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1.如图，$AB// CD$，$BD$与$AC$交于点$E$，$O$为$AC$的中点，连接$OD$，$AD$，$∠ 1=∠ 2$，试探究线段$CD$，$AB$，$BD$之间的数量关系.
答案
$CD=AB+BD$
解析
【分析】
要探究三条线段CD、AB、BD的数量关系，线段和差问题通常采用截长补短的思路，结合本题AB//CD、O为AC中点的已知条件，可通过构造全等三角形转化线段：首先延长DO交AB的延长线于点F，利用平行线性质和中点条件证明△AOF和△COD全等，将CD转化为AF；再结合∠1=∠2的条件证明△BDF为等腰三角形，得到BD=BF；最后通过线段和的等量代换即可推导三条线段的关系。
【解析】
解：延长DO交AB的延长线于点F。
$\because AB// CD$
$\therefore ∠ OAF=∠ OCD$，$∠ F=∠ 2$（两直线平行，内错角相等）
$\because O$为$AC$的中点
$\therefore AO=CO$
在$△ AOF$和$△ COD$中：
$\{\begin{array}{l}∠ OAF=∠ OCD \\AO=CO \\∠ AOF=∠ COD \quad (\mathrm{对顶角相等})\end{array} $
$\therefore △ AOF≌△ COD(\mathrm{ASA})$
$\therefore AF=CD$（全等三角形对应边相等）
又$\because ∠ 1=∠ 2$，$∠ F=∠ 2$
$\therefore ∠ F=∠ 1$
$\therefore BF=BD$（等角对等边）
$\because AF=AB+BF$
$\therefore CD=AB+BD$（等量代换）
【答案】
$CD=AB+BD$
【知识点】
平行线的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定
【点评】
本题是线段和差关系的典型题型，解题核心是通过构造辅助线得到全等三角形，将分散的三条线段转化到同一直线上，再结合等腰三角形的性质完成等量代换，对辅助线构造能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
要探究三条线段CD、AB、BD的数量关系，线段和差问题通常采用截长补短的思路，结合本题AB//CD、O为AC中点的已知条件，可通过构造全等三角形转化线段：首先延长DO交AB的延长线于点F，利用平行线性质和中点条件证明△AOF和△COD全等，将CD转化为AF；再结合∠1=∠2的条件证明△BDF为等腰三角形，得到BD=BF；最后通过线段和的等量代换即可推导三条线段的关系。
【解析】
解：延长DO交AB的延长线于点F。
$\because AB// CD$
$\therefore ∠ OAF=∠ OCD$，$∠ F=∠ 2$（两直线平行，内错角相等）
$\because O$为$AC$的中点
$\therefore AO=CO$
在$△ AOF$和$△ COD$中：
$\{\begin{array}{l}∠ OAF=∠ OCD \\AO=CO \\∠ AOF=∠ COD \quad (\mathrm{对顶角相等})\end{array} $
$\therefore △ AOF≌△ COD(\mathrm{ASA})$
$\therefore AF=CD$（全等三角形对应边相等）
又$\because ∠ 1=∠ 2$，$∠ F=∠ 2$
$\therefore ∠ F=∠ 1$
$\therefore BF=BD$（等角对等边）
$\because AF=AB+BF$
$\therefore CD=AB+BD$（等量代换）
【答案】
$CD=AB+BD$
【知识点】
平行线的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定
【点评】
本题是线段和差关系的典型题型，解题核心是通过构造辅助线得到全等三角形，将分散的三条线段转化到同一直线上，再结合等腰三角形的性质完成等量代换，对辅助线构造能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
2.(2025·大连高新区期末)如图，△ABC的面积为18 cm²，AD平分∠BAC，CD⊥AD于点D，连接BD，则△ABD的面积为（
A.7 cm²
B.8 cm²
C.9 cm²
D.10 cm²
C
）A.7 cm²
B.8 cm²
C.9 cm²
D.10 cm²
答案
C
解析
【分析】
