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1 如图，在菱形ABCD中，E，F分别是AD，BD的中点.若EF=2，则菱形ABCD的周长为（
A.12
B.16
C.20
D.24
B
）A.12
B.16
C.20
D.24
答案
1.B
解析
【分析】
解题时先观察已知条件：E、F分别是AD、BD的中点，可首先联想到三角形中位线定理，先求出菱形的一条边长；再结合菱形四条边长度相等的性质，就能计算出菱形的周长。
【解析】
解：
∵E、F分别是AD、BD的中点，
∴EF是△ABD的中位线，
根据三角形中位线定理可得：$EF=\frac{1}{2}AB$，
已知$EF=2$，代入得$\frac{1}{2}AB=2$，解得$AB=4$。
又
∵四边形ABCD是菱形，
∴菱形的四条边相等，即$AB=BC=CD=DA=4$，
∴菱形ABCD的周长为$4×4=16$。
故选B。
【答案】
B
【知识点】
三角形中位线定理；菱形的性质
【点评】
本题属于基础题，重点考查三角形中位线定理与菱形性质的结合应用，解题的突破口是判断出EF为△ABD的中位线，进而求出菱形的边长，是几何部分的常考基础题型。
【难度系数】
0.8
解题时先观察已知条件：E、F分别是AD、BD的中点，可首先联想到三角形中位线定理，先求出菱形的一条边长；再结合菱形四条边长度相等的性质，就能计算出菱形的周长。
【解析】
解：
∵E、F分别是AD、BD的中点，
∴EF是△ABD的中位线，
根据三角形中位线定理可得：$EF=\frac{1}{2}AB$，
已知$EF=2$，代入得$\frac{1}{2}AB=2$，解得$AB=4$。
又
∵四边形ABCD是菱形，
∴菱形的四条边相等，即$AB=BC=CD=DA=4$，
∴菱形ABCD的周长为$4×4=16$。
故选B。
【答案】
B
【知识点】
三角形中位线定理；菱形的性质
【点评】
本题属于基础题，重点考查三角形中位线定理与菱形性质的结合应用，解题的突破口是判断出EF为△ABD的中位线，进而求出菱形的边长，是几何部分的常考基础题型。
【难度系数】
0.8
2 新情境 生活实际 如图所示为汽车常备的一种千斤顶的原理图，其基本形状是一个菱形，中间通过螺杆连接，转动手柄可改变∠BCD的度数（菱形的边长不变）。当∠BCD=52°时，∠BAC的度数为（
A.26°
B.27°
C.28°
D.29°
A
）A.26°
B.27°
C.28°
D.29°
答案
2.A
解析
【分析】
解题时首先回忆菱形的相关性质，第一步：菱形的对角线平分一组对角，据此可先求出∠ACB的度数；第二步：菱形的四条边相等，可得AB=BC，△ABC为等腰三角形，根据等腰三角形等边对等角的性质，即可求出∠BAC的度数。
【解析】
∵ 四边形ABCD是菱形
∴ AC平分∠BCD，且AB=BC
∴ $∠ ACB = \frac{1}{2}∠ BCD = \frac{1}{2}×52° = 26°$
又
∵ AB=BC，△ABC是等腰三角形
∴ $∠ BAC = ∠ ACB = 26°$
【答案】
A
【知识点】
菱形的性质、等腰三角形的性质、角平分线的定义
【点评】
本题结合生活中千斤顶的实际情境考查几何性质的应用，解题的核心是熟练掌握菱形的基本性质，将实际图形转化为几何模型求解，属于基础应用类题目。
【难度系数】
0.8
解题时首先回忆菱形的相关性质，第一步：菱形的对角线平分一组对角，据此可先求出∠ACB的度数；第二步：菱形的四条边相等，可得AB=BC，△ABC为等腰三角形，根据等腰三角形等边对等角的性质，即可求出∠BAC的度数。
【解析】
∵ 四边形ABCD是菱形
