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5 新情境 数学文化 [2025连云港]《九章算术》中有一个问题：“今有凫起南海，七日至北海；雁起北海，九日至南海。今凫雁俱起，问何日相逢？”（凫：野鸭。所提问题即“野鸭与大雁从南海和北海同时起飞，经过多少天能够相遇？”）如果设经过$x$天能够相遇，那么根据题意，可列方程为（
A.$\frac{1}{7}x + \frac{1}{9}x =1$
B.$\frac{1}{7}x - \frac{1}{9}x =1$
C.$7x +9x=1$
D.$9x -7x=1$
A
）A.$\frac{1}{7}x + \frac{1}{9}x =1$
B.$\frac{1}{7}x - \frac{1}{9}x =1$
C.$7x +9x=1$
D.$9x -7x=1$
答案
5. A
解析
【分析】
这是一道行程类相遇问题的列方程题，解题思路如下：首先遇到总路程未知的行程问题时，我们通常将总路程设为单位“1”简化计算；接下来分别计算野鸭和大雁的飞行速度，速度=总路程÷总时间；最后根据相遇问题的核心等量关系：两者行驶的路程之和等于总路程，代入对应量即可列出方程。
【解析】
解：将南海到北海的总路程看作单位“1”。
1. 计算两者速度：野鸭飞完全程需7天，每天飞行全程的$\frac{1}{7}$，即速度为$\frac{1}{7}$；大雁飞完全程需9天，每天飞行全程的$\frac{1}{9}$，即速度为$\frac{1}{9}$。
2. 找等量关系列方程：经过$x$天相遇时，野鸭飞行的路程为$\frac{1}{7}x$，大雁飞行的路程为$\frac{1}{9}x$，相遇时两者路程和等于总路程1，因此可列方程：$\frac{1}{7}x + \frac{1}{9}x =1$。
综上，答案选A。
【答案】
A
【知识点】
1. 相遇问题 2. 一元一次方程的应用 3. 单位“1”法
【点评】
本题结合《九章算术》的传统数学文化考查行程问题的方程列写，解题的核心是合理设定单位“1”推导速度，再利用相遇问题的路程和等量关系列式，出题形式新颖，侧重对基础等量关系的考查。
【难度系数】
0.8
这是一道行程类相遇问题的列方程题，解题思路如下：首先遇到总路程未知的行程问题时，我们通常将总路程设为单位“1”简化计算；接下来分别计算野鸭和大雁的飞行速度，速度=总路程÷总时间；最后根据相遇问题的核心等量关系：两者行驶的路程之和等于总路程，代入对应量即可列出方程。
【解析】
解：将南海到北海的总路程看作单位“1”。
1. 计算两者速度：野鸭飞完全程需7天，每天飞行全程的$\frac{1}{7}$，即速度为$\frac{1}{7}$；大雁飞完全程需9天，每天飞行全程的$\frac{1}{9}$，即速度为$\frac{1}{9}$。
2. 找等量关系列方程：经过$x$天相遇时，野鸭飞行的路程为$\frac{1}{7}x$，大雁飞行的路程为$\frac{1}{9}x$，相遇时两者路程和等于总路程1，因此可列方程：$\frac{1}{7}x + \frac{1}{9}x =1$。
综上，答案选A。
【答案】
A
【知识点】
1. 相遇问题 2. 一元一次方程的应用 3. 单位“1”法
【点评】
本题结合《九章算术》的传统数学文化考查行程问题的方程列写，解题的核心是合理设定单位“1”推导速度，再利用相遇问题的路程和等量关系列式，出题形式新颖，侧重对基础等量关系的考查。
【难度系数】
0.8
6 [2025 陕西]科技馆开展“太空遨游”和“深海探秘”两项科技体验活动，某校组织200名学生参加，每名学生必须参加且只参加其中的一项.经统计，参加“太空遨游”的人数比参加“深海探秘”的人数的2倍还多20，则参加“深海探秘”的人数为
60
.答案
6. 60
解析
【分析】
这是一道一元一次方程的实际应用题，解题关键是梳理题目中的等量关系。首先明确两个核心数量关系：①参加两项活动的总人数为200人；②参加“太空遨游”的人数=参加“深海探秘”人数×2 + 20。我们可以设参加“深海探秘”的人数为未知数，用含未知数的式子表示参加“太空遨游”的人数，再根据总人数的等量关系列方程求解即可。
【解析】
解：设参加“深海探秘”的人数为$ x $人，则参加“太空遨游”的人数为$ (2x+20) $人。
