登录
1[2025广东佛山期末]探究活动
(1)探究规律:
$15^2 = 15×15 = 225 = (1×2)×100+25$；
$25^2 = 25×25 = 625 = (2×3)×100+25$；
$35^2 = 35×35 = 1225 = (3×4)×100+25$；
$45^2 = \underline{\hspace{8cm}}$；
……
(2)猜想规律: $\overline{a5}^2 = \underline{\hspace{5cm}}$（$\overline{a5}$表示十位上数字是$a$,个位上数字是5的两位数,$\overline{a5}^2$表示此两位数的平方）.(结果化为最简)
(3)知识迁移:“十位上的数字相同,个位上的数字之和等于10的两位数的积”,即$\overline{ab} · \overline{ad}$（其中$b+d=10$）,会不会也有类似规律?如果有,请探索找出规律并证明;如果没有,请说明理由.
(1)探究规律:
$15^2 = 15×15 = 225 = (1×2)×100+25$；
$25^2 = 25×25 = 625 = (2×3)×100+25$；
$35^2 = 35×35 = 1225 = (3×4)×100+25$；
$45^2 = \underline{\hspace{8cm}}$；
……
(2)猜想规律: $\overline{a5}^2 = \underline{\hspace{5cm}}$（$\overline{a5}$表示十位上数字是$a$,个位上数字是5的两位数,$\overline{a5}^2$表示此两位数的平方）.(结果化为最简)
(3)知识迁移:“十位上的数字相同,个位上的数字之和等于10的两位数的积”,即$\overline{ab} · \overline{ad}$（其中$b+d=10$）,会不会也有类似规律?如果有,请探索找出规律并证明;如果没有,请说明理由.
答案
1.【解】(1)根据题中所给等式可知,$45^2 = 45×45 = 2 025 = (4×5)×100+25. 故答案为$45×45=2 025=(4×5)×100+25$.(2)猜想规律:$\overline{a5}^2 = [a×(a+1)]×100+25 = 100a^2+100a+25. 故答案为$100a^2+100a+25$.
(3)$\overline{ab}·\overline{ad}$也有类似规律,$\overline{ab}·\overline{ad}=100a^2+100a+bd$. 证明:$\overline{ab}·\overline{ad}=(10a+b)(10a+d)=100a^2+10ad+10ab+bd=100a^2+10a(b+d)+bd$.因为$b+d=10$,所以原式$=100a^2+10a×10+bd=100a^2+100a+bd$,所以找出的规律成立.
(3)$\overline{ab}·\overline{ad}$也有类似规律,$\overline{ab}·\overline{ad}=100a^2+100a+bd$. 证明:$\overline{ab}·\overline{ad}=(10a+b)(10a+d)=100a^2+10ad+10ab+bd=100a^2+10a(b+d)+bd$.因为$b+d=10$,所以原式$=100a^2+10a×10+bd=100a^2+100a+bd$,所以找出的规律成立.
2[2025河北衡水期末]小强是一位密码编译爱好者,在他的密码手册中,有这样一条信息:$a-b,x-y,x+y,a+b,x^2-y^2,a^2-b^2$分别对应下列六个字:华、爱、我、中、游、美,现将$(x^2-y^2)a^2-(x^2-y^2)b^2$因式分解,结果呈现的密码信息可能是(
A.我爱美
B.中华游
C.爱我中华
D.美我中华
C
)A.我爱美
B.中华游
C.爱我中华
D.美我中华
答案
2. C 【解析】原式$=(x^2-y^2)(a^2-b^2)=(x-y)(x+y)(a-b)(a+b)$,所以将$(x^2-y^2)a^2-(x^2-y^2)b^2$因式分解,结果呈现的密码信息可能是爱我中华. 故选C.
3[2025 四川成都校级期中]因式分解是中学数学中重要的恒等变形之一,是解决许多数学问
题的有力工具.帅虎同学设计了一种“因式分解密码”:对多项式$2x^2y+4xy$进行因式分解得到$2xy(x+2)$,若取$x=12,y=7$,则$2→2,x→12,y→7,x+2→14$,将这几个数从小到大排列得到271214,密码为271214.对于代数式$3a^3-12a^2b+9ab^2$,若取$a=15,b=4$,则得到的密码是
题的有力工具.帅虎同学设计了一种“因式分解密码”:对多项式$2x^2y+4xy$进行因式分解得到$2xy(x+2)$,若取$x=12,y=7$,则$2→2,x→12,y→7,x+2→14$,将这几个数从小到大排列得到271214,密码为271214.对于代数式$3a^3-12a^2b+9ab^2$,若取$a=15,b=4$,则得到的密码是
331115
.答案
3. 331115 【解析】$3a^3-12a^2b+9ab^2=3a(a^2-4ab+3b^2)=3a(a-3b)(a-b)$. 若取$a=15,b=4$,则$3→3,a→15,a-3b→3,a-b→11$,可得密码为331115.
