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6. 改编题 阅读材料,解决问题:
材料一:解一元二次方程的基本思路是降次.降次思想也能用于解某些高次方程.例如,解一元三次方程$x^3 + x^2 - 2x = 0$,可以将方程变为$x(x^2 + x - 2)=0$,从而求解.
材料二:因式定理:一个关于$x$的多项式,如果$x=a$时,多项式的值为0,那么$x-a$是原多项式的一个因式.例如,对于多项式$x^3 + x^2 - 3x + 1$,发现当$x=1$时,$x^3 + x^2 - 3x + 1 = 0$,所以$x^3 + x^2 - 3x + 1$的一个因式是$x-1$,设$x^3 + x^2 - 3x + 1=(x-1)(x^2 + ax -1)$,从而求出$a$的值.
(1)解方程:
①$x^3 - 2x^2 - x + 2 = 0$;
②$x^3 + 5x^2 + 8x + 4 = 0$.
(2)若关于$x$的方程$x^3 -5x^2 + (4 +k)x -k =0$的三个根可作为一个等腰三角形的三边长,则实数$k$的值为
(3)若关于$x$的方程$x^4 +2x^3 + (3 +m)x^2 + (2 +m)x +2m =0$有实数根,求实数$m$的取值范围.
材料一:解一元二次方程的基本思路是降次.降次思想也能用于解某些高次方程.例如,解一元三次方程$x^3 + x^2 - 2x = 0$,可以将方程变为$x(x^2 + x - 2)=0$,从而求解.
材料二:因式定理:一个关于$x$的多项式,如果$x=a$时,多项式的值为0,那么$x-a$是原多项式的一个因式.例如,对于多项式$x^3 + x^2 - 3x + 1$,发现当$x=1$时,$x^3 + x^2 - 3x + 1 = 0$,所以$x^3 + x^2 - 3x + 1$的一个因式是$x-1$,设$x^3 + x^2 - 3x + 1=(x-1)(x^2 + ax -1)$,从而求出$a$的值.
(1)解方程:
①$x^3 - 2x^2 - x + 2 = 0$;
②$x^3 + 5x^2 + 8x + 4 = 0$.
(2)若关于$x$的方程$x^3 -5x^2 + (4 +k)x -k =0$的三个根可作为一个等腰三角形的三边长,则实数$k$的值为
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.(3)若关于$x$的方程$x^4 +2x^3 + (3 +m)x^2 + (2 +m)x +2m =0$有实数根,求实数$m$的取值范围.
答案
(1) ①$x^3-2x^2-x+2=x^2(x-2)-(x-2)=(x-2)(x^2-1)=(x-2)(x+1)(x-1)=0$,$\therefore x=2$或$x=-1$或$x=1$.
②$x=-1$是方程$x^3+5x^2+8x+4=0$的一个解,$\therefore$设$x^3+5x^2+8x+4=(x+1)(x^2+ax+b)$,$(x+1)(x^2+ax+b)=x^3+ax^2+bx+x^2+ax+b=x^3+(a+1)x^2+(a+b)x+b$.$\because x^3+5x^2+8x+4=(x+1)·(x^2+ax+b)$,$\therefore a+1=5$,$a+b=8$,$b=4$,解得$a=4$,$b=4$.故原方程可化为$(x+1)(x^2+4x+4)=0$,解得$x=-1$或$x=-2$.
(2)4 解析:$x^3-5x^2+(4+k)x-k=x^3-4x^2-x^2+4x+kx-k=(x^2-4x)x-(x^2-4x)+(x-1)k=(x^2-4x)(x-1)+(x-1)k=(x-1)·(x^2-4x+k)=0$,$\therefore x=1$或$x^2-4x+k=0$.$\because$方程的解是等腰三角形的三边长,$\therefore$一条边长为1.当1为等腰三角形的腰长时,则$x^2-4x+k=0$的一个解是$x=1$,$\therefore k=3$,此时$x^2-4x+3=0$的两个根为$x=1$或$x=3$,$\therefore$三角形的三条边长为1,1,3,不成立;当1为等腰三角形的底边长时,$x^2-4x+k=0$有两个相等的实数根,$\therefore 16-4k=0$,$\therefore k=4$.当$k=4$时,$x^2-4x+4=0$,$x_1=x_2=2$,此时三角形成立.故$k=4$.
