1. (2026·晋中期末)若点$A(3,y_1)$,$B(-1,y_2)$,$C(-2,y_3)$都在反比例函数$y=\frac{-\sqrt{k}-1}{x}$的图象上,则$y_1,y_2,y_3$的大小关系是 ()

A.$y_1＜y_3＜y_2$
B.$y_1＜y_2＜y_3$
C.$y_2＜y_3＜y_1$
D.$y_3＜y_1＜y_2$

1. A 解析:
∵$\sqrt{k}≥0$,
∴$-\sqrt{k}-1≤-1＜0$,
∴ 该函数图象位于第二、四象限,在每一象限内,y 随 x 的增大而增大,
∴ 点$C(-2,y_3)$,$B(-1,y_2)$位于第二象限,$A(3,y_1)$位于第四象限,
∴ $0＜y_3＜y_2$,$y_1＜0$,
∴ $y_1＜y_3＜y_2$.故选 A.

2. (2026·沧州期末)在平面直角坐标系中，$M(x_1,y_1)$和$N(x_2,y_2)$是抛物线$y=ax^2 -6a^2x$ $(a＞0)$上的两点，若对于$4≤ x_1≤ 2a+3$，$x_2=5a$，都有$y_1＜y_2$，则符合条件的整数$a$共有 ()

A.1个
B.2个
C.3个
D.4个

2. B 解析:
∵ $y=ax^2-6a^2x=a(x-3a)^2-9a^3$,$a＞0$,
∴ 图象开口向上,对称轴为直线$x=3a$.
∵ $x_2=5a$,
∴ $y_2=-5a^3$,根据对称性判断当$x=a$时,$y=-5a^3$,
∴ 对于$4≤ x_1≤ 2a+3$,$y_1＜-5a^3$,即$\begin{cases} a＜4, \\ 2a+3＜5a, \end{cases}$ 解得$1＜a＜4$.
∵ $a$ 为整数且$a＞0$,
∴ $a=2$或3,共2个.故选 B.

3. (2026·西安期末)当$-2≤ x≤ 3$时，二次函数$y=mx^2 - 2mx + 1$（$m$为常数，且$m≠ 0$）有最小值$-3$，则$m$的值为 $(\quad)$

A.$-\dfrac{4}{3}$
B.$-\dfrac{1}{2}$
C.$4$
D.$4$或$-\dfrac{1}{2}$

3. D 解析:
∵ 二次函数$y=mx^2-2mx+1$,
∴ 二次函数图象的对称轴为直线$x=-\frac{-2m}{2×m}=1$.
∵ 当$-2≤x≤3$时,该二次函数有最小值$-3$,
∴ 当$m＞0$时,当$x=1$时,$y=-3$,
∴ $m-2m+1=-3$,解得 $m=4$;当$m＜0$时,对称轴为直线$x=1$,故当$x=-2$时,$y$取得最小值$-3$,
∴ $4m+4m+1=-3$,解得 $m=-\frac{1}{2}$.综上所述,$m$ 的值为4或$-\frac{1}{2}$.故选 D.

4. (2026·福州期中)已知实数$p,q$满足$p^2+2p-3=0,3q^2-2q-1=0$,且$pq≠1$,则$\frac{p+3q}{q}$的值是 ()

A.4
B.12
C.0
D.4或12

4. C 解析:
∵ $p^2+2p-3=0$,
∴ $(p+3)(p-1)=0$,
∴ $p=-3$ 或 $p=1$.
∵ $3q^2-2q-1=0$,
∴ $(3q+1)(q-1)=0$,
∴ $q=-\frac{1}{3}$ 或 $q=1$.又
∵ $pq≠1$,当$p=-3$,$q=-\frac{1}{3}$时,$pq=1$,不符合题意;当$p=-3$,$q=1$时,$pq=-3≠1$,符合题意;当$p=1$,$q=-\frac{1}{3}$时,$pq=-\frac{1}{3}≠1$,符合题意;当$p=1$,$q=1$时,$pq=1$,不符合题意;若$p=-3$,$q=1$,则$\frac{p+3q}{q}=\frac{-3+3×1}{1}=0$,若$p=1$,$q=-\frac{1}{3}$,则$\frac{p+3q}{q}=\frac{1+3×(-\frac{1}{3})}{-\frac{1}{3}}=\frac{0}{-\frac{1}{3}}=0$,
∴ $\frac{p+3q}{q}=0$.故选 C.

5. (2026·湖州期末)二次函数$y=ax^2+bx+c(a＞0)$图象的对称轴过点$(1,0)$，该函数的图象与一次函数$y=x-2$的图象交于点$P(6,m)$，则$16a-4b+c$的值是.

5. 4 解析:二次函数$y=ax^2+bx+c(a＞0)$图象的对称轴方程为$x=-\frac{b}{2a}$.
∵ 对称轴过点$(1,0)$,
∴ $-\frac{b}{2a}=1$,即 $b=-2a$.点$P(6,m)$在一次函数$y=x-2$上,
∴ $m=6-2=4$,即 $P(6,4)$.
∵ 点$P(6,4)$在二次函数图象上,
∴ $a×6^2+b×6+c=4$,即$36a+6b+c=4$.将$b=-2a$代入上式,得$36a+6×(-2a)+c=4$,$36a-12a+c=4$,$24a+c=4$,将$b=-2a$代入 $16a-4b+c$,得$16a-4×(-2a)+c=16a+8a+c=24a+c$,
∴ $16a-4b+c=4$.

6. (2026·扬州期中)关于$x$的方程$a(x+m)^2 + b=0$的解是$x_1=-5,x_2=3$($a,m,b$均为常数，$a≠0$)，则方程$a(2x+m-1)^2 + b=0$的解是.

