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9. 对于实数$a,b$,定义运算“◎”如下:$a◎b=(a+b)^2-(a-b)^2$.若$(m+2)◎(m-3)=24$,则$m=$
-3或4
.答案
9. -3或4 解析:由题意得$[(m+2)+(m-3)]^2-[(m+2)-(m-3)]^2=24$,$(2m-1)^2-49=0$,解得$m_1=-3,m_2=4$.
10. 用适当的方法解方程.
(1)$2(x^2 - 1) = \sqrt{3}x$；
(2)$(x - 5)(x + 1) = 7$；
(3)$(2y - 1)^2 = y^2 - 10y + 25$.
(1)$2(x^2 - 1) = \sqrt{3}x$；
(2)$(x - 5)(x + 1) = 7$；
(3)$(2y - 1)^2 = y^2 - 10y + 25$.
答案
10. (1)$2x^2-\sqrt{3}x-2=0$,解得$x_1=\frac{\sqrt{3}+\sqrt{19}}{4},x_2=\frac{\sqrt{3}-\sqrt{19}}{4}$.
(2)$x^2-4x-12=0$,$(x+2)(x-6)=0$,解得$x_1=-2,x_2=6$.
(3)$(2y-1)^2=(y-5)^2$,$(2y-1+y-5)(2y-1-y+5)=0$,解得$y_1=2,y_2=-4$.
(2)$x^2-4x-12=0$,$(x+2)(x-6)=0$,解得$x_1=-2,x_2=6$.
(3)$(2y-1)^2=(y-5)^2$,$(2y-1+y-5)(2y-1-y+5)=0$,解得$y_1=2,y_2=-4$.
11. (南充中考)已知关于$x$的一元二次方程$x^2 - (2k+1)x + k^2 + k = 0$.
(1)求证:无论$k$取何值,方程都有两个不相等的实数根；
(2)如果方程的两个实数根为$x_1, x_2$,且$k$与$\frac{x_1}{x_2}$都为整数,求$k$所有可能的值.
(1)求证:无论$k$取何值,方程都有两个不相等的实数根；
(2)如果方程的两个实数根为$x_1, x_2$,且$k$与$\frac{x_1}{x_2}$都为整数,求$k$所有可能的值.
答案
11. (1)$\because \Delta =[-(2k+1)]^2-4(k^2+k)=1＞0,\therefore$ 无论$k$取何值,方程都有两个不相等的实数根.
(2)$\because x^2-(2k+1)x+k^2+k=0$,即$(x-k)[x-(k+1)]=0$,解得$x=k$或$x=k+1$,$\therefore$ 一元二次方程$x^2-(2k+1)x+k^2+k=0$的两根为$k,k+1$,$\therefore \frac{x_1}{x_2}=\frac{k+1}{k}=1+\frac{1}{k}$或$\frac{x_1}{x_2}=\frac{k}{k+1}=1-\frac{1}{k+1}$.如果$1+\frac{1}{k}$为整数,那么$k=\pm1$;如果$1-\frac{1}{k+1}$为整数,那么$k+1=\pm1$,则$k$为0或-2.$\therefore$ 整数$k$的所有可能的值为$\pm1,0$或-2.
(2)$\because x^2-(2k+1)x+k^2+k=0$,即$(x-k)[x-(k+1)]=0$,解得$x=k$或$x=k+1$,$\therefore$ 一元二次方程$x^2-(2k+1)x+k^2+k=0$的两根为$k,k+1$,$\therefore \frac{x_1}{x_2}=\frac{k+1}{k}=1+\frac{1}{k}$或$\frac{x_1}{x_2}=\frac{k}{k+1}=1-\frac{1}{k+1}$.如果$1+\frac{1}{k}$为整数,那么$k=\pm1$;如果$1-\frac{1}{k+1}$为整数,那么$k+1=\pm1$,则$k$为0或-2.$\therefore$ 整数$k$的所有可能的值为$\pm1,0$或-2.
12. 原创题 我们在八年级的因式分解中已经初步接触过“十字相乘法”因式分解，即$x^2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q)$.如：$x^2+5x+6=x^2+(2+3)x+2×3=(x+2)(x+3)$.“十字相乘法”也可以用于解一元二次方程.
(1)一元二次方程$x^2 -4x -12 =0$的解为
(2)若$\frac{x^2 -5x -6}{|x| -6}=0$,则$x$的值为
(3)如果$x^2 -x -1=(x^2 -3x -4)^0$,那么$x$的值为
(1)一元二次方程$x^2 -4x -12 =0$的解为
$x_1=6,x_2=-2$
;(2)若$\frac{x^2 -5x -6}{|x| -6}=0$,则$x$的值为
-1
;(3)如果$x^2 -x -1=(x^2 -3x -4)^0$,那么$x$的值为
2
.答案
12. (1)$x_1=6,x_2=-2$ 解析:$x^2-4x-12=0$,$(x-6)(x+2)=0$,$\therefore x_1=6,x_2=-2$.
