1. (2025·泉州模拟)情境:某工厂需从一块长80 cm、宽60 cm的矩形铁片上剪出两个半径相同的圆,要求两圆不重叠且不超出铁片边缘.
(1)任务1:如图①,两圆沿矩形铁片长边并排排列,直接写出圆的最大半径;
(2)任务2:如图②,AC是矩形ABCD的对角线,⊙O₁和⊙O₂分别是△ABC和△ACD的内切圆,⊙O₁与AB,BC,AC分别切于E,F,G三点,⊙O₂与CD,AD分别切于M,N两点,求⊙O₁的半径;
(3)任务3:观察图②可以发现,两圆之间以及两圆与矩形铁片边缘之间仍存在可供优化布局的余量,任务2的圆可能不是最大.在保证两圆不重叠且不超出铁片边缘的前提下,能否剪出比任务2更大的圆?如果能,请求出最大半径;如果不能,请说明理由.

(1)圆的最大半径为20 cm. 解析:
∵从一块长80 cm、宽60 cm的矩形铁片上剪出两个半径相同的圆,要求两圆不重叠且不超出铁片边缘,两圆沿矩形铁片长边并排排列,
∴两圆的直径之和最大为80 cm,即每个圆的直径最大为40 cm,
∴圆的最大半径为20 cm.
(2)如图①,连接O₁E,O₁F,设⊙O₁的半径为r cm,在Rt△ABC中,AC=√(AB²+BC²)=100 cm,
∵⊙O₁是△ABC的内切圆,
∴AE=AG,BE=BF,CF=CG,O₁E⊥AB,O₁F⊥BC.又
∵∠B=90°,
∴四边形EBFO₁为正方形,
∴r=BE=BF=(AB+BC-AC)/2=(60+80-100)/2=20(cm).
(3)能剪出比任务2更大的圆，设圆的半径为r cm,要使两等圆面积最大,则两圆与矩形四边相切,两圆圆心距O₁O₂=2r cm,如图②,连接O₁O₂,过O₁作CD的垂线,过O₂作BC的垂线,两垂线交于点I,则O₁I=(80-2r)cm,O₂I=(60-2r)cm,在Rt△O₁O₂I中,O₁O₂=√(O₁I²+O₂I²)=√((80-2r)²+(60-2r)²)=2r(cm),整理得r²-140r+2500=0,解得r=70±20√6,当r=70+20√6时,2r=140+40√6＞60,不符合题意;当r=70-20√6时,2r = 140 - 40√6 = 60 + √6400 - √9600 ＜ 60,且70 -20√6 = 20 + √2500 - √2400 ＞20,
∴能剪出比任务2更大的圆,最大半径为(70-20√6)cm.

2. (2025·福州月考)【问题提出】当你进入博物馆的展览厅时,你知道站在何处观赏最理想?
【数学眼光】如图①,设墙壁上的展品最高处点A距离地面a米,最低处点B距离地面b米,观赏者的眼睛点C距离地面m米,当过A,B,C三点的圆与过点C的水平线相切于点C时,视角∠ACB最大,站在此处观赏最理想.
【数学思维】小明同学想:“这是为什么呢?”如图②,他在过点C的水平线HC上任取异于点C的点C',连接AC'交⊙O于点D,连接BD,BC'.
(1)按照小明的思路,求证:∠ACB＞∠AC'B.
【问题解决】
(2)如图③,若墙壁上的展品最高处的点A距地面3米,最低处的点B距地面1.8米,最大视角为30°,求此时观赏者站在距墙壁多远的地方最理想,并求出观赏者的眼睛点C与地面的距离;
(3)如图③,设墙壁上的展品最高处的点A距地面a米,最低处的点B距地面b米,观赏者的眼睛点C距地面m米,直接写出最佳观赏距离CH的长.(用含a,b,m的代数式表示)

(1)
∵ ⌢AB = ⌢AB,
∴ ∠ACB = ∠ADB, ∠ADB ＞ ∠AC'B,
∴ ∠ACB＞∠AC'B.
(2)如图,连接AC,BC,OA,OB,作OG⊥AB于点G,由题知,AB=3-1.8=1.2(米),∠ACB=30°,
∴ ∠AOB = 2∠ACB = 60°.
∵ OA=OB,
∴ △OAB 为等边三角形,
∴ OA=OB=AB=1.2 米.
∵ OG⊥AB,
∴ AG=BG=0.6 米,
∴ OG=√(OA²-AG²)=√(1.2²-0.6²)= 3/5√3 (米),∠OGH = ∠OCH = ∠GHC = 90°,
∴ 四边形 OGHC 为矩形,
∴ GH=OC=OB=1.2 米,
∴ AH=GH+AG=1.8 米,
∴ H 距地面的距离为 3-1.8=1.2(米),即观赏者站在距离墙壁3/5√3米处最理想,观赏者的眼睛点 C 与地面的距离为 1.2 米.
(3)最佳观赏距离 CH 的长为√((a-m)(b-m))米.
解析:
∵ 展品最高处的点 A 距地面 a 米,最低处的点 B 距地面 b 米,观赏者的眼睛点 C 距地面 m 米,
∴ AB=(a-b)米.
∵ OA=OB,OG⊥AB,
∴ AG=BG=(a-b)/2 米.
∵ AH=(a-m)米,由(2)同理可知,四边形 OGHC 为矩形,
∴ OC = OA = GH = a - m - (a-b)/2 = ((a+b)/2 - m) 米,
∴ CH=OG=√(OA²-AG²)=√( ((a+b)/2 - m)² - ((a-b)/2)² )=√( ((a+b)/2 - m + (a-b)/2 ) ((a+b)/2 - m - (a-b)/2 ))=√((a-m)(b-m))(米).