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12.【数学问题】解方程组$\begin{cases} x+y=2,① \\5x-2(x+y)=6.② \end{cases}$
【思路分析】小明观察后发现可以把$x+y$视为一个整体，把方程①直接代入到方程②中，这样，就可以将方程②直接转化为一元一次方程，从而达到“消元”的目的。
(1)【完成解答】请你按照小明的思路，完成解方程组的过程；
(2)【迁移运用】请你按照小明的方法，解方程组$\begin{cases} a+b=3, \\5a+3c=1, \\a+b+c=0. \end{cases}$
【思路分析】小明观察后发现可以把$x+y$视为一个整体，把方程①直接代入到方程②中，这样，就可以将方程②直接转化为一元一次方程，从而达到“消元”的目的。
(1)【完成解答】请你按照小明的思路，完成解方程组的过程；
(2)【迁移运用】请你按照小明的方法，解方程组$\begin{cases} a+b=3, \\5a+3c=1, \\a+b+c=0. \end{cases}$
答案
12.解:(1)按照小明的思路,完成解方程组的过程如下:
$\begin{cases} x+y=2,① \\ 5x-2(x+y)=6.② \end{cases}$
把①代入②,得$5x-2×2=6$,
$\therefore x=2$,
把$x=2$代入①得:$2+y=2$,
$\therefore y=0$,
$\therefore \begin{cases} x=2, \\ y=0 \end{cases}$;
(2)$\begin{cases} a+b=3,① \\ 5a+3c=1,② \\ a+b+c=0.③ \end{cases}$
把①代入③得:$3+c=0$,
$\therefore c=-3$,
把$c=-3$代入②得:$5a-9=1$,
$\therefore a=2$,
把$a=2$代入①得:$2+b=3$,
$\therefore b=1$,
$\therefore \begin{cases} a=2, \\ b=1, \\ c=-3 \end{cases}$
$\begin{cases} x+y=2,① \\ 5x-2(x+y)=6.② \end{cases}$
把①代入②,得$5x-2×2=6$,
$\therefore x=2$,
把$x=2$代入①得:$2+y=2$,
$\therefore y=0$,
$\therefore \begin{cases} x=2, \\ y=0 \end{cases}$;
(2)$\begin{cases} a+b=3,① \\ 5a+3c=1,② \\ a+b+c=0.③ \end{cases}$
把①代入③得:$3+c=0$,
$\therefore c=-3$,
把$c=-3$代入②得:$5a-9=1$,
$\therefore a=2$,
把$a=2$代入①得:$2+b=3$,
$\therefore b=1$,
$\therefore \begin{cases} a=2, \\ b=1, \\ c=-3 \end{cases}$
解析
【分析】
（1）解第一个二元一次方程组时，观察到方程②中包含和方程①左边完全相同的代数式$x+y$，因此可以使用整体代入法，将①中$x+y=2$直接代入②，消去$y$得到仅含$x$的一元一次方程，求出$x$后再代入①即可求出$y$的值。
（2）解第二个三元一次方程组时，同理发现方程③中包含和方程①左边相同的代数式$a+b$，将①整体代入③可先消去$a$、$b$，直接求出$c$的值，再将$c$代入②求出$a$的值，最后把$a$代入①求出$b$的值即可。
【解析】
(1) 解方程组$\begin{cases} x+y=2,① \\5x-2(x+y)=6.② \end{cases}$
把①代入②，得$5x-2×2=6$，
解得$x=2$，
把$x=2$代入①，得$2+y=2$，
解得$y=0$。
(2) 解方程组$\begin{cases} a+b=3,① \\5a+3c=1,② \\a+b+c=0.③ \end{cases}$
把①代入③，得$3+c=0$，
解得$c=-3$，
把$c=-3$代入②，得$5a-9=1$，
解得$a=2$，
把$a=2$代入①，得$2+b=3$，
解得$b=1$。
【答案】
(1) $\begin{cases} x=2 \\ y=0 \end{cases}$；(2) $\begin{cases} a=2 \\ b=1 \\ c=-3 \end{cases}$
【知识点】
整体代入消元法，二元一次方程组的解法，三元一次方程组的解法
【点评】
本题重点考查整体代入的消元思想，将待解方程中重复出现的代数式视为整体代入，能够简化消元步骤、减少计算量，是解方程组时非常实用的技巧，需要熟练掌握这种解题思路。
【难度系数】
0.8
（1）解第一个二元一次方程组时，观察到方程②中包含和方程①左边完全相同的代数式$x+y$，因此可以使用整体代入法，将①中$x+y=2$直接代入②，消去$y$得到仅含$x$的一元一次方程，求出$x$后再代入①即可求出$y$的值。
（2）解第二个三元一次方程组时，同理发现方程③中包含和方程①左边相同的代数式$a+b$，将①整体代入③可先消去$a$、$b$，直接求出$c$的值，再将$c$代入②求出$a$的值，最后把$a$代入①求出$b$的值即可。
【解析】
(1) 解方程组$\begin{cases} x+y=2,① \\5x-2(x+y)=6.② \end{cases}$
把①代入②，得$5x-2×2=6$，
解得$x=2$，
把$x=2$代入①，得$2+y=2$，
解得$y=0$。
(2) 解方程组$\begin{cases} a+b=3,① \\5a+3c=1,② \\a+b+c=0.③ \end{cases}$
把①代入③，得$3+c=0$，
解得$c=-3$，
把$c=-3$代入②，得$5a-9=1$，
解得$a=2$，
把$a=2$代入①，得$2+b=3$，
解得$b=1$。
【答案】
(1) $\begin{cases} x=2 \\ y=0 \end{cases}$；(2) $\begin{cases} a=2 \\ b=1 \\ c=-3 \end{cases}$
【知识点】
整体代入消元法，二元一次方程组的解法，三元一次方程组的解法
【点评】
本题重点考查整体代入的消元思想，将待解方程中重复出现的代数式视为整体代入，能够简化消元步骤、减少计算量，是解方程组时非常实用的技巧，需要熟练掌握这种解题思路。
【难度系数】
0.8
13. 2024年10月30日,神舟十九号载人飞船成功发射,为了弘扬航天精神,某中学开展了航天知识竞答活动,学校随机抽取了七年级部分同学的成绩$x$(单位:分)进行整理.数据分成五组,A组:$50≤ x＜60$;B组:$60≤ x＜70$;C组:$70≤ x＜80$;D组:$80≤ x＜90$;E组:$90≤ x≤ 100$.根据以上数据,学校绘制了如图所示的不完整的频数分布直方图和扇形统计图.
