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1[2026江苏盐城调研]如图,四个大小相同的转盘分别被分成不同的等份,若让转盘自由转动一次,则停止后指针落在阴影区域内的概率最大的转盘是 (
D
)答案
A选项,指针落在阴影区域内的概率为$\frac{1}{4}$;B选项,指针落在阴影区域内的概率是$\frac{1}{3}$;C选项,指针落在阴影区域内的概率为$\frac{4}{9}$;D选项,指针落在阴影区域内的概率为$\frac{3}{6}=\frac{1}{2}.\because \frac{1}{4}＜\frac{1}{3}＜\frac{4}{9}＜\frac{1}{2}$,$\therefore$指针落在阴影区域内的概率最大的是D选项中的转盘.故选D.
解析
【分析】要确定指针落在阴影区域概率最大的转盘，首先明确转盘自由转动属于等可能事件，几何概型下指针落在阴影区域的概率等于阴影区域占转盘整体的比例。解题时先分别计算四个选项对应的概率，再比较概率的大小，选出概率最大的选项即可。
【解析】分别计算各转盘指针落在阴影区域的概率：
A选项：转盘平均分成4等份，阴影区域占1份，概率为$\frac{1}{4}$；
B选项：转盘平均分成3等份，阴影区域占1份，概率为$\frac{1}{3}$；
C选项：转盘平均分成9等份，阴影区域占4份，概率为$\frac{4}{9}$；
D选项：转盘平均分成6等份，阴影区域占3份，概率为$\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$。
比较四个概率的大小：$\frac{1}{4}＜\frac{1}{3}＜\frac{4}{9}＜\frac{1}{2}$，因此D选项的转盘指针落在阴影区域的概率最大。
【答案】D
【知识点】几何概率计算；分数大小比较
【点评】本题核心考查几何概率的计算方法，只要理解概率与区域占比的对应关系，准确计算并比较分数大小即可正确作答，属于基础题型。
【难度系数】0.8
【解析】分别计算各转盘指针落在阴影区域的概率：
A选项：转盘平均分成4等份，阴影区域占1份，概率为$\frac{1}{4}$；
B选项：转盘平均分成3等份，阴影区域占1份，概率为$\frac{1}{3}$；
C选项：转盘平均分成9等份，阴影区域占4份，概率为$\frac{4}{9}$；
D选项：转盘平均分成6等份，阴影区域占3份，概率为$\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$。
比较四个概率的大小：$\frac{1}{4}＜\frac{1}{3}＜\frac{4}{9}＜\frac{1}{2}$，因此D选项的转盘指针落在阴影区域的概率最大。
【答案】D
【知识点】几何概率计算；分数大小比较
【点评】本题核心考查几何概率的计算方法，只要理解概率与区域占比的对应关系，准确计算并比较分数大小即可正确作答，属于基础题型。
【难度系数】0.8
2[2024江苏苏州中考]如图,正八边形转盘被分成八个面积相等的三角形,任意转动这个转盘一次,当转盘停止转动时,指针落在阴影部分的概率是
$\frac{3}{8}$
。答案
$\because$转盘被分成八个面积相等的三角形,其中阴影部分有三个三角形,$\therefore$指针落在阴影部分的概率为$\frac{3}{8}$,故答案为$\frac{3}{8}$.
解析
【分析】
本题是几何概型的概率计算问题，解题思路如下：首先转盘被平均分成8个面积相等的三角形，说明指针落在每个三角形的可能性相同，属于等可能事件；接着只需数出阴影部分三角形的数量，再根据等可能事件的概率公式“概率=所求情况数÷总情况数”计算即可得到结果。
【解析】
解：已知正八边形转盘被分成8个面积相等的三角形，因此指针落在任意一个三角形的可能性相等。
观察图形可得，阴影部分共有3个三角形，
因此指针落在阴影部分的概率为阴影部分三角形个数与总三角形个数的比值，即$\frac{3}{8}$。
【答案】
$\frac{3}{8}$
【知识点】
几何概型；概率计算
【点评】
本题属于基础类概率题，解题核心是明确等面积区域的概率可直接通过区域数量的比值求解，只需准确数出阴影区域和总区域的数量即可得出答案，计算量小，不易出错。
【难度系数】
0.9
本题是几何概型的概率计算问题，解题思路如下：首先转盘被平均分成8个面积相等的三角形，说明指针落在每个三角形的可能性相同，属于等可能事件；接着只需数出阴影部分三角形的数量，再根据等可能事件的概率公式“概率=所求情况数÷总情况数”计算即可得到结果。
【解析】
解：已知正八边形转盘被分成8个面积相等的三角形，因此指针落在任意一个三角形的可能性相等。
观察图形可得，阴影部分共有3个三角形，
因此指针落在阴影部分的概率为阴影部分三角形个数与总三角形个数的比值，即$\frac{3}{8}$。
【答案】
$\frac{3}{8}$
【知识点】
几何概型；概率计算
【点评】
本题属于基础类概率题，解题核心是明确等面积区域的概率可直接通过区域数量的比值求解，只需准确数出阴影区域和总区域的数量即可得出答案，计算量小，不易出错。
【难度系数】
0.9
3[2025浙江杭州调研]如图,A、B是两个可以自由转动的转盘,A转盘白色扇形和阴影扇形的圆心角分别为120°和240°,B转盘被分成面积相等的阴影、白扇形,转动A、B转盘各一次,两次指针都落在阴影扇形的概率为
$\frac{1}{3}$
。答案
如图,把A转盘阴影扇形等分成两份.