∴ AC平分∠BCD，且AB=BC
∴ $∠ ACB = \frac{1}{2}∠ BCD = \frac{1}{2}×52° = 26°$
又
∵ AB=BC，△ABC是等腰三角形
∴ $∠ BAC = ∠ ACB = 26°$
【答案】
A
【知识点】
菱形的性质、等腰三角形的性质、角平分线的定义
【点评】
本题结合生活中千斤顶的实际情境考查几何性质的应用，解题的核心是熟练掌握菱形的基本性质，将实际图形转化为几何模型求解，属于基础应用类题目。
【难度系数】
0.8
3 数形结合思想 如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的顶点D在x轴上，边BC在y轴上。若点A的坐标为(4,5)，则点C的坐标为
（第3题）
(0,-3)
。（第3题）答案
3.(0,-3)
解析
【分析】
解题思路如下：第一步，根据点A的坐标先确定菱形的边长和OD的长度：点A坐标为(4,5)，AD垂直x轴且D在x轴上，可知AD长为5，D点坐标为(4,0)，即OD=4；第二步，利用菱形四条边相等的性质，得CD=AD=5；第三步，在直角三角形COD中用勾股定理计算OC的长度；第四步，根据C在y轴负半轴的位置，确定C的坐标。
【解析】
解：
∵点A的坐标为(4,5)，AD⊥x轴，顶点D在x轴上，
∴AD=5，D点坐标为(4,0)，即OD=4。
∵四边形ABCD是菱形，
∴CD=AD=5。
在Rt△COD中，∠COD=90°，由勾股定理可得：
$OC=\sqrt{CD^2-OD^2}=\sqrt{5^2-4^2}=\sqrt{25-16}=3$。
∵点C在y轴负半轴上，
∴点C的坐标为(0,-3)。
【答案】
(0,-3)
【知识点】
菱形的性质；勾股定理；平面直角坐标系中点的坐标
【点评】
本题是几何与坐标系结合的基础题，解题核心是利用菱形性质得到边长，再结合勾股定理求出线段长度，最后根据点的位置确定坐标符号，易错点是容易忽略C在负半轴导致符号错误。
【难度系数】
0.7
解题思路如下：第一步，根据点A的坐标先确定菱形的边长和OD的长度：点A坐标为(4,5)，AD垂直x轴且D在x轴上，可知AD长为5，D点坐标为(4,0)，即OD=4；第二步，利用菱形四条边相等的性质，得CD=AD=5；第三步，在直角三角形COD中用勾股定理计算OC的长度；第四步，根据C在y轴负半轴的位置，确定C的坐标。
【解析】
解：
∵点A的坐标为(4,5)，AD⊥x轴，顶点D在x轴上，
∴AD=5，D点坐标为(4,0)，即OD=4。
∵四边形ABCD是菱形，
∴CD=AD=5。
在Rt△COD中，∠COD=90°，由勾股定理可得：
$OC=\sqrt{CD^2-OD^2}=\sqrt{5^2-4^2}=\sqrt{25-16}=3$。
∵点C在y轴负半轴上，
∴点C的坐标为(0,-3)。
【答案】
(0,-3)
【知识点】
菱形的性质；勾股定理；平面直角坐标系中点的坐标
【点评】
本题是几何与坐标系结合的基础题，解题核心是利用菱形性质得到边长，再结合勾股定理求出线段长度，最后根据点的位置确定坐标符号，易错点是容易忽略C在负半轴导致符号错误。
【难度系数】
0.7
4 [2025泸州]如图,在菱形ABCD中,E,F分别是边AB,BC上的点,且$AE=CF$.求证:$AF=CE$.
答案
∵ 四边形ABCD是菱形,
∴ AB = BC.
∵ AE = CF,
∴ AB−AE=BC−CF,即BE=BF. 在△ABF 和△CBE 中,
$\begin{cases} AB=CB, \\ ∠ B=∠ B, \\ BF=BE, \end{cases}$
∴ △ABF≌△CBE.