根据总人数为200人，列方程得：
$ x + (2x + 20) = 200 $
合并同类项，得：$ 3x + 20 = 200 $
移项，得：$ 3x = 200 - 20 $
计算得：$ 3x = 180 $
系数化为1，得：$ x = 60 $
经检验，$ x=60 $符合题意。
【答案】
60
【知识点】
1. 一元一次方程的应用
2. 和差倍分问题
【点评】
本题属于基础应用题，核心是找准题目中的等量关系，掌握列方程解应用题的“设、列、解、验”基本步骤即可快速解答。
【难度系数】
0.8
这是一道一元一次方程的实际应用题，解题关键是梳理题目中的等量关系。首先明确两个核心数量关系：①参加两项活动的总人数为200人；②参加“太空遨游”的人数=参加“深海探秘”人数×2 + 20。我们可以设参加“深海探秘”的人数为未知数，用含未知数的式子表示参加“太空遨游”的人数，再根据总人数的等量关系列方程求解即可。
【解析】
解：设参加“深海探秘”的人数为$ x $人，则参加“太空遨游”的人数为$ (2x+20) $人。
根据总人数为200人，列方程得：
$ x + (2x + 20) = 200 $
合并同类项，得：$ 3x + 20 = 200 $
移项，得：$ 3x = 200 - 20 $
计算得：$ 3x = 180 $
系数化为1，得：$ x = 60 $
经检验，$ x=60 $符合题意。
【答案】
60
【知识点】
1. 一元一次方程的应用
2. 和差倍分问题
【点评】
本题属于基础应用题，核心是找准题目中的等量关系，掌握列方程解应用题的“设、列、解、验”基本步骤即可快速解答。
【难度系数】
0.8
7 为全面提升学生的安全防范意识与应急处理能力，筑牢校园安全防线，某校组织安全意识知识竞赛，试题共25题，评分规则是答对一题得6分，不答或答错一题扣2分。已知该校的聪聪在此次竞赛中得了118分，则他答对了
21
题。答案
7. 21
解析
【分析】
这是一道积分类的一元一次方程应用题，解题核心是找准题目中的等量关系：总得分=答对题目获得的分数 - 不答或答错题目扣掉的分数。我们可以先设答对的题数为未知数，用总题数表示出不答/答错的题数，再根据等量关系列方程求解即可。
【解析】
解：设聪聪答对了$ x $道题，则不答或答错的题数为$ (25-x) $道。
根据评分规则和总得分可列方程：
$ 6x - 2(25 - x) = 118 $
去括号得：$ 6x - 50 + 2x = 118 $
合并同类项得：$ 8x - 50 = 118 $
移项、计算得：$ 8x = 168 $
系数化为1得：$ x = 21 $
经检验，$ x=21 $符合题意。
【答案】
21
【知识点】
一元一次方程的应用；列方程解实际问题
【点评】
本题属于常见的实际应用类题型，解题关键是准确梳理得分和扣分的计算规则，找到正确的等量关系列方程，计算过程中要注意去括号时的符号变化，避免运算错误。
【难度系数】
0.8
这是一道积分类的一元一次方程应用题，解题核心是找准题目中的等量关系：总得分=答对题目获得的分数 - 不答或答错题目扣掉的分数。我们可以先设答对的题数为未知数，用总题数表示出不答/答错的题数，再根据等量关系列方程求解即可。
【解析】
解：设聪聪答对了$ x $道题，则不答或答错的题数为$ (25-x) $道。
根据评分规则和总得分可列方程：
$ 6x - 2(25 - x) = 118 $
去括号得：$ 6x - 50 + 2x = 118 $
合并同类项得：$ 8x - 50 = 118 $
移项、计算得：$ 8x = 168 $
系数化为1得：$ x = 21 $
经检验，$ x=21 $符合题意。
【答案】
21
【知识点】
一元一次方程的应用；列方程解实际问题
【点评】
本题属于常见的实际应用类题型，解题关键是准确梳理得分和扣分的计算规则，找到正确的等量关系列方程，计算过程中要注意去括号时的符号变化，避免运算错误。
【难度系数】
0.8
8 某校组织七年级的学生们开展了一场拔草活动.(1)班和(2)班共同负责校园实践区域的拔草任务,(1)班单独拔完需3 h,(2)班单独拔完需1 h,由于各班的时间安排不一致,先由(1)班单独拔了一段时间后,接着由(2)班单独拔完该实践区域的剩余任务.若(1)班和(2)班拔完该区域共用2 h,则(1)班单独拔草
9 完成如下项目式学习表.
