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1[2025福建福清期中,中]若一个整数能表示成$a^2+b^2$（$a,b$是正整数）的形式，则称这个数为“美好数”.例如:因为$2=1^2+1^2$,所以2是“美好数”.已知$S=x^2+2x+k$（其中$x,k$是整数）,若$S$为“美好数”,则下列$k$的值中符合要求的是（
A.3
B.4
C.5
D.6
C
）A.3
B.4
C.5
D.6
答案
1.C 【解析】$\because S$为“美好数”,$\therefore S$可以表示成两个正整数的平方的和. 当 $k=5$ 时,$S=x^2+2x+k=x^2+2x+5=x^2+2x+1+4=(x+1)^2+2^2$,故选 C.
2[中]已知$a=2023x+2022$，$b=2023x+2023$，$c=2023x+2024$，则$a^2+b^2+c^2-ab-ac-bc$的值是（
A.0
B.1
C.2
D.3
D
）A.0
B.1
C.2
D.3
答案
2.D 【解析】$\because a=2023x+2022$,$b=2023x+2023$,$c=2023x+2024$,$\therefore a-b=(2023x+2022)-(2023x+2023)=2023x+2022-2023x-2023=-1$,$a-c=(2023x+2022)-(2023x+2024)=2023x+2022-2023x-2024=-2$,$b-c=(2023x+2023)-(2023x+2024)=2023x+2023-2023x-2024=-1$,
$\therefore a^2+b^2+c^2-ab-ac-bc=\dfrac{1}{2}[2(a^2+b^2+c^2-ab-ac-bc)]=\dfrac{1}{2}(2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2ac-2bc)=\dfrac{1}{2}[(a^2-2ab+b^2)+(a^2-2ac+c^2)+(b^2-2bc+c^2)]=\dfrac{1}{2}[(a-b)^2+(a-c)^2+(b-c)^2]=\dfrac{1}{2}×[(-1)^2+(-2)^2+(-1)^2]=\dfrac{1}{2}×(1+4+1)=\dfrac{1}{2}×6=3$,故选 D.
$\therefore a^2+b^2+c^2-ab-ac-bc=\dfrac{1}{2}[2(a^2+b^2+c^2-ab-ac-bc)]=\dfrac{1}{2}(2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2ac-2bc)=\dfrac{1}{2}[(a^2-2ab+b^2)+(a^2-2ac+c^2)+(b^2-2bc+c^2)]=\dfrac{1}{2}[(a-b)^2+(a-c)^2+(b-c)^2]=\dfrac{1}{2}×[(-1)^2+(-2)^2+(-1)^2]=\dfrac{1}{2}×(1+4+1)=\dfrac{1}{2}×6=3$,故选 D.
3[较难]同号两实数$a,b$满足$a^2+b^2=4-2ab$，若$a-b$为整数，则$ab$的值为（
A.$1$或$\dfrac{3}{4}$
B.$1$或$\dfrac{5}{4}$
C.$2$或$\dfrac{3}{2}$
D.$2$或$\dfrac{5}{2}$
A
）A.$1$或$\dfrac{3}{4}$
B.$1$或$\dfrac{5}{4}$
C.$2$或$\dfrac{3}{2}$
D.$2$或$\dfrac{5}{2}$
答案
3.A 【解析】$\because a^2+b^2=4-2ab$,$\therefore (a+b)^2=4$,$\therefore (a-b)^2=(a+b)^2-4ab=4-4ab≥0$,$\therefore ab≤1$.$\because ab＞0$,$\therefore 0＜ab≤1$,$\therefore 0≤4-4ab＜4$.$\because a-b$为整数,$4-4ab$ 为平方数,$\therefore 4-4ab=1$,得 $ab=\dfrac{3}{4}$或 1. 故选 A.
4[中]若$a,b,c$是直角三角形$ABC$的三边长，且$a^2 + b^2 + c^2 + 200 = 12a + 16b + 20c$，则$△ ABC$的面积为
24
。答案
4.24 【解析】$\because a^2+b^2+c^2+200=12a+16b+20c$,$\therefore a^2-12a+36+b^2-16b+64+c^2-20c+100=0$,$\therefore (a-6)^2+(b-8)^2+(c-10)^2=0$,$\therefore a-6=0$,$b-8=0$,$c-10=0$,$\therefore a=6$,$b=8$,$c=10$,$\therefore$ 两直角边长分别为 6,8,则$△ ABC$ 的面积为 $\dfrac{1}{2}×6×8=24$.
5[2026河北秦皇岛期末,中](1)用“＞”“=”或“＜”填空:
当$x=-5$时,$x^2-2x+2$
当$x=1$时,$x^2-2x+2$
(2)归纳与证明:换两个数作为$x$的值比较$x^2-2x+2$与$1$的大小,你发现了什么?请写出你的发现并证明它是正确的.
(3)拓展与应用:求代数式$a^2+b^2-6a-8b+30$的最小值.
当$x=-5$时,$x^2-2x+2$
＞
$1$;当$x=1$时,$x^2-2x+2$
=
$1$.(2)归纳与证明:换两个数作为$x$的值比较$x^2-2x+2$与$1$的大小,你发现了什么?请写出你的发现并证明它是正确的.
(3)拓展与应用:求代数式$a^2+b^2-6a-8b+30$的最小值.
答案
5.【解】(1)把 $x=-5$ 代入 $x^2-2x+2$ 中得 $25+10+2=37＞1$;把 $x=1$ 代入 $x^2-2x+2$ 中得 $1-2+2=1$,故答案为 $＞$, $=$.