根据以上信息,解答下列问题:
(1)本次随机抽取了
(2)规定本次航天知识竞答活动成绩在80分及以上的成绩为优秀,全校共有1750名学生,请估计全校取得优秀成绩的同学共有多少名.
根据以上信息,解答下列问题:
(1)本次随机抽取了
50
名同学,并补全频数分布直方图;(2)规定本次航天知识竞答活动成绩在80分及以上的成绩为优秀,全校共有1750名学生,请估计全校取得优秀成绩的同学共有多少名.
答案
13.解:(1)50,
补全频数分布直方图略;
(2)$1\ 750×\frac{15+8}{50}=805$(名).
补全频数分布直方图略;
(2)$1\ 750×\frac{15+8}{50}=805$(名).
解析
【分析】
(1)要求抽取的学生总数，可找两个统计图中信息都完整的组别：D组频数为15，在扇形统计图中占比30%，根据“总人数=对应组频数÷该组占比”即可算出总人数；要补全频数分布直方图，需先求出B组的频数，可通过“B组频数=总人数×B组占比”计算，也可用总人数减去其余四组的频数得到。
(2)要估计全校优秀人数，先计算抽取样本中80分及以上（即D、E两组）的人数占样本总数的比例，再用全校总人数乘这个比例，即可得到估计的全校优秀人数，这是用样本估计总体的思想。
【解析】
(1) 由统计图可知，D组的频数为15，占抽取总人数的30%，
因此本次随机抽取的学生人数为：$ 15 ÷ 30\% = 50 $（名）。
B组的频数为：$ 50 × 20\% = 10 $（名），或$ 50 - 5 -12 -15 -8 =10 $（名），据此补全60~70分对应高度为10的长方形即可，补图略。
(2) 抽取的样本中，80分及以上的人数为D组和E组的人数和：$15+8=23$（名），
占抽取总人数的比例为$\frac{23}{50}$，
因此估计全校优秀人数为：$1750 × \frac{15+8}{50} = 1750 × \frac{23}{50} = 805$（名）。
【答案】
(1)50，补全频数分布直方图略；
(2)估计全校取得优秀成绩的同学共有805名。
【知识点】
频数分布直方图，扇形统计图，用样本估计总体
【点评】
本题是统计图表的综合应用题，解题核心是结合两种统计图的信息，先求出样本总容量，再利用样本特征估计总体特征，侧重考查学生从图表中提取有效信息、运用统计知识解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.7
(1)要求抽取的学生总数，可找两个统计图中信息都完整的组别：D组频数为15，在扇形统计图中占比30%，根据“总人数=对应组频数÷该组占比”即可算出总人数；要补全频数分布直方图，需先求出B组的频数，可通过“B组频数=总人数×B组占比”计算，也可用总人数减去其余四组的频数得到。
(2)要估计全校优秀人数，先计算抽取样本中80分及以上（即D、E两组）的人数占样本总数的比例，再用全校总人数乘这个比例，即可得到估计的全校优秀人数，这是用样本估计总体的思想。
【解析】
(1) 由统计图可知，D组的频数为15，占抽取总人数的30%，
因此本次随机抽取的学生人数为：$ 15 ÷ 30\% = 50 $（名）。
B组的频数为：$ 50 × 20\% = 10 $（名），或$ 50 - 5 -12 -15 -8 =10 $（名），据此补全60~70分对应高度为10的长方形即可，补图略。
(2) 抽取的样本中，80分及以上的人数为D组和E组的人数和：$15+8=23$（名），
占抽取总人数的比例为$\frac{23}{50}$，
因此估计全校优秀人数为：$1750 × \frac{15+8}{50} = 1750 × \frac{23}{50} = 805$（名）。
【答案】
(1)50，补全频数分布直方图略；
(2)估计全校取得优秀成绩的同学共有805名。
【知识点】
频数分布直方图，扇形统计图，用样本估计总体
【点评】
本题是统计图表的综合应用题，解题核心是结合两种统计图的信息，先求出样本总容量，再利用样本特征估计总体特征，侧重考查学生从图表中提取有效信息、运用统计知识解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.7