4[2025辽宁大连期末]问题背景：
在如今信息快速发展的时代，“密码”与我们的生活已经紧密相连，密不可分，而诸如生日，连续数字等简单密码又容易被破解，密码过于复杂自己又容易忘记，因此设置一组便于记忆的密码就很有必要了.
某班级同学们在经过思考后想出了不同的方法，其中有一种用因式分解产生的密码，方便记忆.其原理是将一个多项式分解因式，如将多项式$x^3 - x$分解因式的结果为$x(x-1)(x+1)$，若取$x=10$，则有$x=10, x-1=9, x+1=11$，此时把由几个因式得到的数字按照从小到大的顺序排列得到数字密码091011（不足10的数字在其前补0）.
实际应用：
(1)根据上述方法，小明同学设置了某软件登录密码：将多项式$x^3 - xy^2$分解因式后利用$x,y$的数值设置密码，若取$x=9,y=3$，请问小明该软件的登录密码是多少？
(2)根据上述方法，学校管理员设置了一个密码：一个等腰三角形的周长是12，其中腰长和底边长分别为不同的整数$x,y$，请你破解出对多项式$x^3 - 4xy^2$分解因式后得到的密码.
在如今信息快速发展的时代，“密码”与我们的生活已经紧密相连，密不可分，而诸如生日，连续数字等简单密码又容易被破解，密码过于复杂自己又容易忘记，因此设置一组便于记忆的密码就很有必要了.
某班级同学们在经过思考后想出了不同的方法，其中有一种用因式分解产生的密码，方便记忆.其原理是将一个多项式分解因式，如将多项式$x^3 - x$分解因式的结果为$x(x-1)(x+1)$，若取$x=10$，则有$x=10, x-1=9, x+1=11$，此时把由几个因式得到的数字按照从小到大的顺序排列得到数字密码091011（不足10的数字在其前补0）.
实际应用：
(1)根据上述方法，小明同学设置了某软件登录密码：将多项式$x^3 - xy^2$分解因式后利用$x,y$的数值设置密码，若取$x=9,y=3$，请问小明该软件的登录密码是多少？
(2)根据上述方法，学校管理员设置了一个密码：一个等腰三角形的周长是12，其中腰长和底边长分别为不同的整数$x,y$，请你破解出对多项式$x^3 - 4xy^2$分解因式后得到的密码.
答案
4.【解】(1)$x^3-xy^2=x(x^2-y^2)=x(x-y)(x+y)$,若取$x=9,y=3$,则有$x=9,x-y=9-3=6,x+y=9+3=12$,$\therefore$ 小明该软件的登录密码是060912.
(2)$\because$ 一个等腰三角形的周长是12,其中腰长和底边长分别为不同的整数$x,y$,$\therefore 2x+y=12$. $\because x,y$都为整数,$\therefore \begin{cases} x=5, \\ y=2 \end{cases}$(不合题意的已舍去). $x^3-4xy^2=x(x^2-4y^2)=x(x+2y)(x-2y)$,当$x=5,y=2$时,$x+2y=5+2×2=9,x-2y=5-2×2=1$,$\therefore$ 对多项式$x^3-4xy^2$分解因式后得到的密码是010509.
(2)$\because$ 一个等腰三角形的周长是12,其中腰长和底边长分别为不同的整数$x,y$,$\therefore 2x+y=12$. $\because x,y$都为整数,$\therefore \begin{cases} x=5, \\ y=2 \end{cases}$(不合题意的已舍去). $x^3-4xy^2=x(x^2-4y^2)=x(x+2y)(x-2y)$,当$x=5,y=2$时,$x+2y=5+2×2=9,x-2y=5-2×2=1$,$\therefore$ 对多项式$x^3-4xy^2$分解因式后得到的密码是010509.