画树状图如下:
共有6种等可能的结果,其中两次指针都落在阴影扇形的结果有2种,$\therefore$两次指针都落在阴影扇形的概率为$\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$.故答案为$\frac{1}{3}$.
关键点拨
把A转盘阴影扇形等分成两份是解题的关键.
解析
【分析】
本题是几何概型结合两步概率计算的问题，解题思路如下：首先明确几何概型中事件概率对应区域圆心角的占比，为了用等可能事件的概率计算方法求解，需要先将A转盘的阴影扇形等分成2份，使A转盘的3个区域（2份阴影、1份白色）圆心角均为120°，保证转动A转盘时落在每个区域的可能性相等；B转盘本身阴影和白色各占一半，转动时落在两个区域的可能性相等。再通过树状图列出所有等可能的结果，统计两次指针都落在阴影区域的结果数，最后用符合条件的结果数除以总结果数即可得到所求概率。
【解析】
首先把A转盘阴影扇形等分成两份，使A转盘包含2个圆心角为120°的阴影扇形、1个圆心角为120°的白色扇形，所有区域发生的可能性相等。
画树状图如下：
由树状图可知，共有6种等可能的结果，其中两次指针都落在阴影扇形的结果有2种，
根据概率公式可得，所求概率为$\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$。
【答案】
$\boxed{\dfrac{1}{3}}$
【知识点】
几何概型，树状图法求概率，概率公式
【点评】
本题重点考查几何概型下概率的求解，解题的核心是将非等可能的几何区域转化为等可能的独立事件，再结合树状图或列表法统计结果计算概率，需注意保证划分的每个事件发生的可能性相等，避免出现计算错误。
【难度系数】
0.7
本题是几何概型结合两步概率计算的问题，解题思路如下：首先明确几何概型中事件概率对应区域圆心角的占比，为了用等可能事件的概率计算方法求解，需要先将A转盘的阴影扇形等分成2份，使A转盘的3个区域（2份阴影、1份白色）圆心角均为120°，保证转动A转盘时落在每个区域的可能性相等；B转盘本身阴影和白色各占一半，转动时落在两个区域的可能性相等。再通过树状图列出所有等可能的结果，统计两次指针都落在阴影区域的结果数，最后用符合条件的结果数除以总结果数即可得到所求概率。
【解析】
首先把A转盘阴影扇形等分成两份，使A转盘包含2个圆心角为120°的阴影扇形、1个圆心角为120°的白色扇形，所有区域发生的可能性相等。
画树状图如下：
由树状图可知，共有6种等可能的结果，其中两次指针都落在阴影扇形的结果有2种，
根据概率公式可得，所求概率为$\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$。
【答案】
$\boxed{\dfrac{1}{3}}$
【知识点】
几何概型，树状图法求概率，概率公式
【点评】
本题重点考查几何概型下概率的求解，解题的核心是将非等可能的几何区域转化为等可能的独立事件，再结合树状图或列表法统计结果计算概率，需注意保证划分的每个事件发生的可能性相等，避免出现计算错误。
【难度系数】
0.7
4[2026河南郑州期末,中]为响应生态文明,增强居民环保意识,某社区举办“绿色生活”问答
赛,答对5道以上题目的居民可参与如图(1)的自由转盘抽奖(指针指向边界需重新转).请根据以上信息,完成下列问题:
(1)小远在此次问答赛中共答对7道题目,他转到环保购物袋的概率是
(2)请你重新设计一种转盘抽奖方案,使得抽到环保卫士徽章、节能台灯和环保购物袋的概率分别为$\frac{1}{4},\frac{1}{8},\frac{3}{8}$,要求奖项包含内容同图(1).你可以写出设计方案,也可以在图(2)中画出具体设计方法(标清楚具体奖项名称).
