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2. 试比较下列各组数的大小.
(1)4与$\sqrt{15}$
(2)2$\sqrt{7}$与6
(1)4与$\sqrt{15}$
(2)2$\sqrt{7}$与6
答案
2. (1)$4＞\sqrt{15}$ (2)$2\sqrt{7}＜6$
解析
【分析】
比较含算术平方根的正数的大小时，可利用“正数的平方越大，原数越大”的性质，通过平方法转化为有理数比较大小；也可将整数转化为算术平方根的形式，根据“被开方数越大，对应的算术平方根越大”比较大小。
(1)比较4和$\sqrt{15}$，可分别计算两数的平方，比较平方的大小即可得到原数的大小关系；
(2)比较$2\sqrt{7}$和6，既可以分别计算两数的平方后比较，也可以把两个数都写成带根号的形式，比较根号内被开方数的大小。
【解析】
(1) 先计算两数的平方：
$4^2=16$，$(\sqrt{15})^2=15$
因为$16＞15$，且4和$\sqrt{15}$都是正数，正数平方越大原数越大，所以$4＞\sqrt{15}$。
(2) 用平方法解题：
计算两数的平方：
$(2\sqrt{7})^2=2^2×(\sqrt{7})^2=4×7=28$，$6^2=36$
因为$28＜36$，且$2\sqrt{7}$和6都是正数，所以$2\sqrt{7}＜6$。
【答案】
(1)$4＞\sqrt{15}$ (2)$2\sqrt{7}＜6$
【知识点】
1. 算术平方根的性质 2. 实数大小比较
【点评】
本题是实数比较大小的基础题型，核心考查带算术平方根的正数的比较方法，平方法和转化为同形式算术平方根比较被开方数都是常用的简便方法，熟练掌握即可快速解题。
【难度系数】
0.9
比较含算术平方根的正数的大小时，可利用“正数的平方越大，原数越大”的性质，通过平方法转化为有理数比较大小；也可将整数转化为算术平方根的形式，根据“被开方数越大，对应的算术平方根越大”比较大小。
(1)比较4和$\sqrt{15}$，可分别计算两数的平方，比较平方的大小即可得到原数的大小关系；
(2)比较$2\sqrt{7}$和6，既可以分别计算两数的平方后比较，也可以把两个数都写成带根号的形式，比较根号内被开方数的大小。
【解析】
(1) 先计算两数的平方：
$4^2=16$，$(\sqrt{15})^2=15$
因为$16＞15$，且4和$\sqrt{15}$都是正数，正数平方越大原数越大，所以$4＞\sqrt{15}$。
(2) 用平方法解题：
计算两数的平方：
$(2\sqrt{7})^2=2^2×(\sqrt{7})^2=4×7=28$，$6^2=36$
因为$28＜36$，且$2\sqrt{7}$和6都是正数，所以$2\sqrt{7}＜6$。
【答案】
(1)$4＞\sqrt{15}$ (2)$2\sqrt{7}＜6$
【知识点】
1. 算术平方根的性质 2. 实数大小比较
【点评】
本题是实数比较大小的基础题型，核心考查带算术平方根的正数的比较方法，平方法和转化为同形式算术平方根比较被开方数都是常用的简便方法，熟练掌握即可快速解题。
【难度系数】
0.9
3. 解方程.