∴ AF=CE
解析
【分析】
要证明线段AF=CE，可通过证明两条线段所在的三角形全等来推导。首先结合菱形的性质可得邻边AB=BC，再结合已知条件AE=CF，可推导出BE=BF；观察可知AF在△ABF中，CE在△CBE中，两个三角形有公共角∠B，搭配已得到的两组边相等的条件，即可用SAS判定定理证明两个三角形全等，最后根据全等三角形对应边相等即可得到结论。
【解析】
∵ 四边形ABCD是菱形，
∴ AB = BC。
∵ AE = CF，
∴ AB−AE=BC−CF，即BE=BF。
在△ABF 和△CBE 中，
$\begin{cases} AB=CB, \\ ∠ B=∠ B, \\ BF=BE, \end{cases}$
∴ △ABF≌△CBE（SAS），
∴ AF=CE。
【答案】
AF=CE
【知识点】
菱形的性质、全等三角形的判定、全等三角形的性质
【点评】
本题是几何基础证明题，核心考查菱形性质与三角形全等判定的结合应用，解题关键是利用菱形邻边相等的性质推导出全等所需的边相等条件，属于常规题型，有助于学生掌握线段相等的常用证明方法。
【难度系数】
0.8
要证明线段AF=CE，可通过证明两条线段所在的三角形全等来推导。首先结合菱形的性质可得邻边AB=BC，再结合已知条件AE=CF，可推导出BE=BF；观察可知AF在△ABF中，CE在△CBE中，两个三角形有公共角∠B，搭配已得到的两组边相等的条件，即可用SAS判定定理证明两个三角形全等，最后根据全等三角形对应边相等即可得到结论。
【解析】
∵ 四边形ABCD是菱形，
∴ AB = BC。
∵ AE = CF，
∴ AB−AE=BC−CF，即BE=BF。
在△ABF 和△CBE 中，
$\begin{cases} AB=CB, \\ ∠ B=∠ B, \\ BF=BE, \end{cases}$
∴ △ABF≌△CBE（SAS），
∴ AF=CE。
【答案】
AF=CE
【知识点】
菱形的性质、全等三角形的判定、全等三角形的性质
【点评】
本题是几何基础证明题，核心考查菱形性质与三角形全等判定的结合应用，解题关键是利用菱形邻边相等的性质推导出全等所需的边相等条件，属于常规题型，有助于学生掌握线段相等的常用证明方法。
【难度系数】
0.8
5 如图,在菱形ABCD中,连接AC,BD.若∠1=35°,则∠2的度数为 (
A.65°
B.55°
C.45°
D.35°
（第5题）（第6题）
B
)A.65°
B.55°
C.45°
D.35°
（第5题）（第6题）
答案
5.B
解析
【分析】
解题时先结合已知图形是菱形，回忆菱形的相关性质：首先菱形的对边互相平行，可得∠1和∠ACD是内错角，大小相等；其次菱形的对角线互相垂直，可知∠2所在的三角形为直角三角形，再利用直角三角形两锐角互余的性质，就可以求出∠2的度数。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB//CD，AC⊥BD，
∴∠ACD=∠1=35°（两直线平行，内错角相等），
在含∠2的直角三角形中，两个锐角和为90°，即∠2+∠ACD=90°，
∴∠2=90°-35°=55°。
【答案】
B
【知识点】
菱形的性质；平行线的性质；直角三角形两锐角互余
【点评】
本题是基础类题型，核心考查菱形性质的应用，解题的关键是熟记菱形对边平行、对角线互相垂直的特点，结合简单的平行线和直角三角形的性质即可得出答案，是菱形性质考查的典型基础题。
【难度系数】
0.8
解题时先结合已知图形是菱形，回忆菱形的相关性质：首先菱形的对边互相平行，可得∠1和∠ACD是内错角，大小相等；其次菱形的对角线互相垂直，可知∠2所在的三角形为直角三角形，再利用直角三角形两锐角互余的性质，就可以求出∠2的度数。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB//CD，AC⊥BD，
∴∠ACD=∠1=35°（两直线平行，内错角相等），
在含∠2的直角三角形中，两个锐角和为90°，即∠2+∠ACD=90°，
∴∠2=90°-35°=55°。
【答案】
B
【知识点】
菱形的性质；平行线的性质；直角三角形两锐角互余
【点评】
本题是基础类题型，核心考查菱形性质的应用，解题的关键是熟记菱形对边平行、对角线互相垂直的特点，结合简单的平行线和直角三角形的性质即可得出答案，是菱形性质考查的典型基础题。
【难度系数】
0.8
6 [2025常州]如图,在菱形ABCD中,AC,BD是对角线,AB=5.若∠ABD=30°,则AC的长是 (
A.4
B.5
C.6
D.10
B
)A.4
B.5
C.6
D.10
答案
6.B
解析
【分析】