$\dfrac{3}{2}$
h.9 完成如下项目式学习表.
答案
8. $\dfrac{3}{2}$
9. 任务一:设安排$x$名工人生产镜框,则安排$(45-x)$名工人生产镜腿.根据题意,得$2×100x=160(45-x)$,解得$x=20$.所以$45-x=45-20=25$.所以安排20名工人生产镜框,25名工人生产镜腿,才能使每天生产的镜框和镜腿恰好配套 任务二:根据题意,得$\dfrac{80×(1+50\%)×70\%-80}{80}×100\%=5\%$,则售出的每一副镜架的利润率是5% 任务三:设剩余的镜架应打$y$折出售.根据题意,得$80×(1+50\%)×70\%×90+80×(1+50\%)×\dfrac{y}{10}×10-80×100=80×100×8\%$,解得$y=9$.所以剩余的镜架应打九折出售
9. 任务一:设安排$x$名工人生产镜框,则安排$(45-x)$名工人生产镜腿.根据题意,得$2×100x=160(45-x)$,解得$x=20$.所以$45-x=45-20=25$.所以安排20名工人生产镜框,25名工人生产镜腿,才能使每天生产的镜框和镜腿恰好配套 任务二:根据题意,得$\dfrac{80×(1+50\%)×70\%-80}{80}×100\%=5\%$,则售出的每一副镜架的利润率是5% 任务三:设剩余的镜架应打$y$折出售.根据题意,得$80×(1+50\%)×70\%×90+80×(1+50\%)×\dfrac{y}{10}×10-80×100=80×100×8\%$,解得$y=9$.所以剩余的镜架应打九折出售
解析
第8题
【分析】
本题属于工程问题，通常将总工作量设为单位“1”，首先计算两个班的工作效率：（1）班单独完成要3h，效率为每小时完成总工作量的$\frac{1}{3}$；（2）班单独完成要1h，效率为每小时完成总工作量的1。设（1）班单独拔草的时间为$x$h，那么（2）班的工作时间就是总时长2h减去$x$h，即$(2-x)$h。根据“（1）班完成的工作量+（2）班完成的工作量=总工作量1”列方程求解即可。
【解析】
设总工作量为单位“1”，则（1）班的工作效率为$\frac{1}{3}$/h，（2）班的工作效率为1/h。
设（1）班单独拔草$x$h，则（2）班单独拔草$(2-x)$h，根据题意列方程：
$\frac{1}{3}x + 1×(2-x) = 1$
整理得：$\frac{1}{3}x +2 -x =1$
移项合并同类项得：$-\frac{2}{3}x = -1$
解得：$x=\frac{3}{2}$
【答案】
$\dfrac{3}{2}$
【知识点】
一元一次方程应用，工程问题
【点评】
本题是一元一次方程在工程问题中的基础应用，掌握工作总量、工作效率、工作时间三者的关系，找准等量关系是解题关键。
【难度系数】
0.7
---
第9题
【分析】
任务一为配套问题：1副镜架需要1个镜框和2个镜腿，要恰好配套，需满足镜腿总数量=2×镜框总数量。设$x$名工人生产镜框，剩余$(45-x)$名工人生产镜腿，分别表示出每天生产的镜框、镜腿总数，代入等量关系列方程求解即可。
任务二为利润率计算问题：利润率=（售价-成本）÷成本×100%，先计算出提价50%再打七折后的实际售价，代入公式计算即可得到利润率。
任务三为打折销售问题：总获利8%即总销售额=总成本×(1+8%)，设剩余镜架打$y$折，分别表示出90副按七折销售的销售额、10副按$y$折销售的销售额，两者相加等于总销售额，列方程求解即可。
【解析】
任务一
设安排$x$名工人生产镜框，则安排$(45-x)$名工人生产镜腿。
要使镜框和镜腿恰好配套，需满足镜腿数量是镜框数量的2倍，列方程：
$2×100x = 160(45-x)$
展开得：$200x = 7200 - 160x$
移项合并得：$360x = 7200$
解得：$x=20$
生产镜腿的工人数量为$45-20=25$（名）。
任务二
首先计算镜架的标价：$80×(1+50\%)=120$元
打七折后的实际售价：$120×70\%=84$元
根据利润率公式：
$\mathrm{利润率}=\frac{\mathrm{售价}-\mathrm{成本}}{\mathrm{成本}}×100\%=\frac{84-80}{80}×100\%=5\%$
任务三
设剩余的镜架应打$y$折出售。
