^2+\frac{r^4}{16}$,$\therefore$ 当 $OD^2=\frac{r^2}{2}$,即 $OD=\frac{\sqrt{2}}{2}r$ 时,$△ OCD$ 的面积最大,此时$∠ COA=45°$,$\therefore \widehat{AC}$的长为$\frac{45π r}{180}=\frac{1}{4}π r.$

5.(2025·苏州模拟)曲柄连杆机构是发动机的主要运动机构,其功能是将活塞的往复运动转变为曲轴的旋转运动,从而驱动汽车车轮转动,其结构示意图如图所示,当活塞在汽缸内往复运动时,通过连杆PQ带动曲轴做圆周运动.静止时,活塞处于点$Q'$处,且$O,P,Q'$三点共线,当活塞运动到点$Q$处时,完成一次进气过程,已知$OP=40\ \mathrm{mm}$,且完成一次进气过程,$OP$扫过的扇形面积为$\frac{1600π}{3}\ \mathrm{mm}^2$,则完成一次进气过程中,点$P$运动的路径长为 mm.

5.$\frac{80π}{3}$ 解析:如图,设 QO 与$\odot O$交于点 M,完成一次进气过程,OP 扫过的扇形为扇形 OPM,设$∠ POM=n°$.$\because$ 完成一次进气过程,OP 扫过的扇形面积为$\frac{1600π}{3}\mathrm{mm}^2$,$\therefore \frac{nπ×40^2}{360}=\frac{1600π}{3}$,解得 $n=120$,$\therefore ∠ POM=120°$.由题意得,完成一次进气过程,点 P 运动的路径即为$\widehat{PM}$,$\therefore$ 点 P 运动的路径长为$\frac{120×π×40}{180}=\frac{80π}{3}(\mathrm{mm}).$

6. 如图,点A,B,C为$\odot O$上的点,$AC=BC=2\sqrt{2}$,$∠ ACB=90°$,由弦BC,AC及弧AB组成的类似扇形的图形ACB沿着水平地面顺时针滚动一周,求圆心O运动路径的长.

6. 如图所示,连接 AB,OC,$\because AC=BC=2\sqrt{2}$,$∠ ACB=90°$,$\therefore AB$是$\odot O$的直径,半径为$\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×\sqrt{2}AC=2.$
第一部分的路径:当旋转到 AB 与底面垂直时,为以点 A 为圆心,2 为半径,顺时针旋转了 $45°$,则路径长为$\frac{45}{180}π ×2=\frac{π}{2};$
第二部分的路径:相当于以 2 为半径的圆向右滚动了半圈,则路径长为 $π r=2π;$
第三部分的路径:以 B 为圆心,2 为半径,顺时针旋转了$45°$,则路径长为$\frac{45}{180}π×2=\frac{π}{2};$
第四部分的路径:以 C 为圆心,2 为半径,顺时针旋转了$90°$,则路径长为$\frac{90}{180}π×2=π;$
$\therefore$ 圆心 O 的运动路径的长为$\frac{π}{2}+2π+\frac{π}{2}+π=4π.$