(2)当 $x=-1$ 时,$x^2-2x+2=5＞1$;当 $x=2$ 时,$x^2-2x+2=2＞1$(任意选两个数作为 $x$ 的值即可). 发现:无论 $x$ 为何值,$x^2-2x+2≥1$ 恒成立. 证明:$\because x^2-2x+2=x^2-2x+1+1=(x-1)^2+1$,无论 $x$ 为何值,$(x-1)^2≥0$,$\therefore (x-1)^2+1≥1$.
(3)$a^2+b^2-6a-8b+30=(a-3)^2+(b-4)^2+5$.$\because (a-3)^2≥0$,$(b-4)^2≥0$,$\therefore (a-3)^2+(b-4)^2+5≥5$,$\therefore$ 代数式 $a^2+b^2-6a-8b+30$ 的最小值是 5.
(2)当 $x=-1$ 时,$x^2-2x+2=5＞1$;当 $x=2$ 时,$x^2-2x+2=2＞1$(任意选两个数作为 $x$ 的值即可). 发现:无论 $x$ 为何值,$x^2-2x+2≥1$ 恒成立. 证明:$\because x^2-2x+2=x^2-2x+1+1=(x-1)^2+1$,无论 $x$ 为何值,$(x-1)^2≥0$,$\therefore (x-1)^2+1≥1$.
(3)$a^2+b^2-6a-8b+30=(a-3)^2+(b-4)^2+5$.$\because (a-3)^2≥0$,$(b-4)^2≥0$,$\therefore (a-3)^2+(b-4)^2+5≥5$,$\therefore$ 代数式 $a^2+b^2-6a-8b+30$ 的最小值是 5.
式分解与整式乘法是互逆变形,可得$x^2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q)$.例如:因为$(x+1)(x+2)=x^2+3x+2$,所以$x^2+3x+2=(x+1)(x+2)$.
上述过程可以用十字相乘的形式形象地表示:先分解二次项系数,分别写在十字交叉线的左上角和左下角;再分解常数项,分别写在十字交叉线的右上角和右下角;然后交叉相乘,求代数和,使其等于一次项的系数,如图所示.
这样,我们可以得到$x^2+3x+2=(x+1)(x+2)$.
【迁移运用】利用上述的十字相乘法,将下列多项式分解因式:
(1)二次项系数为1 ①$x^2+7x+12$;②$x^2+5x+6$.
(2)二次项系数不为1 $4x^2-5x-6$.
上述过程可以用十字相乘的形式形象地表示:先分解二次项系数,分别写在十字交叉线的左上角和左下角;再分解常数项,分别写在十字交叉线的右上角和右下角;然后交叉相乘,求代数和,使其等于一次项的系数,如图所示.
这样,我们可以得到$x^2+3x+2=(x+1)(x+2)$.
【迁移运用】利用上述的十字相乘法,将下列多项式分解因式:
(1)二次项系数为1 ①$x^2+7x+12$;②$x^2+5x+6$.
(2)二次项系数不为1 $4x^2-5x-6$.
答案
6.【解】(1)①$x^2+7x+12=(x+3)(x+4)$.
②$x^2+5x+6=(x+2)(x+3)$.
(2)$4x^2-5x-6=(4x+3)(x-2)$.
②$x^2+5x+6=(x+2)(x+3)$.
(2)$4x^2-5x-6=(4x+3)(x-2)$.
7[中]先阅读材料,再回答问题:
分解因式:$(a-b)^2 -2(a-b)+1$.
解:设$a-b=M$,则原式$=M^2 -2M +1=(M-1)^2$.
再将$a-b=M$还原,得到原式$=(a-b-1)^2$.
上述解题中用到的是“整体思想”,它是数学中常用的一种思想,请你用整体思想解决下列问题:
(1)分解因式:$(x+y)(x+y-4)+4$.
(2)试说明:$a$为正整数时,$(a-1)(a-2)(a-3)(a-4)+1$为整数的平方.
分解因式:$(a-b)^2 -2(a-b)+1$.
解:设$a-b=M$,则原式$=M^2 -2M +1=(M-1)^2$.
再将$a-b=M$还原,得到原式$=(a-b-1)^2$.
上述解题中用到的是“整体思想”,它是数学中常用的一种思想,请你用整体思想解决下列问题:
(1)分解因式:$(x+y)(x+y-4)+4$.
(2)试说明:$a$为正整数时,$(a-1)(a-2)(a-3)(a-4)+1$为整数的平方.
答案
7.【解】(1)设 $M=x+y$,则原式$=M(M-4)+4=M^2-4M+4=(M-2)^2$. 将 $M=x+y$ 还原,可得原式$=(x+y-2)^2$.
(2)原式$=(a-1)(a-4)(a-2)(a-3)+1=(a^2-5a+4)(a^2-5a+6)+1$. $\because a$ 为正整数,$\therefore (a-1)(a-4)=a^2-5a+4$ 是整数. 设 $N=a^2-5a+4$,则原式$=N(N+2)+1=N^2+2N+1=(N+1)^2$. $\because N$ 为整数,$\therefore$ 原式$=(N+1)^2$ 为整数的平方.
(2)原式$=(a-1)(a-4)(a-2)(a-3)+1=(a^2-5a+4)(a^2-5a+6)+1$. $\because a$ 为正整数,$\therefore (a-1)(a-4)=a^2-5a+4$ 是整数. 设 $N=a^2-5a+4$,则原式$=N(N+2)+1=N^2+2N+1=(N+1)^2$. $\because N$ 为整数,$\therefore$ 原式$=(N+1)^2$ 为整数的平方.