(1) $8x^3 = 125$
(2) $-8(x - 3)^3 = 27$
(1) $8x^3 = 125$
(2) $-8(x - 3)^3 = 27$
答案
3. (1)$x=\frac{5}{2}$ (2)$x=\frac{3}{2}$
解析
【分析】
这两道题都是含三次项的简易方程，解题遵循降次原则：首先利用等式的性质将三次项的系数化为1，再对等式两边同时开立方，把三次方程转化为熟悉的一元一次方程，最后求解一元一次方程就能得到x的值。
【解析】
(1) 解方程$8x^3 = 125$：
① 等式两边同时除以8，将三次项系数化为1，得：$x^3=\frac{125}{8}$
② 对等式两边同时开立方，得：$x=\sqrt[3]{\frac{125}{8}}$
③ 计算立方根可得：$x=\frac{5}{2}$
(2) 解方程$-8(x - 3)^3 = 27$：
① 等式两边同时除以$-8$，将三次项系数化为1，得：$(x-3)^3=-\frac{27}{8}$
② 对等式两边同时开立方，得：$x-3=\sqrt[3]{-\frac{27}{8}}$
③ 计算立方根得$x-3=-\frac{3}{2}$，移项计算得：$x=3-\frac{3}{2}=\frac{3}{2}$
【答案】
(1)$x=\frac{5}{2}$ (2)$x=\frac{3}{2}$
【知识点】
立方根运算、等式的性质、简易三次方程求解
【点评】
本题重点考查利用开立方运算降次求解方程的能力，解题核心是先把三次项单独放在等式一侧且系数化为1，再通过开立方转化为一元一次方程求解，计算时要注意负数的立方根仍是负数，避免符号出错。
【难度系数】
0.8
这两道题都是含三次项的简易方程，解题遵循降次原则：首先利用等式的性质将三次项的系数化为1，再对等式两边同时开立方，把三次方程转化为熟悉的一元一次方程，最后求解一元一次方程就能得到x的值。
【解析】
(1) 解方程$8x^3 = 125$：
① 等式两边同时除以8，将三次项系数化为1，得：$x^3=\frac{125}{8}$
② 对等式两边同时开立方，得：$x=\sqrt[3]{\frac{125}{8}}$
③ 计算立方根可得：$x=\frac{5}{2}$
(2) 解方程$-8(x - 3)^3 = 27$：
① 等式两边同时除以$-8$，将三次项系数化为1，得：$(x-3)^3=-\frac{27}{8}$
② 对等式两边同时开立方，得：$x-3=\sqrt[3]{-\frac{27}{8}}$
③ 计算立方根得$x-3=-\frac{3}{2}$，移项计算得：$x=3-\frac{3}{2}=\frac{3}{2}$
【答案】
(1)$x=\frac{5}{2}$ (2)$x=\frac{3}{2}$
【知识点】
立方根运算、等式的性质、简易三次方程求解
【点评】
本题重点考查利用开立方运算降次求解方程的能力，解题核心是先把三次项单独放在等式一侧且系数化为1，再通过开立方转化为一元一次方程求解，计算时要注意负数的立方根仍是负数，避免符号出错。
【难度系数】
0.8
4.有一棱长为6 cm的正方体的容器中盛满水,将这些水倒入另一正方体容器时,还需要加水127 cm³才满,求另一个正方体容器的棱长.
答案
4. 7 cm
解析
【分析】
解题思路分为三步：第一步先计算出原棱长为6cm的正方体容器中水的体积，正方体体积公式为棱长的三次方；第二步根据“倒入另一正方体容器还需加127cm³才满”，计算出另一个正方体容器的总容积，即水的体积加上还需添加的水的体积；第三步已知正方体容积等于棱长的三次方，因此对总容积开立方即可得到另一个正方体容器的棱长。
【解析】
首先计算原正方体容器中水的体积：
$V_水 = 6^3 = 6×6×6 = 216\ \mathrm{cm}^3$
再计算另一个正方体容器的容积：
$V_总 = V_水 + 127 = 216 + 127 = 343\ \mathrm{cm}^3$
设另一个正方体容器的棱长为$x\ \mathrm{cm}$，根据正方体体积公式$V=x^3$可得：
$x^3 = 343$
因为$7^3 = 343$，所以$x = 7$
【答案】
7 cm
【知识点】
正方体体积计算，立方根的应用
【点评】
本题是立方根在实际生活中的应用类题目，解题核心是先通过已知条件求出大正方体的容积，再结合立方根的运算求出棱长，整体逻辑清晰，计算量小。
【难度系数】
0.8
解题思路分为三步：第一步先计算出原棱长为6cm的正方体容器中水的体积，正方体体积公式为棱长的三次方；第二步根据“倒入另一正方体容器还需加127cm³才满”，计算出另一个正方体容器的总容积，即水的体积加上还需添加的水的体积；第三步已知正方体容积等于棱长的三次方，因此对总容积开立方即可得到另一个正方体容器的棱长。
【解析】
首先计算原正方体容器中水的体积：
$V_水 = 6^3 = 6×6×6 = 216\ \mathrm{cm}^3$
再计算另一个正方体容器的容积：
$V_总 = V_水 + 127 = 216 + 127 = 343\ \mathrm{cm}^3$
设另一个正方体容器的棱长为$x\ \mathrm{cm}$，根据正方体体积公式$V=x^3$可得：
$x^3 = 343$
因为$7^3 = 343$，所以$x = 7$
【答案】
7 cm
【知识点】
正方体体积计算，立方根的应用
【点评】
本题是立方根在实际生活中的应用类题目，解题核心是先通过已知条件求出大正方体的容积，再结合立方根的运算求出棱长，整体逻辑清晰，计算量小。
【难度系数】
0.8
