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1. 利用十字相乘法解方程.
(1) $x^2 - x - 90 = 0$；
(2) $2x^2 + x - 10 = 0$.
(1) $x^2 - x - 90 = 0$；
(2) $2x^2 + x - 10 = 0$.
答案
(1) 方程整理得$(x-10)(x+9)=0$,解得$x_1=10,x_2=-9$.
(2) 方程整理得$(2x+5)(x-2)=0$,解得$x_1=-2.5,x_2=2$.
(2) 方程整理得$(2x+5)(x-2)=0$,解得$x_1=-2.5,x_2=2$.
2. 改编题 直接写出下列方程的解.
(1) 倒数换元：$\frac{x-2}{x} - \frac{3x}{x-2} = 2$；
(2) 整体换元：$(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)=48$；
(3) 指数换元：$x^{x^4}=64$；
(4) 根式换元：$3x^2 + 2x\sqrt{2x^2 +5x -2} +5x -38=0$；
(5) 降次换元：$6x^4 -35x^3 +62x^2 -35x +6=0$；
(6) 均值换元：$(x+1)^4 + (x+3)^4=706$.
(1) 倒数换元：$\frac{x-2}{x} - \frac{3x}{x-2} = 2$；
(2) 整体换元：$(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)=48$；
(3) 指数换元：$x^{x^4}=64$；
(4) 根式换元：$3x^2 + 2x\sqrt{2x^2 +5x -2} +5x -38=0$；
(5) 降次换元：$6x^4 -35x^3 +62x^2 -35x +6=0$；
(6) 均值换元：$(x+1)^4 + (x+3)^4=706$.
答案
(1) 设$\frac{x-2}{x}=y$,则原方程可化为$y-\frac{3}{y}=2$,整理得$y^2-2y-3=0$,解得$y_1=3,y_2=-1$.当$y=3$时,$\frac{x-2}{x}=3$,解得$x=-1$;当$y=-1$时,$\frac{x-2}{x}=-1$,解得$x=1$.经检验,$x=±1$都是原方程的根,$\therefore$原方程的根为$x_1=1,x_2=-1$.
(2) $(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)=48$,$(x^2-5x+4)(x^2-5x+6)=48$,设$x^2-5x=t$,则$(t+4)(t+6)=48$,整理得$t^2+10t-24=0$,$(t+12)(t-2)=0$,解得$t_1=-12,t_2=2$.当$t=-12$,即$x^2-5x=-12$时,$x^2-5x+12=0$,无实数解;当$t=2$,即$x^2-5x=2$时,解得$x_1=\frac{5+\sqrt{33}}{2}$,$x_2=\frac{5-\sqrt{33}}{2}$.故原方程的解为$x_1=\frac{5+\sqrt{33}}{2}$,$x_2=\frac{5-\sqrt{33}}{2}$.
(3) 设$x^4=t$,则$x^t=64$,$\therefore (x^t)^4=64^4$,$\therefore (x^4)^t=64^4$,$\therefore t^t=(8^2)^4=8^8$,$\therefore t=8=x^4$,$\therefore x=±\sqrt[4]{8}$.
(4) 设$\sqrt{2x^2+5x-2}=y$,$2x^2+5x-2=y^2$,$5x=y^2+2-2x^2$,原方程可化为$3x^2+2xy+(y^2+2-2x^2)-38=0$,整理得$x^2+2xy+y^2-36=0$,即$x+y=±6$.
当$x+y=6$时,$x+\sqrt{2x^2+5x-2}=6$,即$\sqrt{2x^2+5x-2}=6-x$,等号两边同时平方,整理得$x^2+17x-38=0$,解得$x_1=2$,$x_2=-19$,经检验都是原方程的根;
当$x+y=-6$时,$x+\sqrt{2x^2+5x-2}=-6$,即$\sqrt{2x^2+5x-2}=-6-x$,等号两边同时平方,整理得$x^2-7x-38=0$,解得$x=\frac{7±\sqrt{201}}{2}$,经检验,$x=\frac{7±\sqrt{201}}{2}$都不是$x+\sqrt{2x^2+5x-2}=-6$的根,舍去.故原方程的解为$x_1=2$,$x_2=-19$.