遇到角平分线与高线重合的图形特征时，可通过延长垂线构造全等三角形、等腰三角形求解。本题中AD平分∠BAC且CD⊥AD，因此延长CD交AB于点E，先证明△ACD与△AED全等得到CD=DE，再利用等底同高的三角形面积相等的性质，推导△ABD和△ABC的面积关系，最后代入数值计算即可。
【解析】
解：延长CD交AB于点E。
∵AD平分∠BAC，
∴∠CAD=∠EAD
∵CD⊥AD，
∴∠ADC=∠ADE=90°
在△ACD和△AED中：
$\{\begin{array}{l}∠ CAD=∠ EAD \\AD=AD \\∠ ADC=∠ ADE\end{array} $
∴△ACD≌△AED（ASA）
∴CD=DE，即D为CE中点
根据等底同高的三角形面积相等，可得：
$S_{△ ACD}=S_{△ AED}$，$S_{△ BCD}=S_{△ BED}$
∴$S_{△ ABD}=S_{△ AED}+S_{△ BED}=S_{△ ACD}+S_{△ BCD}$
∴$S_{△ ABC}=S_{△ ABD}+S_{△ ACD}+S_{△ BCD}=2S_{△ ABD}$
已知$S_{△ ABC}=18\ \mathrm{cm}^2$，代入得：
$S_{△ ABD}=18÷2=9\ \mathrm{cm}^2$
【答案】
C
【知识点】
1. 角平分线性质
2. 全等三角形判定与性质
3. 三角形面积计算
【点评】
本题是构造等腰三角形的典型考法，解题核心是掌握“角平分线+高线，延长垂线构全等”的辅助线做法，通过全等转化线段关系，进而得到面积的数量关系。
【难度系数】
0.7
遇到角平分线与高线重合的图形特征时，可通过延长垂线构造全等三角形、等腰三角形求解。本题中AD平分∠BAC且CD⊥AD，因此延长CD交AB于点E，先证明△ACD与△AED全等得到CD=DE，再利用等底同高的三角形面积相等的性质，推导△ABD和△ABC的面积关系，最后代入数值计算即可。
【解析】
解：延长CD交AB于点E。
∵AD平分∠BAC，
∴∠CAD=∠EAD
∵CD⊥AD，
∴∠ADC=∠ADE=90°
在△ACD和△AED中：
$\{\begin{array}{l}∠ CAD=∠ EAD \\AD=AD \\∠ ADC=∠ ADE\end{array} $
∴△ACD≌△AED（ASA）
∴CD=DE，即D为CE中点
根据等底同高的三角形面积相等，可得：
$S_{△ ACD}=S_{△ AED}$，$S_{△ BCD}=S_{△ BED}$
∴$S_{△ ABD}=S_{△ AED}+S_{△ BED}=S_{△ ACD}+S_{△ BCD}$
∴$S_{△ ABC}=S_{△ ABD}+S_{△ ACD}+S_{△ BCD}=2S_{△ ABD}$
已知$S_{△ ABC}=18\ \mathrm{cm}^2$，代入得：
$S_{△ ABD}=18÷2=9\ \mathrm{cm}^2$
【答案】
C
【知识点】
1. 角平分线性质
2. 全等三角形判定与性质
3. 三角形面积计算
【点评】
本题是构造等腰三角形的典型考法，解题核心是掌握“角平分线+高线，延长垂线构全等”的辅助线做法，通过全等转化线段关系，进而得到面积的数量关系。
【难度系数】
0.7
3.如图,在等腰直角三角形ABC中,AB=AC,∠BAC=90°,BF平分∠ABC,CD⊥BF交BF的延长线于点D.求证:BF=2CD. 
答案
证明:如图,延长 BA,CD 交于点 E.
∵BF 平分∠ABC,CD⊥BD,
∴∠DBC=∠DBE,∠BDC=∠BDE=90°.
在△BDC 和△BDE 中,$\begin{cases} ∠DBC=∠DBE, \\ BD=BD, \\ ∠BDC=∠BDE, \end{cases}$
∴△BDC≌△BDE(ASA),
∴BC=BE.
∵BD⊥CE,
∴CE=2CD.
∵∠BAC=90°,∠BDC=90°,∠AFB=∠DFC,
∴∠ABF=∠ACE.
在△ABF 和△ACE 中,
$\begin{cases} ∠ABF=∠ACE, \\ AB=AC, \\ ∠BAF=∠CAE, \end{cases}$
∴△ABF≌△ACE(ASA),
∴BF=CE,
∴BF=2CD.
解析
【分析】
要证明BF=2CD属于线段倍半关系的证明，优先考虑将短线段CD倍长后证明其与BF相等。观察已知条件：BF平分∠ABC且CD⊥BF，符合“角平分线+边上垂线”的特征，可通过延长BA、CD交于点E构造等腰三角形，利用等腰三角形三线合一得到CE=2CD，接下来只需证明BF=CE即可，可通过证明△ABF和△ACE全等推导，两组三角形有相等的直角边AB=AC、公共直角顶点，再推导一组对应角相等即可证明全等，进而得到结论。
【解析】
证明：如图，延长 BA,CD 交于点 E.