赛,答对5道以上题目的居民可参与如图(1)的自由转盘抽奖(指针指向边界需重新转).请根据以上信息,完成下列问题:
(1)小远在此次问答赛中共答对7道题目,他转到环保购物袋的概率是
$\frac{4}{9}$
;(2)请你重新设计一种转盘抽奖方案,使得抽到环保卫士徽章、节能台灯和环保购物袋的概率分别为$\frac{1}{4},\frac{1}{8},\frac{3}{8}$,要求奖项包含内容同图(1).你可以写出设计方案,也可以在图(2)中画出具体设计方法(标清楚具体奖项名称).
答案
(1)环保购物袋所在扇形的圆心角度数为$360°-40°-80°-80°=160°$,$\therefore$他转到环保购物袋的概率是$\frac{160°}{360°}=\frac{4}{9}$,故答案为$\frac{4}{9}$.
(2)$\because$抽到环保卫士徽章、节能台灯和环保购物袋的概率分别为$\frac{1}{4},\frac{1}{8},\frac{3}{8}$,$\therefore$环保卫士徽章所在扇形圆心角的度数为$360°×\frac{1}{4}=90°$,节能台灯所在扇形圆心角的度数为$360°×\frac{1}{8}=45°$,环保购物袋所在扇形的圆心角度数为$360°×\frac{3}{8}=135°$,$\therefore$谢谢参与所在扇形的圆心角度数为$360°-90°-45°-135°=90°$,$\therefore$设计方法如图所示:
解析
【分析】
(1) 转盘类抽奖属于几何概率问题，某事件发生的概率等于该事件对应扇形的圆心角度数与周角360°的比值。求解第一问时，先计算环保购物袋对应扇形的圆心角度数，再用该度数除以360°即可得到对应概率。
(2) 设计转盘方案时，反过来利用概率与圆心角的关系：用360°分别乘各奖项对应的概率，得到各奖项对应扇形的圆心角度数，剩余角度对应“谢谢参与”区域，最后按照计算出的角度划分转盘并标注奖项即可。
【解析】
(1) 首先计算环保购物袋所在扇形的圆心角度数：
周角为$360°$，已知其他三个区域的圆心角分别为$40°$、$80°$、$80°$，因此环保购物袋对应圆心角为$360° - 40° - 80° - 80° = 160°$。
根据几何概率的计算规则，转到环保购物袋的概率为对应圆心角与周角的比值，即$\frac{160°}{360°} = \frac{4}{9}$。
(2) 先计算各奖项对应扇形的圆心角度数：
环保卫士徽章对应圆心角：$360° × \frac{1}{4} = 90°$；
节能台灯对应圆心角：$360° × \frac{1}{8} = 45°$；
环保购物袋对应圆心角：$360° × \frac{3}{8} = 135°$；
剩余“谢谢参与”区域的圆心角：$360° - 90° - 45° - 135° = 90°$。
按照上述计算得到的圆心角度数划分转盘区域，分别标注对应奖项即可。
【答案】
(1) $\frac{4}{9}$
(2) 设计方法如图所示：
【知识点】
几何概率计算，扇形圆心角计算，概率的实际应用
【点评】
本题结合生活中的抽奖场景考查几何概率的相关知识，解题核心是掌握转盘类概率的计算方法，即概率等于对应区域圆心角与周角的比值，方案设计类问题只要满足角度要求即可，答案具有一定开放性。
【难度系数】
0.6
(1) 转盘类抽奖属于几何概率问题，某事件发生的概率等于该事件对应扇形的圆心角度数与周角360°的比值。求解第一问时，先计算环保购物袋对应扇形的圆心角度数，再用该度数除以360°即可得到对应概率。
(2) 设计转盘方案时，反过来利用概率与圆心角的关系：用360°分别乘各奖项对应的概率，得到各奖项对应扇形的圆心角度数，剩余角度对应“谢谢参与”区域，最后按照计算出的角度划分转盘并标注奖项即可。
【解析】
(1) 首先计算环保购物袋所在扇形的圆心角度数：
周角为$360°$，已知其他三个区域的圆心角分别为$40°$、$80°$、$80°$，因此环保购物袋对应圆心角为$360° - 40° - 80° - 80° = 160°$。
