1. (2026·青岛期末)如图,在$Rt△ ABC$中, $∠ C=90°,∠ B=30°$,以点C为圆心,4为半径的$\odot C$与AB相切于点D,交CA于点E,交CB于点F,则图中阴影部分的面积为 ()

A.$\frac{32}{3}\sqrt{3}-4π$
B.$\frac{32}{3}\sqrt{3}-2π$
C.$16-4π$
D.$16-2π$
(第1题)

1. A 解析:连接CD,如图所示：

∵ ⊙C 与 AB 相切于点 D,
∴ CD ⊥ AB,故 ∠CDB = 90°.
∵ ∠B = 30°,
∴ BC = 2CD = 8.
∵ ∠B = 30°,
∴ ∠A = 60°,
∠ACD=30°,
∴ AC=2AD,由勾股定理得 AC² = AD² + CD²,解
得 $AD=\frac{4\sqrt{3}}{3},AC=2AD=\frac{8\sqrt{3}}{3}$,
∴ $S_{阴影}=S_{△ABC}-S_{扇形ECF}=$
$\frac{1}{2}×AC×BC-\frac{90°}{360°}×π×CE^2=\frac{1}{2}×\frac{8\sqrt{3}}{3}×8-\frac{π}{4}×16=\frac{32\sqrt{3}}{3}-4π$.
故选 A.

2. (2026·长春期末)如图,在$△ ABC$中,$CA=CB$,$CD$为$△ ABC$的高,$CD=3$,$AB=8$,点$M$是$\odot C$上一动点,连接$AM$,取$AM$的中点$E$,连接$DE$.若$\odot C$的半径为$2$,则$DE$长的最大值为 ()

A.2.5
B.3.5
C.7
D.8

2. B 解析:如图,连接 MB,

∵ CA=CB,
∴ △ABC 为等腰三角形.
∵ CD 为△ABC 的高,
∴ D 为 AB 的中点,
∴ $BD=\frac{1}{2}AB=4$,在 Rt△BCD 中,BC=
$\sqrt{BD^2+CD^2}=\sqrt{4^2+3^2}=5$.
∵ E 为 AM 的中点,D 为 AB 的中
点,
∴ DE 为△ABM 的中位线,
∴ $DE=\frac{1}{2}BM$,
∴ 当 BM 取最
大值时,DE 长度最大.
∵ 点 M 是⊙C 上一动点,
∴ 当 BM 过
圆心 C 时,BM 最大,此时 BM=BC+CM=5+2=7,
∴ DE 长的
最大值为 $\frac{1}{2}×7=3.5$.故选 B.

3.（2026·周口期末）如图，在$△ DEC$中，$∠ EDC=120°$.将$△ DEC$绕点$C$顺时针旋转，得到$△ ABC$，点$D$，$E$的对应点分别为$A$，$B$，连接$AE$.当点$D$，$E$，$A$在同一条直线上时，下列结论错误的是（）


A.$∠ ECB=∠ ACD$
B.$△ ADC$是等边三角形
C.$DE+DC=BC$
D.$AB// CD$

3. C 解析:
∵ 将△DEC 绕点 C 顺时针旋转,
∴ △ABC ≌
△DEC,
∴ ∠ACB=∠DCE.又
∵ ∠BCD=∠BCD,
∴ ∠ECB=
∠ACD,故 A 选项正确,不符合题意;
∵ △ABC ≌ △DEC,
∴ ∠EDC=∠BAC=120°,AC=CD,
∴ ∠ADC=180°-∠EDC=
60°,
∴ △ACD 是等边三角形,故 B 选项正确,不符合题意;
∵ △ABC ≌ △DEC,
∴ BC=EC,
∴ 在△DEC 中,DE+DC＞EC,
∴ DE+DC＞BC,故 C 选项错误,符合题意;
∵ △ACD 是等边
三角形,
∴ ∠CAD=60°.
∵ ∠BAC=120°,
∴ ∠BAD=∠BAC-
∠CAD=60°,
∴ ∠BAD=∠ADC=60°,
∴ AB // CD,故 D
选项正确,不符合题意.故选 C.