100副镜架的总成本为：$80×100=8000$元
要总获利8%，总销售额应为：$8000×(1+8\%)=8640$元
90副按七折销售的销售额：$80×(1+50\%)×70\%×90=7560$元
剩余10副的售价为$80×(1+50\%)×\frac{y}{10}=12y$元，10副销售额为$12y×10=120y$元
根据总销售额列方程：
$7560 + 120y = 8640$
解得：$y=9$
【答案】
任务一：安排20名工人生产镜框，25名工人生产镜腿，能使每天生产的镜框和镜腿恰好配套；
任务二：售出的每一副镜架的利润率是5%；
任务三：剩余的镜架应打九折出售。
【知识点】
一元一次方程应用，配套问题，商品利润问题
【点评】
本题是一元一次方程实际应用的综合题型，覆盖了配套问题、利润率计算、打折销售三类常见考点，解题的核心是结合不同场景的数量关系，准确找到等量关系列方程求解。
【难度系数】
0.6
【分析】
本题属于工程问题，通常将总工作量设为单位“1”，首先计算两个班的工作效率：（1）班单独完成要3h，效率为每小时完成总工作量的$\frac{1}{3}$；（2）班单独完成要1h，效率为每小时完成总工作量的1。设（1）班单独拔草的时间为$x$h，那么（2）班的工作时间就是总时长2h减去$x$h，即$(2-x)$h。根据“（1）班完成的工作量+（2）班完成的工作量=总工作量1”列方程求解即可。
【解析】
设总工作量为单位“1”，则（1）班的工作效率为$\frac{1}{3}$/h，（2）班的工作效率为1/h。
设（1）班单独拔草$x$h，则（2）班单独拔草$(2-x)$h，根据题意列方程：
$\frac{1}{3}x + 1×(2-x) = 1$
整理得：$\frac{1}{3}x +2 -x =1$
移项合并同类项得：$-\frac{2}{3}x = -1$
解得：$x=\frac{3}{2}$
【答案】
$\dfrac{3}{2}$
【知识点】
一元一次方程应用，工程问题
【点评】
本题是一元一次方程在工程问题中的基础应用，掌握工作总量、工作效率、工作时间三者的关系，找准等量关系是解题关键。
【难度系数】
0.7
---
第9题
【分析】
任务一为配套问题：1副镜架需要1个镜框和2个镜腿，要恰好配套，需满足镜腿总数量=2×镜框总数量。设$x$名工人生产镜框，剩余$(45-x)$名工人生产镜腿，分别表示出每天生产的镜框、镜腿总数，代入等量关系列方程求解即可。
任务二为利润率计算问题：利润率=（售价-成本）÷成本×100%，先计算出提价50%再打七折后的实际售价，代入公式计算即可得到利润率。
任务三为打折销售问题：总获利8%即总销售额=总成本×(1+8%)，设剩余镜架打$y$折，分别表示出90副按七折销售的销售额、10副按$y$折销售的销售额，两者相加等于总销售额，列方程求解即可。
【解析】
任务一
设安排$x$名工人生产镜框，则安排$(45-x)$名工人生产镜腿。
要使镜框和镜腿恰好配套，需满足镜腿数量是镜框数量的2倍，列方程：
$2×100x = 160(45-x)$
展开得：$200x = 7200 - 160x$
移项合并得：$360x = 7200$
解得：$x=20$
生产镜腿的工人数量为$45-20=25$（名）。
任务二
首先计算镜架的标价：$80×(1+50\%)=120$元
打七折后的实际售价：$120×70\%=84$元
根据利润率公式：
$\mathrm{利润率}=\frac{\mathrm{售价}-\mathrm{成本}}{\mathrm{成本}}×100\%=\frac{84-80}{80}×100\%=5\%$
任务三
设剩余的镜架应打$y$折出售。
100副镜架的总成本为：$80×100=8000$元
要总获利8%，总销售额应为：$8000×(1+8\%)=8640$元
90副按七折销售的销售额：$80×(1+50\%)×70\%×90=7560$元
剩余10副的售价为$80×(1+50\%)×\frac{y}{10}=12y$元，10副销售额为$12y×10=120y$元
根据总销售额列方程：
$7560 + 120y = 8640$
解得：$y=9$
【答案】
任务一：安排20名工人生产镜框，25名工人生产镜腿，能使每天生产的镜框和镜腿恰好配套；
任务二：售出的每一副镜架的利润率是5%；