(5) 经验证$x=0$不是方程$6x^4-35x^3+62x^2-35x+6=0$的根,原方程两边同时除以$x^2$,得$6x^2-35x+62-\frac{35}{x}+\frac{6}{x^2}=0$,即$6(x^2+\frac{1}{x^2})-35(x+\frac{1}{x})+62=0$,设$x+\frac{1}{x}=y$,则$x^2+2+\frac{1}{x^2}=y^2$,$\therefore x^2+\frac{1}{x^2}=y^2-2$,则原方程可化为$6(y^2-2)-35y+62=0$,$6y^2-35y+50=0$,$(2y-5)(3y-10)=0$,$y_1=\frac{5}{2}$,$y_2=\frac{10}{3}$,当$y=\frac{5}{2}$时,$x+\frac{1}{x}=\frac{5}{2}$,解得$x=2$或$\frac{1}{2}$;当$y=\frac{10}{3}$时,$x+\frac{1}{x}=\frac{10}{3}$,解得$x=3$或$\frac{1}{3}$.经检验,原方程的解为$x_1=2$,$x_2=\frac{1}{2}$,$x_3=3$,$x_4=\frac{1}{3}$.
(6) 设$y=x+2$,原方程可化为$(y-1)^4+(y+1)^4=706$,$\therefore (y^2-2y+1)^2+(y^2+2y+1)^2=706$,$\therefore y^4+4y^2+1-4y^3+2y^2-4y+y^4+4y^2+1+4y^3+2y^2+4y=706$,整理得$2y^4+12y^2-704=0$,解得$y^2=16$或$y^2=-22$(舍去),$\therefore y=±4$,即$x+2=±4$.$\therefore x_1=2$,$x_2=-6$.
(2) $(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)=48$,$(x^2-5x+4)(x^2-5x+6)=48$,设$x^2-5x=t$,则$(t+4)(t+6)=48$,整理得$t^2+10t-24=0$,$(t+12)(t-2)=0$,解得$t_1=-12,t_2=2$.当$t=-12$,即$x^2-5x=-12$时,$x^2-5x+12=0$,无实数解;当$t=2$,即$x^2-5x=2$时,解得$x_1=\frac{5+\sqrt{33}}{2}$,$x_2=\frac{5-\sqrt{33}}{2}$.故原方程的解为$x_1=\frac{5+\sqrt{33}}{2}$,$x_2=\frac{5-\sqrt{33}}{2}$.
(3) 设$x^4=t$,则$x^t=64$,$\therefore (x^t)^4=64^4$,$\therefore (x^4)^t=64^4$,$\therefore t^t=(8^2)^4=8^8$,$\therefore t=8=x^4$,$\therefore x=±\sqrt[4]{8}$.
(4) 设$\sqrt{2x^2+5x-2}=y$,$2x^2+5x-2=y^2$,$5x=y^2+2-2x^2$,原方程可化为$3x^2+2xy+(y^2+2-2x^2)-38=0$,整理得$x^2+2xy+y^2-36=0$,即$x+y=±6$.
当$x+y=6$时,$x+\sqrt{2x^2+5x-2}=6$,即$\sqrt{2x^2+5x-2}=6-x$,等号两边同时平方,整理得$x^2+17x-38=0$,解得$x_1=2$,$x_2=-19$,经检验都是原方程的根;
当$x+y=-6$时,$x+\sqrt{2x^2+5x-2}=-6$,即$\sqrt{2x^2+5x-2}=-6-x$,等号两边同时平方,整理得$x^2-7x-38=0$,解得$x=\frac{7±\sqrt{201}}{2}$,经检验,$x=\frac{7±\sqrt{201}}{2}$都不是$x+\sqrt{2x^2+5x-2}=-6$的根,舍去.故原方程的解为$x_1=2$,$x_2=-19$.