6. $x_1=2,x_2=-2$ 解析:由方程 $a(x+m)^2 + b=0$ 的解为$x_1=-5,x_2=3$,代入得 $a(-5+m)^2+b=0$,$a(3+m)^2+b=0$.两式相减可得$(-5+m)^2=(3+m)^2$,开方,得$-5+m=-(3+m)$或$-5+m=3+m$(不成立),即$-5+m=-3-m$,整理得$2m=2$,所以$m=1$.将$m=1$代入$a(3+m)^2+b=0$,得$16a+b=0$,即 $b=-16a$.将$m=1$和$b=-16a$代入方程$a(2x+m-1)^2+b=0$,得$a(2x+1-1)^2-16a=0$,即 $a(2x)^2-16a=0$,整理得$4ax^2-16a=0$.由于$a≠0$,两边除以$a$得$4x^2-16=0$,即$x^2=4$,解得$x_1=2,x_2=-2$.

7. (2026·北京月考)已知点$A(x_1,y_1)$，$B(x_2,y_2)$为抛物线$y=ax^2-2ax+1(a＞0)$上的两点，当$t-1＜x_1＜t+1$，$t+2＜x_2＜t+4$时，都有$y_1＞y_2$，$t$的取值范围为________.

7. $t≤ -\frac{3}{2}$ 解析:
∵ 抛物线解析式为$y=ax^2-2ax+1(a＞0)$,
∴ 抛物线开口向上,对称轴为直线$x=-\frac{-2a}{2a}=1$,
∴ 离对称轴越远,函数值越大.
∵ $t-1＜x_1＜t+1＜t+2＜x_2＜t+4$,
∴ 点A一定在点B的左侧.又
∵ $y_1＞y_2$,
∴ 点A和点B不能同时在对称轴右侧(在对称轴右侧y随x增大而增大,此时必定不满足题意),
∴ $t+1≤1$,
∴ $t≤0$;当$t+4≤1$,即$t≤-3$时,点A和点B都在对称轴的左侧,此时一定满足$y_1＞y_2$;当$-3＜t≤0$时,$-1＜t+2 ≤ 2$, $1 ＜ t + 4 ≤ 4$,
∵ $y_1 ＞ y_2$ 要恒成立,
∴ $\begin{cases} 1-(t+1)≥ t+4-1, \\ 1-(t+1)≥ |1-(t+2)|, \end{cases}$ 解得$t≤ -\frac{3}{2}$,
∴ $-3＜t≤ -\frac{3}{2}$.综上所述,$t≤ -\frac{3}{2}$.

8. (2026·大庆期末)定义:在平面直角坐标系中,点$A(x,y)$是函数图象上任意一点,纵坐标$y$与横坐标$x$的差“$y-x$”称为点$A$的“纵横值”.函数图象上所有点的“纵横值”中的最大值称为函数的“最优纵横值”.例如:点$A(1,5)$在函数$y=3x+2$图象上,点$A$的“纵横值”为$5-1=4$,函数$y=3x+2$图象上所有点的“纵横值”可以表示为$y-x=3x+2-x=2x+2$,当$-2≤x≤4$时$2x+2$的最大值为$8+2=10$,∴函数$y=3x+2(-2≤x≤4)$的“最优纵横值”为10.下列结论:
①点$B(-5,3)$的“纵横值”为8;
②函数$y=\frac{4}{x}+x(2≤x≤4)$的“最优纵横值”为1;
③若二次函数$y=-x^2+3x+3$,在$m-1≤x≤m+1$时,该二次函数的“最优纵横值”为3,则$m$的值为3或-1;
④二次函数$y=-x^2+kx+2k-m-\frac{5}{4}$的“最优纵横值”为$\frac{k^2+2k-4}{4}$,该二次函数的图象与$x$轴的一个交点为$A(n,0)$,若$-2≤n≤1$,则实数$k$的取值范围是$k≤-5$或$k≥\frac{9}{8}$.
其中正确结论的序号为.

8. ①③ 解析:①点$B(-5,3)$的纵横值为$y-x=3-(-5)=8$,正确;
②函数$y=\frac{4}{x}+x(2≤x≤4)$的纵横值$d=y-x=\frac{4}{x}$,在$2≤x≤4$上,$d$随$x$增大而减小,最大值为$x=2$时$d=2$,结论错误;
③二次函数$y=-x^2+3x+3$ 的纵横值$d=y-x=-x^2+2x+3=-(x-1)^2+4$,在$m-1≤x≤m+1$上的"最优纵横值"为3,
∵ 该二次函数图象的顶点坐标为$(1,4)$,开口向下,
∴ 该二次函数的最大值为4,
∴ 在$m-1$或$m+1$处取得最大值,
∴ $-(m-1-1)^2+4=3$或$-(m+1-1)^2+4=3$,解得$m=3$或$m=-1$.正确;
④二次函数$y=-x^2+kx+2k-m-\frac{5}{4}$的纵横值$d=y-x=-x^2+(k-1)x+2k-m-\frac{5}{4}$,其最优纵横值为$\frac{k^2+2k-4}{4}$,易得$m=k$,将$m=k$代入二次函数解析式可得$y=-x^2+kx+k-\frac{5}{4}$,与$x$轴交点为$A(n,0)$,且满足$-2≤n≤1$,当$x=-2$时,$y=-k-\frac{21}{4}$,当$x=1$时,$y=2k-\frac{9}{4}$,则$(-k-\frac{21}{4})·(2k-\frac{9}{4})≤ 0$,解得$k≤ -\frac{21}{4}$或$k≥ \frac{9}{8}$,但结论为$k≤-5$或$k≥\frac{9}{8}$,其中$-5＜k＜-\frac{21}{4}$时不成立,错误.
故答案为①③.