4. (2026·北京期末)在半径为2的⊙O中,点M为弦AB的中点,点P是平面内一点,且OP=3.下列说法正确的是 ()

A.若AB=2,则PM长的取值范围是$1≤PM≤4$
B.若AB=2,则PM的长可以是$\frac{24}{5}$
C.若PM=2,则AB长的最小值是$2\sqrt{3}$
D.若PM=2,则AB长的最大值是$2\sqrt{3}$

4. D 解析:
∵ ⊙O 半径为 2,点 M 为弦 AB 中点,
∴ OM ⊥ AB,
且 AM=BM,设 AB=2a,则 $OM=\sqrt{4-a^2}$,若 AB=2,则 a=1,
$OM=\sqrt{3}$.
∵ OP=3,PM 为 P 到 M 的距离,如图①,
∴ $PM_{min}=$
$3-\sqrt{3}≈1.268,PM_{max}=3+\sqrt{3}≈4.732$,
∴ $1≤PM≤4$ 不成立,A
选项错误,不符合题意;
∵ $\frac{24}{5}＞3+\sqrt{3}$,
∴ PM 不可以为 $\frac{24}{5}$,B
选项错误,不符合题意;

若 PM=2,OP=3,由题意得,点 M 在以 P 为圆心、2 为半径
的圆上,
∴ OM≥OP-PM=1,又
∵ M 在⊙O 内,
∴ 1≤OM＜2.
∵ $OM=\sqrt{4-a^2}$,
∴ $1≤\sqrt{4-a^2}＜2$,
∴ $0＜a^2≤3$,即 $0＜a≤\sqrt{3}$.
∴ AB=2a ≤ 2√3,
∴ AB 的最大值为 2√3,C 选项错误,
D 选项正确.故选 D.

5. (2026·自贡期末)如图,AB是$\odot O$的直径,AB=4,C是上半圆AB上一点,且满足$∠ CAB=30°$,D是下半圆AB上一个动点,过点A作CD的垂线,垂足为E,则点D从点A运动到点B的过程中,线段BE的最小值是.

5. $\sqrt{7}-\sqrt{3}$ 解析:如图,取 AC 中点 M,连接 MB,ME,BC,

∵ AB 是⊙O 的直径,
∴ ∠ACB=90°.
∵ ∠CAB=30°,
∴ BC=
$\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×4=2$,
∴ $AC=\sqrt{AB^2-BC^2}=2\sqrt{3}$.
∵ AE ⊥ CD,
∴ ∠AEC=90°.
∵ M 是 AC 的中点,
∴ $CM=ME=\frac{1}{2}AC=\sqrt{3}$,
∴ $MB=\sqrt{BC^2+MC^2}=\sqrt{7}$.
∵ $BE≥MB-ME=\sqrt{7}-\sqrt{3}$,
∴ 线段
BE 的最小值是 $\sqrt{7}-\sqrt{3}$.

6. (2026·武威期末)如图,在边长为4的等边△AOB中,⊙O的半径为1,点P是AB边上的动点,过点P作⊙O的一条切线PQ,Q为切点,则线段PQ长度的最小值为.

6. $\sqrt{11}$ 解析:如图,连接 OP,OQ,作 OF ⊥ AB 于点 F,则
∠OFA=90°,

∵ △AOB 是边长为 4 的等边三角形,
∴ OA=AB=4,
∴ AF=
$BF=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×4=2$,
∴ $OF=\sqrt{OA^2-AF^2}=\sqrt{4^2-2^2}=2\sqrt{3}$
∵ PQ 与⊙O 相切于点 Q,OQ=1,
∴ PQ ⊥ OQ,
∴ ∠OQP=
90°,
∴ $PQ=\sqrt{OP^2-OQ^2}=\sqrt{OP^2-1^2}=\sqrt{OP^2-1}$.
∵ OP ≥
OF,且当 OP 的值最小时则 PQ 的值最小,
∴ 当 OP=OF=
$2\sqrt{3}$ 时,$PQ=\sqrt{(2\sqrt{3})^2-1}=\sqrt{11}$,
∴ 线段 PQ 长度的最小值
为 $\sqrt{11}$.