(5) 经验证$x=0$不是方程$6x^4-35x^3+62x^2-35x+6=0$的根,原方程两边同时除以$x^2$,得$6x^2-35x+62-\frac{35}{x}+\frac{6}{x^2}=0$,即$6(x^2+\frac{1}{x^2})-35(x+\frac{1}{x})+62=0$,设$x+\frac{1}{x}=y$,则$x^2+2+\frac{1}{x^2}=y^2$,$\therefore x^2+\frac{1}{x^2}=y^2-2$,则原方程可化为$6(y^2-2)-35y+62=0$,$6y^2-35y+50=0$,$(2y-5)(3y-10)=0$,$y_1=\frac{5}{2}$,$y_2=\frac{10}{3}$,当$y=\frac{5}{2}$时,$x+\frac{1}{x}=\frac{5}{2}$,解得$x=2$或$\frac{1}{2}$;当$y=\frac{10}{3}$时,$x+\frac{1}{x}=\frac{10}{3}$,解得$x=3$或$\frac{1}{3}$.经检验,原方程的解为$x_1=2$,$x_2=\frac{1}{2}$,$x_3=3$,$x_4=\frac{1}{3}$.
(6) 设$y=x+2$,原方程可化为$(y-1)^4+(y+1)^4=706$,$\therefore (y^2-2y+1)^2+(y^2+2y+1)^2=706$,$\therefore y^4+4y^2+1-4y^3+2y^2-4y+y^4+4y^2+1+4y^3+2y^2+4y=706$,整理得$2y^4+12y^2-704=0$,解得$y^2=16$或$y^2=-22$(舍去),$\therefore y=±4$,即$x+2=±4$.$\therefore x_1=2$,$x_2=-6$.
3. 我国三国时期的数学家赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中记载了解方程$x^2 +5x -14 = 0(x＞0)$，即$x(x+5)=14(x＞0)$的方法.首先构造了如图
所示的图形，图中的大正方形面积是$(x+x+5)^2$，其中四个全等的小矩形面积分别为$x(x+5)=14$，中间的小正方形面积为$5^2$，所以大正方形的面积又可表示为$4×14 +5^2 =81$，据此易得$x=2$.
(1)参照上述方法,请在三个构图中选择能够说明方程$x^2 -3x -10=0(x＞0)$解法的正确构图是
(2)请你结合上述问题的学习,在图②的网格中设计用几何法求解方程$x^2 -2x -15=0(x＞0)$的构图(类比图①标明相关数据,不需写出解答过程).
所示的图形，图中的大正方形面积是$(x+x+5)^2$，其中四个全等的小矩形面积分别为$x(x+5)=14$，中间的小正方形面积为$5^2$，所以大正方形的面积又可表示为$4×14 +5^2 =81$，据此易得$x=2$.(1)参照上述方法,请在三个构图中选择能够说明方程$x^2 -3x -10=0(x＞0)$解法的正确构图是
B
.(2)请你结合上述问题的学习,在图②的网格中设计用几何法求解方程$x^2 -2x -15=0(x＞0)$的构图(类比图①标明相关数据,不需写出解答过程).
答案
(1)B 解析:$\because$应构造面积是$(x+x-3)^2$的大正方形,其中四个全等的小矩形面积分别为$x(x-3)=10$,中间的小正方形面积为$3^2$,$\therefore$大正方形的面积又可表示为$4×10+3^2=49$,$\therefore$大正方形的边长为7,$\therefore x+x-3=7$,$\therefore x=5$,故正确构图是B.
(2)如图所示.(画法不唯一)
解析:图中大正方形的面积是$(x+x-2)^2$,其中四个全等的小矩形面积分别为$x(x-2)=15$,中间小正方形的面积为$2^2$,$\therefore$大正方形的面积又可表示为$4×15+2^2=64$,故大正方形的边长为8,$\therefore x+x-2=8$,解得$x=5$.
4. 原创题 解方程.
(1) $x^2 + 2|x| - 1 = 0$；
(2) $x^2 - |2x - 1| - 4 = 0$。
(1) $x^2 + 2|x| - 1 = 0$；
(2) $x^2 - |2x - 1| - 4 = 0$。
答案
(1) 解法一:当$x≥0$时,原方程为$x^2+2x-1=0$,解得$x_1=\sqrt{2}-1$,$x_2=-\sqrt{2}-1$(舍去);当$x＜0$时,原方程为$x^2-2x-1=0$,解得$x_1=\sqrt{2}+1$(舍去),$x_2=-\sqrt{2}+1$.综上,$x_1=\sqrt{2}-1$,$x_2=-\sqrt{2}+1$.