解题时首先回忆菱形的相关性质：菱形的四条边相等，对角线平分一组对角。已知∠ABD=30°，可先推出∠ABC的度数，再结合AB=BC的特点，判断△ABC的形状，进而求出AC的长度；也可通过设对角线交点构造直角三角形，利用30°直角三角形的性质求解。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC，BD平分∠ABC，
∴∠ABC=2∠ABD=2×30°=60°，
∴△ABC是有一个角为60°的等腰三角形，即等边三角形，
∴AC=AB=5。
【答案】
B
【知识点】
菱形的性质；等边三角形的判定
【点评】
本题是基础几何题，重点考查菱形性质和等边三角形判定的结合应用，解题的突破口是利用菱形对角线平分内角得到∠ABC=60°，进而判定等边三角形得到边长，整体难度较低。
【难度系数】
0.8
解题时首先回忆菱形的相关性质：菱形的四条边相等，对角线平分一组对角。已知∠ABD=30°，可先推出∠ABC的度数，再结合AB=BC的特点，判断△ABC的形状，进而求出AC的长度；也可通过设对角线交点构造直角三角形，利用30°直角三角形的性质求解。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC，BD平分∠ABC，
∴∠ABC=2∠ABD=2×30°=60°，
∴△ABC是有一个角为60°的等腰三角形，即等边三角形，
∴AC=AB=5。
【答案】
B
【知识点】
菱形的性质；等边三角形的判定
【点评】
本题是基础几何题，重点考查菱形性质和等边三角形判定的结合应用，解题的突破口是利用菱形对角线平分内角得到∠ABC=60°，进而判定等边三角形得到边长，整体难度较低。
【难度系数】
0.8
7 [2025云南]如图，菱形ABCD的周长为52，对角线AC的长为24，则菱形ABCD的面积为
（第7题）
120
。（第7题）答案
7.120
解析
【分析】
解题思路如下：第一步，根据菱形四条边相等的性质，结合周长先求出菱形的边长；第二步，利用菱形对角线互相垂直平分的性质，得到对角线AC一半的长度，再结合边长，用勾股定理求出另一条对角线BD一半的长度，进而得到BD的总长；第三步，根据菱形面积等于两条对角线乘积的一半的公式，代入两条对角线的长度计算即可得到面积。
【解析】
解：设对角线AC与BD相交于点O。
∵ 四边形ABCD是菱形，周长为52
∴ 菱形的边长$AB=52÷4=13$
∵ 菱形的对角线互相垂直且平分，$AC=24$
∴ $AO=\frac{1}{2}AC=12$，$AC⊥BD$，$BD=2BO$
在$Rt△AOB$中，由勾股定理得：
$BO=\sqrt{AB^2 - AO^2}=\sqrt{13^2 - 12^2}=\sqrt{25}=5$
∴ $BD=2BO=2×5=10$
∴ 菱形ABCD的面积$=\frac{1}{2}×AC×BD=\frac{1}{2}×24×10=120$
【答案】
120
【知识点】
菱形的性质，勾股定理，菱形面积公式
【点评】
本题是菱形性质的基础应用题，解题核心是熟练运用菱形边和对角线的相关性质，结合勾股定理求出未知对角线的长度，再代入面积公式求解，计算难度低，掌握基础性质即可顺利解答。
【难度系数】
0.8
解题思路如下：第一步，根据菱形四条边相等的性质，结合周长先求出菱形的边长；第二步，利用菱形对角线互相垂直平分的性质，得到对角线AC一半的长度，再结合边长，用勾股定理求出另一条对角线BD一半的长度，进而得到BD的总长；第三步，根据菱形面积等于两条对角线乘积的一半的公式，代入两条对角线的长度计算即可得到面积。
【解析】
解：设对角线AC与BD相交于点O。
∵ 四边形ABCD是菱形，周长为52
∴ 菱形的边长$AB=52÷4=13$
∵ 菱形的对角线互相垂直且平分，$AC=24$
∴ $AO=\frac{1}{2}AC=12$，$AC⊥BD$，$BD=2BO$
在$Rt△AOB$中，由勾股定理得：
$BO=\sqrt{AB^2 - AO^2}=\sqrt{13^2 - 12^2}=\sqrt{25}=5$
∴ $BD=2BO=2×5=10$
∴ 菱形ABCD的面积$=\frac{1}{2}×AC×BD=\frac{1}{2}×24×10=120$
【答案】
120
【知识点】
菱形的性质，勾股定理，菱形面积公式
【点评】
本题是菱形性质的基础应用题，解题核心是熟练运用菱形边和对角线的相关性质，结合勾股定理求出未知对角线的长度，再代入面积公式求解，计算难度低，掌握基础性质即可顺利解答。
【难度系数】
0.8
8 教材变式题 如图,在菱形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,E,F分别是AB,AO的中点,连接EF.若EF＝2,AC＝6,求菱形ABCD的周长.