(3)$x^4+2x^3+(3+m)x^2+(2+m)x+2m=x^4+2x^3+x^2+(2+m)x^2+(2+m)x+2m=(x^2+x)^2+(2+m)(x^2+x)+2m=(x^2+x+m)·(x^2+x+2)=0$,$\therefore x^2+x+m=0$或$x^2+x+2=0$.$\because x^2+x+2=0$中,$\Delta=1-8＜0$,$\therefore x^2+x+2=0$无实数根,$\therefore x^2+x+m=0$有实数根,$\therefore \Delta=1-4m≥0$,解得$m≤\frac{1}{4}$.
②$x=-1$是方程$x^3+5x^2+8x+4=0$的一个解,$\therefore$设$x^3+5x^2+8x+4=(x+1)(x^2+ax+b)$,$(x+1)(x^2+ax+b)=x^3+ax^2+bx+x^2+ax+b=x^3+(a+1)x^2+(a+b)x+b$.$\because x^3+5x^2+8x+4=(x+1)·(x^2+ax+b)$,$\therefore a+1=5$,$a+b=8$,$b=4$,解得$a=4$,$b=4$.故原方程可化为$(x+1)(x^2+4x+4)=0$,解得$x=-1$或$x=-2$.
(2)4 解析:$x^3-5x^2+(4+k)x-k=x^3-4x^2-x^2+4x+kx-k=(x^2-4x)x-(x^2-4x)+(x-1)k=(x^2-4x)(x-1)+(x-1)k=(x-1)·(x^2-4x+k)=0$,$\therefore x=1$或$x^2-4x+k=0$.$\because$方程的解是等腰三角形的三边长,$\therefore$一条边长为1.当1为等腰三角形的腰长时,则$x^2-4x+k=0$的一个解是$x=1$,$\therefore k=3$,此时$x^2-4x+3=0$的两个根为$x=1$或$x=3$,$\therefore$三角形的三条边长为1,1,3,不成立;当1为等腰三角形的底边长时,$x^2-4x+k=0$有两个相等的实数根,$\therefore 16-4k=0$,$\therefore k=4$.当$k=4$时,$x^2-4x+4=0$,$x_1=x_2=2$,此时三角形成立.故$k=4$.
(3)$x^4+2x^3+(3+m)x^2+(2+m)x+2m=x^4+2x^3+x^2+(2+m)x^2+(2+m)x+2m=(x^2+x)^2+(2+m)(x^2+x)+2m=(x^2+x+m)·(x^2+x+2)=0$,$\therefore x^2+x+m=0$或$x^2+x+2=0$.$\because x^2+x+2=0$中,$\Delta=1-8＜0$,$\therefore x^2+x+2=0$无实数根,$\therefore x^2+x+m=0$有实数根,$\therefore \Delta=1-4m≥0$,解得$m≤\frac{1}{4}$.
7.(自主招生改编)阅读材料:
我们在解决数学问题时,如果从某一角度用某种方法难以奏效,不妨换一个角度去思考,换一种方法去处理,这样有可能使问题“迎刃而解”.
例如解方程:$x^3 - 2\sqrt{2}x^2 + 2x - \sqrt{2} + 1 = 0$,这是一个高次方程,我们未学过其解法,难以求解.如果我们换一个角度(“已知”和“未知”互换),即将$\sqrt{2}$看成“未知数”,而将$x$看成“已知数”,则原方程可整理成$x(\sqrt{2})^2 - (2x^2 +1)\sqrt{2} + (x^3 +1)=0$, $b^2 -4ac = (-2x^2 -1)^2 -4x(x^3 +1)=4x^2 -4x +1=(2x-1)^2$,解得$\sqrt{2}=x+1$或$\sqrt{2}=\frac{x^2 -x +1}{x}$.
故方程可转化为一个一元一次方程$\sqrt{2}=x+1$和一个一元二次方程$x^2 -x +1=\sqrt{2}x$,从而不难求得这个高次方程的解.