解法二:把原方程看作关于$|x|$的一元二次方程,$(|x|)^2+2|x|-1=0$,解方程得$|x|=-1+\sqrt{2}$或$|x|=-1-\sqrt{2}$(舍去),$\therefore x_1=-1+\sqrt{2}$,$x_2=1-\sqrt{2}$.
(2) 当$2x-1≥0$,即$x≥\frac{1}{2}$时,$x^2-|2x-1|-4=0$可化为$x^2-2x-3=0$,解得$x_1=3$,$x_2=-1$(舍去);当$2x-1＜0$,即$x＜\frac{1}{2}$时,$x^2-|2x-1|-4=0$可化为$x^2+2x-5=0$,解得$x_1=-1+\sqrt{6}$(舍去),$x_2=-1-\sqrt{6}$.综上,$x_1=3$,$x_2=-1-\sqrt{6}$.
解法二:把原方程看作关于$|x|$的一元二次方程,$(|x|)^2+2|x|-1=0$,解方程得$|x|=-1+\sqrt{2}$或$|x|=-1-\sqrt{2}$(舍去),$\therefore x_1=-1+\sqrt{2}$,$x_2=1-\sqrt{2}$.
(2) 当$2x-1≥0$,即$x≥\frac{1}{2}$时,$x^2-|2x-1|-4=0$可化为$x^2-2x-3=0$,解得$x_1=3$,$x_2=-1$(舍去);当$2x-1＜0$,即$x＜\frac{1}{2}$时,$x^2-|2x-1|-4=0$可化为$x^2+2x-5=0$,解得$x_1=-1+\sqrt{6}$(舍去),$x_2=-1-\sqrt{6}$.综上,$x_1=3$,$x_2=-1-\sqrt{6}$.
5. (1)若关于$x$的方程$x^2 - 2|x| + 2 = m$恰有3个不相等的实数根，则$m$的值为________。
(2)若关于$x$的方程$|x^2 + ax| = 4$只有3个不相等的实数根，则这3个根为________。
(2)若关于$x$的方程$|x^2 + ax| = 4$只有3个不相等的实数根，则这3个根为________。
答案
(1)2 解析:原方程可化为$|x|^2-2|x|+2-m=0$,$\therefore |x|=\frac{2±\sqrt{(-2)^2-4×(2-m)}}{2}$,解得$|x|=1±\sqrt{m-1}$.若保证有实数根,则$m≥1$.$\because |x|=1+\sqrt{m-1}＞0$必有两个实数根,若$1-\sqrt{m-1}＞0$,则方程就有四个实数根,$\therefore 1-\sqrt{m-1}=0$,解得$m=2$.故答案为2.
(2)$-2±2\sqrt{2},-2$或$2±2\sqrt{2},2$ 解析:$\because |x^2+ax|=4$,$\therefore x^2+ax-4=0$ ①或$x^2+ax+4=0$ ②.方程①②不可能有相同的根,而原方程有3个不相等的实数根,$\therefore$方程①②中有一个含有等根,而$\Delta_1=a^2+16＞0$,$\therefore \Delta_2=a^2-16=0$,$\therefore a=±4$.当$a=4$时,原方程为$x^2+4x-4=0$或$x^2+4x+4=0$,原方程的解为$x=-2±2\sqrt{2}$或$x=-2$;当$a=-4$时,原方程为$x^2-4x-4=0$或$x^2-4x+4=0$,原方程的解为$x=2±2\sqrt{2}$或$x=2$.
(2)$-2±2\sqrt{2},-2$或$2±2\sqrt{2},2$ 解析:$\because |x^2+ax|=4$,$\therefore x^2+ax-4=0$ ①或$x^2+ax+4=0$ ②.方程①②不可能有相同的根,而原方程有3个不相等的实数根,$\therefore$方程①②中有一个含有等根,而$\Delta_1=a^2+16＞0$,$\therefore \Delta_2=a^2-16=0$,$\therefore a=±4$.当$a=4$时,原方程为$x^2+4x-4=0$或$x^2+4x+4=0$,原方程的解为$x=-2±2\sqrt{2}$或$x=-2$;当$a=-4$时,原方程为$x^2-4x-4=0$或$x^2-4x+4=0$,原方程的解为$x=2±2\sqrt{2}$或$x=2$.
