9 如图，在反映特殊四边形之间关系的知识结构图中，①②③④表示需要添加的条件，则下列添加的条件错误的是（）

A.①表示有一个角是直角
B.②表示有一组邻边相等
C.③表示一组对边相等
D.④表示有一个角是直角

9. C

【分析】
解决本题的核心是熟练掌握特殊平行四边形的判定定理，理清各图形之间的转化逻辑：先分别明确平行四边形转化为矩形、平行四边形转化为菱形、矩形转化为正方形、菱形转化为正方形需要添加的条件，再逐一核对选项判断正误即可。
【解析】
我们逐个分析选项：
A. 有一个角是直角的平行四边形是矩形，因此①添加“有一个角是直角”可使平行四边形转化为矩形，该选项正确，不符合题意；
B. 有一组邻边相等的平行四边形是菱形，因此②添加“有一组邻边相等”可使平行四边形转化为菱形，该选项正确，不符合题意；
C. 矩形本身的对边就相等，仅添加“一组对边相等”无法让矩形变为正方形，矩形需要添加“一组邻边相等”等条件才能转化为正方形，因此该选项错误，符合题意；
D. 有一个角是直角的菱形是正方形，因此④添加“有一个角是直角”可使菱形转化为正方形，该选项正确，不符合题意。
综上，选C。
【答案】
C
【知识点】
矩形的判定；菱形的判定；正方形的判定
【点评】
本题属于基础概念题，主要考查特殊平行四边形之间的转化关系，熟练掌握各类特殊平行四边形的判定定理是解题的关键，要注意区分不同转化方向需要添加的条件，避免概念混淆。
【难度系数】
0.7

10 在平面直角坐标系中，四边形ABCD的顶点坐标分别是A(-3,0),B(-3,2),C(3,2),D(3,0),则四边形ABCD是（）

A.矩形
B.菱形
C.正方形
D.三角形

10. A

【分析】
解题思路如下：首先根据点的坐标特征判断各边的位置关系：横坐标相同的两点连线垂直于x轴，纵坐标相同的两点连线垂直于y轴，由此可推出对边互相平行，确定四边形是平行四边形；再计算各边的长度，结合有无直角、邻边是否相等的特征，对照特殊平行四边形的判定条件逐一排除错误选项，即可得出答案。
【解析】
1. 判断边的位置关系与长度：
点A(-3,0)和B(-3,2)横坐标相同，故AB⊥x轴，AB的长度为|2-0|=2；
点B(-3,2)和C(3,2)纵坐标相同，故BC⊥y轴，BC的长度为|3-(-3)|=6；
点C(3,2)和D(3,0)横坐标相同，故CD⊥x轴，CD的长度为|0-2|=2；
点D(3,0)和A(-3,0)纵坐标相同，故AD⊥y轴，AD的长度为|-3-3|=6。
2. 判定平行四边形：
由AB//CD，AD//BC，可知四边形ABCD是平行四边形。
3. 判定特殊平行四边形：
因为AB⊥x轴，AD⊥y轴，x轴与y轴垂直，所以∠BAD=90°，因此平行四边形ABCD是矩形。
4. 排除其他选项：
邻边AB=2≠AD=6，故不是菱形或正方形；四边形有4个顶点，不可能是三角形，故排除B、C、D选项。
【答案】
A
【知识点】
坐标与图形性质；矩形的判定；特殊平行四边形的识别
【点评】
本题是基础题，结合平面直角坐标系考查特殊四边形的判定，解题核心是通过坐标特征快速得到边的位置关系和长度，再结合对应判定定理求解即可。
【难度系数】
0.9

11 数形结合思想 如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC的顶点O(0,0),A(2,2),则顶点C的坐标是。