(2)$-1$ 解析:$(x+1)(x-6)=0$且$x≠±6$,$\therefore x=-1$.
(3)$2$ 解析:原式整理得$x^2-x-1=1$,即$(x-2)(x+1)=0$,解得$x_1=2,x_2=-1$.又$x^2-3x-4=(x-4)(x+1)≠0$,故$x≠-1$且$x≠4$,即$x$的值为2.
(2)$-1$ 解析:$(x+1)(x-6)=0$且$x≠±6$,$\therefore x=-1$.
(3)$2$ 解析:原式整理得$x^2-x-1=1$,即$(x-2)(x+1)=0$,解得$x_1=2,x_2=-1$.又$x^2-3x-4=(x-4)(x+1)≠0$,故$x≠-1$且$x≠4$,即$x$的值为2.
13. 改编题 (1)若菱形ABCD的一条对角线长为8,边CD的长是方程$x^2 - 10x + 24 = 0$的一个根,则该菱形ABCD的周长为
(2)已知$2x^2 - xy - 3y^2 = 0$,则$\frac{x - y}{x + y}$的值是
24
,面积为$16\sqrt{5}$
.(2)已知$2x^2 - xy - 3y^2 = 0$,则$\frac{x - y}{x + y}$的值是
$\frac{1}{5}$
.答案
13. (1)$24$ $16\sqrt{5}$ 解析:如图,$\because$ 四边形$ABCD$是菱形,$\therefore AB=BC=CD=AD$.方程$x^2-10x+24=0$,解得$x=4$或$x=6$,分两种情况:①当边长为4时,$4+4=8$,不能构成三角形;②当边长为6时,$6+6＞8$,$\therefore$ 菱形$ABCD$的周长$=4AB=24$. $\sqrt{6^2-4^2}=2\sqrt{5}$,$\therefore$ 菱形另一条对角线的长为$4\sqrt{5}$,菱形$ABCD$的面积为$4\sqrt{5}×8÷2=16\sqrt{5}$.
(2)$\frac{1}{5}$ 解析:$2x^2-xy-3y^2=0$,$(2x-3y)(x+y)=0$,$2x-3y=0$或$x+y=0$(分母为0,舍去),解得$x=\frac{3y}{2}$,代入$\frac{x-y}{x+y}$,得原式$=\frac{1}{5}$.
14. 改编题 (1)若实数$a,b$满足$(4a+4b)(4a+4b-2)=8$,则$a+b=$
(2)方程$(2x+5)^2 +3 = 4(2x+5)$的解为
(3)已知$x$为实数,且满足$(x^2+3x)^2 +2(x^2+3x)-3=0$,求$x^2+3x-1$的值.
$-\frac{1}{2}$或1
.(2)方程$(2x+5)^2 +3 = 4(2x+5)$的解为
$x_1=-1,x_2=-2$
.(3)已知$x$为实数,且满足$(x^2+3x)^2 +2(x^2+3x)-3=0$,求$x^2+3x-1$的值.
答案
14. (1)$-\frac{1}{2}$或1 解析:设$a+b=x$,则有$4x(4x-2)-8=0$,整理得$2x^2-x-1=0$,$\therefore (2x+1)(x-1)=0$,解得$x_1=-\frac{1}{2},x_2=1$.则$a+b$的值为$-\frac{1}{2}$或1.
(2)$x_1=-1,x_2=-2$ 解析:设$y=2x+5$,方程可化为$y^2-4y+3=0$,$\therefore y_1=1,y_2=3$.当$y=1$,即$2x+5=1$时,解得$x=-2$;当$y=3$,即$2x+5=3$时,解得$x=-1$.$\therefore$ 原方程的解为$x_1=-1$,$x_2=-2$.
(3)设$y=x^2+3x$,$(x^2+3x)^2+2(x^2+3x)-3=0$可化为$y^2+2y-3=0$,$(y+3)(y-1)=0$,解得$y_1=-3,y_2=1$.当$x^2+3x=-3$时,$\Delta=-3＜0$,无实数根;当$x^2+3x=1$时,$\Delta=13＞0$.$\therefore x^2+3x-1=0$.
(2)$x_1=-1,x_2=-2$ 解析:设$y=2x+5$,方程可化为$y^2-4y+3=0$,$\therefore y_1=1,y_2=3$.当$y=1$,即$2x+5=1$时,解得$x=-2$;当$y=3$,即$2x+5=3$时,解得$x=-1$.$\therefore$ 原方程的解为$x_1=-1$,$x_2=-2$.
(3)设$y=x^2+3x$,$(x^2+3x)^2+2(x^2+3x)-3=0$可化为$y^2+2y-3=0$,$(y+3)(y-1)=0$,解得$y_1=-3,y_2=1$.当$x^2+3x=-3$时,$\Delta=-3＜0$,无实数根;当$x^2+3x=1$时,$\Delta=13＞0$.$\therefore x^2+3x-1=0$.