根据几何概率的计算规则，转到环保购物袋的概率为对应圆心角与周角的比值，即$\frac{160°}{360°} = \frac{4}{9}$。
(2) 先计算各奖项对应扇形的圆心角度数：
环保卫士徽章对应圆心角：$360° × \frac{1}{4} = 90°$；
节能台灯对应圆心角：$360° × \frac{1}{8} = 45°$；
环保购物袋对应圆心角：$360° × \frac{3}{8} = 135°$；
剩余“谢谢参与”区域的圆心角：$360° - 90° - 45° - 135° = 90°$。
按照上述计算得到的圆心角度数划分转盘区域，分别标注对应奖项即可。
【答案】
(1) $\frac{4}{9}$
(2) 设计方法如图所示：
【知识点】
几何概率计算，扇形圆心角计算，概率的实际应用
【点评】
本题结合生活中的抽奖场景考查几何概率的相关知识，解题核心是掌握转盘类概率的计算方法，即概率等于对应区域圆心角与周角的比值，方案设计类问题只要满足角度要求即可，答案具有一定开放性。
【难度系数】
0.6
5 如图,若随机向$8×8$正方形网格内投针,则针尖落在阴影部分的概率为 (
A.$\frac{1}{2}$
B.$\frac{5}{8}$
C.$\frac{9π}{64}$
D.$\frac{25}{64}$
D
)A.$\frac{1}{2}$
B.$\frac{5}{8}$
C.$\frac{9π}{64}$
D.$\frac{25}{64}$
答案
设每个小正方形的边长为1.$\because S_总=8×8=64$,由平移可得$S_{阴影部分}=5×5=25$,$\therefore$针尖落在阴影部分的概率为$25÷64=\frac{25}{64}$.故选D.
解析
【分析】
这是几何概型类的概率计算题，解题思路如下：首先明确几何概型的概率计算规则，针尖落在阴影部分的概率等于阴影区域面积除以整个网格的总面积；接下来先计算总面积，8×8的网格设每个小正方形边长为1，可直接求出总面积；最后处理不规则的阴影面积，观察阴影轮廓可知，通过割补、平移的方法，能将凸出的弧形部分补到凹陷的弧形位置，刚好将阴影转化为边长为5的规则正方形，求出阴影面积后代入公式即可得到概率。
【解析】
设每个小正方形的边长为1。
1. 计算网格总面积：$S_{总}=8×8=64$；
2. 计算阴影部分面积：通过割补平移，可将不规则阴影转化为边长为5的正方形，因此$S_{阴影}=5×5=25$；
3. 计算概率：根据几何概型公式，针尖落在阴影部分的概率为$\frac{S_{阴影}}{S_{总}}=\frac{25}{64}$。
故选D。
【答案】
D
【知识点】
几何概型计算，割补法求面积
【点评】
本题的解题关键是灵活运用割补法将不规则图形转化为规则图形计算面积，避开了复杂的曲线图形面积运算，掌握几何概型的计算逻辑和割补法就能快速求解。
【难度系数】
0.7
这是几何概型类的概率计算题，解题思路如下：首先明确几何概型的概率计算规则，针尖落在阴影部分的概率等于阴影区域面积除以整个网格的总面积；接下来先计算总面积，8×8的网格设每个小正方形边长为1，可直接求出总面积；最后处理不规则的阴影面积，观察阴影轮廓可知，通过割补、平移的方法，能将凸出的弧形部分补到凹陷的弧形位置，刚好将阴影转化为边长为5的规则正方形，求出阴影面积后代入公式即可得到概率。
【解析】
设每个小正方形的边长为1。
1. 计算网格总面积：$S_{总}=8×8=64$；
2. 计算阴影部分面积：通过割补平移，可将不规则阴影转化为边长为5的正方形，因此$S_{阴影}=5×5=25$；
3. 计算概率：根据几何概型公式，针尖落在阴影部分的概率为$\frac{S_{阴影}}{S_{总}}=\frac{25}{64}$。
故选D。
【答案】
D
【知识点】
几何概型计算，割补法求面积
【点评】
本题的解题关键是灵活运用割补法将不规则图形转化为规则图形计算面积，避开了复杂的曲线图形面积运算，掌握几何概型的计算逻辑和割补法就能快速求解。
【难度系数】
0.7