7. (2026·台州期末)如图,在正方形ABCD中,以边AD上的点O为圆心,OB的长为半径画弧,分别与边BC,CD交于点E,F.若OA=2CF,则CE:BE的值为.

7. $\frac{2\sqrt{2}-1}{4}$ 解析:连接 OF,OE,过点 O 作 OG ⊥ BC 于点 G,如
图所示:

由题意得 OF=OE=OB,
∴ $BG=EG=\frac{1}{2}BE$.
∵ 四边形 ABCD
是正方形,
∴ AD=DC=BC=AB,∠D=∠A=∠ABC=90°,
∴ 四边形 OABG 是矩形,
∴ $OA=BG=EG=\frac{1}{2}BE$,设 CF=x,
OA=2x,AD=DC=BC=AB=a,则有 DF=a-x,OD=a-2x,
∵ $OF^2=DF^2+OD^2=(a-x)^2+(a-2x)^2$,$OB^2=OA^2+AB^2=4x^2+$
$a^2$,
∴ $(a-x)^2+(a-2x)^2=4x^2+a^2$,整理得 $x^2-6ax+a^2=0$,解
得 $x_1=(3-2\sqrt{2})a$,$x_2=(3+2\sqrt{2})a$(不符合题意,舍去),
∴ $CF=(3-2\sqrt{2})a$,$OA=(6-4\sqrt{2})a=BG=EG$,
∴ $BE=(12-$
$8\sqrt{2})a$,
∴ $CE=BC-BE=a-(12-8\sqrt{2})a=(8\sqrt{2}-11)a$,
∴ $\frac{CE}{BE}=\frac{(8\sqrt{2}-11)a}{(12-8\sqrt{2})a}=\frac{2\sqrt{2}-1}{4}$.

8. (2026·泰州期中)如图,$△ ABC$中,$AB=AC$,$∠ A=32°$,射线$CP$从射线$CA$开始绕点$C$逆时针旋转$α$角$(0°＜α＜75°)$,与射线$AB$相交于点$D$,将$△ ACD$沿射线$CP$翻折至$△ A'CD$处,射线$CA'$与射线$AB$相交于点$E$.若$△ A'DE$是等腰三角形,则$α$为.

8. 21°或66°或42° 解析:由折叠得 $∠ACD=∠A'CD=α=$
$\frac{1}{2}∠ACA'$,$∠A=∠DA'C=32°$,分三种情况:
当 A'D=A'E 时,如图①:

∴ $∠A'DE=∠A'ED=\frac{1}{2}(180°-∠A')=74°$.
∵ ∠A'ED 是
△ACE 的一个外角,
∴ ∠ACE=∠A'ED-∠A=42°,
∴ $∠ACD=∠A'CD=α=\frac{1}{2}∠ACE=21°$;
当 A'D=A'E,△ADC 和△A'DC 位于射线 AB 的同侧时,如
图②:

∴ $∠A'DE=∠A'ED=\frac{1}{2}∠CA'D=16°$,
∴ $∠ACA'=180°-$
$∠A-∠A'EA=132°$,
∴ $∠ACD=∠A'CD=α=\frac{1}{2}∠ACA'=$
66°;
当 DA'=DE 时,∠A'=∠DEA'=32°.
∵ ∠DEA' 是△ACE 的一
个外角,
∴ ∠DEA'＞32°,
∴ 此种情况不成立;
当 ED=EA' 时,如图③:

∴ $∠EDA'=∠A'=32°$,
∴ $∠DEA'=180°-∠EDA'-∠A'=$
116°.
∵ ∠A'ED 是△ACE 的一个外角,
∴ ∠ACE=∠A'ED-
∠A=84°,
∴ $∠ACD=∠A'CD=α=\frac{1}{2}∠ACE=42°$.
综上所述,若△A'DE 是等腰三角形,则 α 为 21°或 66°
或 42°.