11. $(2,-2)$

【分析】
解题思路：首先根据正方形的性质，可知OA=OC，∠AOC=90°，我们可以通过作辅助线构造全等三角形，将已知点A的坐标转化为点C的坐标相关的线段长度；也可利用正方形的对称性，正方形对角线OB在x轴上，因此点A和点C关于x轴对称，直接推导C的坐标。步骤：①过A作x轴垂线，过C作x轴垂线，证明两个直角三角形全等；②根据A点坐标得到对应线段长度；③结合C所在象限确定坐标符号。
【解析】
解：
∵四边形OABC是正方形，
∴OA=OC，∠AOC=90°，
∴∠AOD + ∠COE = 90°。
过点A作AD⊥x轴于D，过点C作CE⊥x轴于E，
∴∠ADO=∠OEC=90°，
∴∠OAD + ∠AOD = 90°，
∴∠OAD=∠COE。
在△OAD和△COE中：
$\{\begin{array}{l}∠ ADO=∠ OEC\\ ∠ OAD=∠ COE\\ OA=OC\end{array} $
∴△OAD≌△COE（AAS）。
∵A点坐标为(2,2)，
∴OD=2，AD=2，
∴OE=AD=2，CE=OD=2。
又
∵点C在第四象限，横坐标为正，纵坐标为负，
∴点C的坐标为(2,-2)。
（也可利用对称性求解：正方形对角线OB在x轴上，点A与点C关于x轴对称，A(2,2)，关于x轴对称的点横坐标不变，纵坐标互为相反数，故C(2,-2)）
【答案】
$(2,-2)$
【知识点】
正方形的性质；全等三角形的判定与性质；平面直角坐标系中点的坐标特征
【点评】
本题是数形结合的典型题，将平面直角坐标系与正方形性质结合，解题的关键是合理利用正方形的性质构造全等三角形或利用对称性，是几何与坐标系结合的基础题型。
【难度系数】
0.7

12 如图，将$△ ABC$沿着BC方向平移得到$△ DEF$，连接AD，只需添加一个条件即可证明四边形ABED是菱形，这个条件是（写出一个即可）。

12. 答案不唯一,如 $AB=AD$ 【解析】由平移的性质,得$AB// DE, AB = DE, \therefore$ 四边形 $ABED$ 是平行四边形. 又 $\because AB=AD, \therefore □ ABED$ 是菱形.

【分析】
首先回忆平移的性质：图形平移后对应边平行且相等，因此由△ABC沿BC方向平移得到△DEF，可推出AB与DE平行且相等，进而可判定四边形ABED是平行四边形。接下来回忆菱形的判定定理：一组邻边相等的平行四边形是菱形，对角线互相垂直的平行四边形是菱形。因此只需添加满足上述判定的条件即可，最简便的是添加一组邻边相等的条件，比如AB=AD。
【解析】
由平移的性质可得：$AB// DE$，$AB=DE$，
根据“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”，可知四边形$ABED$是平行四边形。
若添加条件$AB=AD$，根据“一组邻边相等的平行四边形是菱形”，可得$□ ABED$是菱形。
（也可添加$AB=BE$、$AE⊥ BD$等合理条件）
【答案】
答案不唯一，如$AB=AD$
【知识点】
平移的性质；平行四边形的判定；菱形的判定
【点评】
本题为开放性题目，结合图形平移的性质考查特殊四边形的判定，熟练掌握平行四边形、菱形的判定定理即可快速解答，添加的条件只要合理即可。
【难度系数】
0.8

13 如图，四边形ABCD为正方形，点E在正方形ABCD内部，连接AE，DE，$△ ADE$是等边三角形，过点E作$EF ⊥ AB$于点F，若$AD=4$，求BF的长。

13. $\because$ 四边形 $ABCD$ 为正方形, $\therefore AD=AB=4, ∠ DAB=90°.$
又 $\because △ ADE$ 为等边三角形, $\therefore AE=AD=4, ∠ DAE=60°.$
$\therefore ∠ FAE=30°. \because EF ⊥ AB, \therefore EF=\frac{1}{2}AE=2. \therefore AF=\sqrt{AE^2-EF^2}=\sqrt{4^2-2^2}=2\sqrt{3}. \therefore BF=AB-AF=4-2\sqrt{3}$

【分析】
解题时从已知特殊图形的性质逐步推导：首先利用正方形的性质得到AB的长度与∠DAB的度数；再结合等边三角形的性质得到AE的长度与∠DAE的度数，进而求出∠EAF的度数；接着在Rt△AEF中，利用30°角所对直角边等于斜边一半的性质得到EF的长，再用勾股定理求出AF的长；最后用AB的长度减去AF的长度即可得到BF的长。
【解析】
∵ 四边形ABCD为正方形，
∴ AD=AB=4，∠DAB=90°。
又
∵△ADE为等边三角形，
∴ AE=AD=4，∠DAE=60°。
∴ ∠FAE=∠DAB - ∠DAE = 90° - 60° = 30°。
∵ EF⊥AB，
∴ ∠AFE=90°，在Rt△AEF中，EF=$\frac{1}{2}$AE=2。
由勾股定理得，AF=$\sqrt{AE^2-EF^2}=\sqrt{4^2-2^2}=2\sqrt{3}$。
∴ BF=AB - AF=4 - 2$\sqrt{3}$。
【答案】
$4-2\sqrt{3}$
【知识点】
正方形的性质、等边三角形的性质、勾股定理
【点评】
本题属于基础几何综合计算题，结合了正方形、等边三角形、直角三角形的相关性质进行考查，解题核心是准确推导得出∠EAF的度数，再逐步计算所求线段长度，能够很好地巩固特殊图形性质的应用能力。
【难度系数】
0.7

14 [2025吉林]如图,在矩形ABCD中,∠B=90°,点E,F在边BC上,连接AE,DF,∠BAE=∠CDF.
(1)求证:△ABE≌△DCF;
(2)当AB=12,DF=13时,求BE的长.