解决问题:
(1)解方程:$9x -3x^2 -3 + \frac{1}{4}x^3 + \frac{1}{2}x =0$;
(2)已知关于$x$的方程$x^3 -ax^2 -2ax +a^2 -1=0$有且只有一个实数根,求实数$a$的取值范围.
我们在解决数学问题时,如果从某一角度用某种方法难以奏效,不妨换一个角度去思考,换一种方法去处理,这样有可能使问题“迎刃而解”.
例如解方程:$x^3 - 2\sqrt{2}x^2 + 2x - \sqrt{2} + 1 = 0$,这是一个高次方程,我们未学过其解法,难以求解.如果我们换一个角度(“已知”和“未知”互换),即将$\sqrt{2}$看成“未知数”,而将$x$看成“已知数”,则原方程可整理成$x(\sqrt{2})^2 - (2x^2 +1)\sqrt{2} + (x^3 +1)=0$, $b^2 -4ac = (-2x^2 -1)^2 -4x(x^3 +1)=4x^2 -4x +1=(2x-1)^2$,解得$\sqrt{2}=x+1$或$\sqrt{2}=\frac{x^2 -x +1}{x}$.
故方程可转化为一个一元一次方程$\sqrt{2}=x+1$和一个一元二次方程$x^2 -x +1=\sqrt{2}x$,从而不难求得这个高次方程的解.
解决问题:
(1)解方程:$9x -3x^2 -3 + \frac{1}{4}x^3 + \frac{1}{2}x =0$;
(2)已知关于$x$的方程$x^3 -ax^2 -2ax +a^2 -1=0$有且只有一个实数根,求实数$a$的取值范围.
答案
(1) $\because 9x-3x^2-3+\frac{1}{4}x^3+\frac{1}{2}x=0$,$\therefore x·3^2-(x^2+1)·3+(\frac{1}{4}x^3+\frac{1}{2}x)=0$,$b^2-4ac=(-x^2-1)^2-4x(\frac{1}{4}x^3+\frac{1}{2}x)=1＞0$,解得$3=\frac{x}{2}$或$3=\frac{x^2+2}{2x}$,当$3=\frac{x}{2}$时,解得$x=6$;当$3=\frac{x^2+2}{2x}$时,解得$x_1=3-\sqrt{7}$,$x_2=3+\sqrt{7}$,经检验得出$x_1=3-\sqrt{7}$,$x_2=3+\sqrt{7}$都是方程的解.综上所述,方程的解为$x_1=3-\sqrt{7}$,$x_2=3+\sqrt{7}$,$x_3=6$.
(2)把方程变形为关于$a$的一元二次方程$a^2-(x^2+2x)a+x^3-1=0$,则$\Delta=(-x^2-2x)^2-4(x^3-1)=(x^2+2)^2$,由公式法得$a=\frac{x^2+2x±(x^2+2)}{2}$,即$a=x-1$或$a=x^2+x+1$.$\therefore x=a+1$或$x^2+x+1-a=0$.$\because$关于$x$的方程$x^3-ax^2-2ax+a^2-1=0$有且只有一个实数根,$\therefore$方程$x^2+x+1-a=0$没有实数根,即$\Delta＜0$,$\therefore 1-4(1-a)＜0$,解得$a＜\frac{3}{4}$.$\therefore a$的取值范围是$a＜\frac{3}{4}$.
(2)把方程变形为关于$a$的一元二次方程$a^2-(x^2+2x)a+x^3-1=0$,则$\Delta=(-x^2-2x)^2-4(x^3-1)=(x^2+2)^2$,由公式法得$a=\frac{x^2+2x±(x^2+2)}{2}$,即$a=x-1$或$a=x^2+x+1$.$\therefore x=a+1$或$x^2+x+1-a=0$.$\because$关于$x$的方程$x^3-ax^2-2ax+a^2-1=0$有且只有一个实数根,$\therefore$方程$x^2+x+1-a=0$没有实数根,即$\Delta＜0$,$\therefore 1-4(1-a)＜0$,解得$a＜\frac{3}{4}$.$\therefore a$的取值范围是$a＜\frac{3}{4}$.