答案
∵ E,F分别是AB,AO的中点,
∴ BO=2EF=4.
∵ 四边形ABCD是菱形,
∴ AC⊥BD,AO=$\frac{1}{2}$AC=3.
∴ ∠AOB=90°.
在Rt△AOB中,由勾股定理,得AB=$\sqrt{AO^2+BO^2}$=5.
∴ 菱形ABCD的周长为4AB=20
解析
【分析】
解题时首先观察到E、F分别是AB、AO的中点，可联想到三角形中位线定理，先求出BO的长度；再结合菱形对角线互相垂直平分的性质，得到Rt△AOB中AO的长度和直角的条件，利用勾股定理求出菱形的边长AB；最后根据菱形四条边相等的性质计算周长即可。
【解析】
∵ E,F分别是AB,AO的中点，
∴ EF是△AOB的中位线，
∴ BO=2EF=2×2=4。
∵ 四边形ABCD是菱形，
∴ AC⊥BD，AO=$\frac{1}{2}$AC=$\frac{1}{2}$×6=3，
∴ ∠AOB=90°。
在Rt△AOB中，由勾股定理，得：
$AB=\sqrt{AO^2+BO^2}=\sqrt{3^2+4^2}=5$。
∵ 菱形的四条边相等，
∴ 菱形ABCD的周长为$4AB=4×5=20$。
【答案】
20
【知识点】
三角形中位线定理；菱形的性质；勾股定理
【点评】
本题是基础几何综合题，解题的突破口是利用三角形中位线定理求出BO的长，再结合菱形对角线的性质构造直角三角形，用勾股定理求出边长，考查学生对基础几何定理的掌握和应用能力。
【难度系数】
0.7
解题时首先观察到E、F分别是AB、AO的中点，可联想到三角形中位线定理，先求出BO的长度；再结合菱形对角线互相垂直平分的性质，得到Rt△AOB中AO的长度和直角的条件，利用勾股定理求出菱形的边长AB；最后根据菱形四条边相等的性质计算周长即可。
【解析】
∵ E,F分别是AB,AO的中点，
∴ EF是△AOB的中位线，
∴ BO=2EF=2×2=4。
∵ 四边形ABCD是菱形，
∴ AC⊥BD，AO=$\frac{1}{2}$AC=$\frac{1}{2}$×6=3，
∴ ∠AOB=90°。
在Rt△AOB中，由勾股定理，得：
$AB=\sqrt{AO^2+BO^2}=\sqrt{3^2+4^2}=5$。
∵ 菱形的四条边相等，
∴ 菱形ABCD的周长为$4AB=4×5=20$。
【答案】
20
【知识点】
三角形中位线定理；菱形的性质；勾股定理
【点评】
本题是基础几何综合题，解题的突破口是利用三角形中位线定理求出BO的长，再结合菱形对角线的性质构造直角三角形，用勾股定理求出边长，考查学生对基础几何定理的掌握和应用能力。
【难度系数】
0.7