14. (1) $\because$ 四边形 $ABCD$ 是矩形, $\therefore AB=CD, ∠ B=∠ C=90°.$ 在 $△ ABE$ 和 $△ DCF$ 中, $\begin{cases} ∠ BAE=∠ CDF, \\ AB=DC, \\ ∠ B=∠ C=90°, \end{cases}$ $\therefore △ ABE≌△ DCF$
(2) 由(1)知, $△ ABE≌△ DCF, \therefore AE=DF=13.$
$\because AB=12, ∠ B=90°, \therefore BE=\sqrt{AE^2-AB^2}=\sqrt{13^2-12^2}=5$

【分析】
(1)要证明△ABE≌△DCF，首先利用矩形的性质获取全等所需的边角条件：矩形对边相等可得AB=CD，矩形四个角为直角可得∠B=∠C=90°，再结合题目给出的∠BAE=∠CDF，刚好满足ASA全等判定条件，即可完成证明。
(2)求BE的长时，先利用全等三角形对应边相等的性质，由DF的长度得到AE的长度，再在Rt△ABE中，结合已知的AB长度，用勾股定理即可计算出BE的长度。
【解析】
(1) 证明：
∵ 四边形ABCD是矩形，
∴ AB=CD，∠B=∠C=90°，
在△ABE和△DCF中：
$\begin{cases}∠BAE=∠CDF, \\AB=DC, \\∠B=∠C,\end{cases}$
∴ △ABE≌△DCF（ASA）。
(2) 解：由(1)的全等结论可得AE=DF=13，
在Rt△ABE中，∠B=90°，AB=12，根据勾股定理：
$BE=\sqrt{AE^2-AB^2}=\sqrt{13^2-12^2}=\sqrt{169-144}=\sqrt{25}=5$。
【答案】
(1) △ABE≌△DCF得证；
(2) BE的长为5。
【知识点】
矩形的性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理
【点评】
本题属于基础几何综合题，考察核心几何基础知识的应用，解题关键是熟练掌握矩形、全等三角形、勾股定理的相关性质，准确梳理图形中的等量关系即可顺利解答。
【难度系数】
0.8

15 新考向 探究题 工人师傅在制作矩形窗框时，分以下三个步骤进行：如图①，先截出两对符合规格的铝合金窗料，使$AB=CD$，$EF=GH$；摆成如图②所示的四边形；如图③，将直角尺紧靠窗框的一个角，调整窗框的边框，当直角尺的两条直角边与窗框无缝隙时（如图④），窗框制作完成。

请根据上面的制作步骤证明此方法的合理性。

15. $\because AB=CD, EF=GH, \therefore$ 四边形 $ABCD$ 是平行四边形.
$\because BC⊥ CD, \therefore$ 四边形 $ABCD$ 是矩形

【分析】
要证明该制作窗框的方法合理，本质是证明最终得到的四边形为矩形。解题思路分为两步：第一步，先根据已知的两组对边相等的条件，利用平行四边形的判定定理，证明摆放得到的四边形是平行四边形；第二步，结合调整后存在直角的条件，利用矩形的判定定理，证明该平行四边形为矩形，即可说明方法合理。
【解析】
证明：由摆放规则可知，A与E重合、B与G重合、D与F重合、C与H重合，因此$AD=EF$，$BC=GH$。
已知$AB=CD$，$EF=GH$，可得$AB=CD$，$AD=BC$，根据“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”，可推出四边形$ABCD$是平行四边形。
当直角尺的两条直角边与窗框无缝隙时，说明$∠ BCD=90°$，即$BC⊥ CD$，根据“有一个角是直角的平行四边形是矩形”，可推出平行四边形$ABCD$是矩形，因此该制作方法合理。
【答案】
$\because AB=CD, EF=GH, \therefore$ 四边形 $ABCD$ 是平行四边形.
$\because BC⊥ CD, \therefore$ 四边形 $ABCD$ 是矩形
【知识点】
平行四边形的判定、矩形的判定
【点评】
本题结合制作窗框的实际操作场景，考查特殊平行四边形的判定应用，要求学生能将实际问题转化为几何证明问题，熟练运用相关判定定理解题。
【难度系数】
0.8