任务三：剩余的镜架应打九折出售。
【知识点】
一元一次方程应用，配套问题，商品利润问题
【点评】
本题是一元一次方程实际应用的综合题型，覆盖了配套问题、利润率计算、打折销售三类常见考点，解题的核心是结合不同场景的数量关系，准确找到等量关系列方程求解。
【难度系数】
0.6
10 新情境 学科融合 物理学“杠杆原理”如下：动力×动力臂=阻力×阻力臂(如图①)，数学实验社团在活动课上用一根质地均匀的轻
质木杆和若干个钩码做实验，如图②，在轻质木杆O处用一根细线悬挂，左端A处挂一重物，右端B处挂钩码，每个钩码的质量
是50 g.若$AO=15\ \mathrm{cm}$，$OB=45\ \mathrm{cm}$，挂4个钩码可使轻质木杆水平位置平衡.设重物的质量为$x\ \mathrm{g}$，则根据题意，可列方程为(
A.$15x=45×50×4$
B.$45x=415×50×4$
C.$4×15x=45×50$
D.$4×45x=15×5$
质木杆和若干个钩码做实验，如图②，在轻质木杆O处用一根细线悬挂，左端A处挂一重物，右端B处挂钩码，每个钩码的质量
是50 g.若$AO=15\ \mathrm{cm}$，$OB=45\ \mathrm{cm}$，挂4个钩码可使轻质木杆水平位置平衡.设重物的质量为$x\ \mathrm{g}$，则根据题意，可列方程为(
A
)A.$15x=45×50×4$
B.$45x=415×50×4$
C.$4×15x=45×50$
D.$4×45x=15×5$
答案
10. A
解析
【分析】
解题时首先要明确杠杆平衡的核心等量关系：动力×动力臂=阻力×阻力臂。首先分别找到阻力、阻力臂、动力、动力臂对应的数值：左端重物质量为x g，对应的力臂是AO=15 cm，因此阻力与阻力臂的乘积为15x；右端4个钩码每个质量50 g，总质量为50×4 g，对应的力臂是OB=45 cm，因此动力与动力臂的乘积为45×50×4。根据平衡时两者相等即可列出方程，再匹配选项即可。
【解析】
根据杠杆平衡原理：$\mathrm{阻力} × \mathrm{阻力臂} = \mathrm{动力} × \mathrm{动力臂}$。
本题中，阻力对应左端重物的作用力，阻力臂为$AO=15\ \mathrm{cm}$，因此阻力×阻力臂$=15x$；
动力对应右端钩码的总作用力，钩码总质量为$4×50\ \mathrm{g}$，动力臂为$OB=45\ \mathrm{cm}$，因此动力×动力臂$=45×50×4$；
木杆平衡时两者相等，可列方程：$15x=45×50×4$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
杠杆平衡原理，根据等量关系列方程
【点评】
本题属于跨学科融合类题目，结合物理中的杠杆原理考查列方程的能力，解题关键是准确识别公式中各个量对应的实际数值，代入等量关系即可求解，侧重对基础知识应用能力的考查。
【难度系数】
0.8
解题时首先要明确杠杆平衡的核心等量关系：动力×动力臂=阻力×阻力臂。首先分别找到阻力、阻力臂、动力、动力臂对应的数值：左端重物质量为x g，对应的力臂是AO=15 cm，因此阻力与阻力臂的乘积为15x；右端4个钩码每个质量50 g，总质量为50×4 g，对应的力臂是OB=45 cm，因此动力与动力臂的乘积为45×50×4。根据平衡时两者相等即可列出方程，再匹配选项即可。
【解析】
根据杠杆平衡原理：$\mathrm{阻力} × \mathrm{阻力臂} = \mathrm{动力} × \mathrm{动力臂}$。
本题中，阻力对应左端重物的作用力，阻力臂为$AO=15\ \mathrm{cm}$，因此阻力×阻力臂$=15x$；
动力对应右端钩码的总作用力，钩码总质量为$4×50\ \mathrm{g}$，动力臂为$OB=45\ \mathrm{cm}$，因此动力×动力臂$=45×50×4$；
木杆平衡时两者相等，可列方程：$15x=45×50×4$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
杠杆平衡原理，根据等量关系列方程
【点评】
本题属于跨学科融合类题目，结合物理中的杠杆原理考查列方程的能力，解题关键是准确识别公式中各个量对应的实际数值，代入等量关系即可求解，侧重对基础知识应用能力的考查。
【难度系数】
0.8