∵BF 平分∠ABC,CD⊥BD,
∴∠DBC=∠DBE,∠BDC=∠BDE=90°.
在△BDC 和△BDE 中,
$\begin{cases} ∠DBC=∠DBE, \\ BD=BD, \\ ∠BDC=∠BDE, \end{cases}$
∴△BDC≌△BDE(ASA),
∴BC=BE.
∵BD⊥CE,
∴CE=2CD.
∵∠BAC=90°,∠BDC=90°,∠AFB=∠DFC,
∴∠ABF=∠ACE.
在△ABF 和△ACE 中,
$\begin{cases} ∠ABF=∠ACE, \\ AB=AC, \\ ∠BAF=∠CAE, \end{cases}$
∴△ABF≌△ACE(ASA),
∴BF=CE,
∴BF=2CD.
【答案】
证明：如图,延长 BA,CD 交于点 E.
∵BF 平分∠ABC,CD⊥BD,
∴∠DBC=∠DBE,∠BDC=∠BDE=90°.
在△BDC 和△BDE 中,$\begin{cases} ∠DBC=∠DBE, \\ BD=BD, \\ ∠BDC=∠BDE, \end{cases}$
∴△BDC≌△BDE(ASA),
∴BC=BE.
∵BD⊥CE,
∴CE=2CD.
∵∠BAC=90°,∠BDC=90°,∠AFB=∠DFC,
∴∠ABF=∠ACE.
在△ABF 和△ACE 中,
$\begin{cases} ∠ABF=∠ACE, \\ AB=AC, \\ ∠BAF=∠CAE, \end{cases}$
∴△ABF≌△ACE(ASA),
∴BF=CE,
∴BF=2CD.
【知识点】
全等三角形的判定与性质、等腰三角形三线合一、角平分线的定义
【点评】
本题是线段倍半关系证明的典型题型，解题核心是结合角平分线与垂直的特征构造等腰三角形，将倍半关系转化为线段相等问题，再通过全等三角形完成推导，能有效锻炼辅助线构造能力和几何逻辑推理能力。
【难度系数】
0.6
要证明BF=2CD属于线段倍半关系的证明，优先考虑将短线段CD倍长后证明其与BF相等。观察已知条件：BF平分∠ABC且CD⊥BF，符合“角平分线+边上垂线”的特征，可通过延长BA、CD交于点E构造等腰三角形，利用等腰三角形三线合一得到CE=2CD，接下来只需证明BF=CE即可，可通过证明△ABF和△ACE全等推导，两组三角形有相等的直角边AB=AC、公共直角顶点，再推导一组对应角相等即可证明全等，进而得到结论。
【解析】
证明：如图，延长 BA,CD 交于点 E.
∵BF 平分∠ABC,CD⊥BD,
∴∠DBC=∠DBE,∠BDC=∠BDE=90°.
在△BDC 和△BDE 中,
$\begin{cases} ∠DBC=∠DBE, \\ BD=BD, \\ ∠BDC=∠BDE, \end{cases}$
∴△BDC≌△BDE(ASA),
∴BC=BE.
∵BD⊥CE,
∴CE=2CD.
∵∠BAC=90°,∠BDC=90°,∠AFB=∠DFC,
∴∠ABF=∠ACE.
在△ABF 和△ACE 中,
$\begin{cases} ∠ABF=∠ACE, \\ AB=AC, \\ ∠BAF=∠CAE, \end{cases}$
∴△ABF≌△ACE(ASA),
∴BF=CE,
∴BF=2CD.
【答案】
证明：如图,延长 BA,CD 交于点 E.
∵BF 平分∠ABC,CD⊥BD,
∴∠DBC=∠DBE,∠BDC=∠BDE=90°.
在△BDC 和△BDE 中,$\begin{cases} ∠DBC=∠DBE, \\ BD=BD, \\ ∠BDC=∠BDE, \end{cases}$
∴△BDC≌△BDE(ASA),
∴BC=BE.
∵BD⊥CE,
∴CE=2CD.
∵∠BAC=90°,∠BDC=90°,∠AFB=∠DFC,
∴∠ABF=∠ACE.
在△ABF 和△ACE 中,
$\begin{cases} ∠ABF=∠ACE, \\ AB=AC, \\ ∠BAF=∠CAE, \end{cases}$
∴△ABF≌△ACE(ASA),
∴BF=CE,
∴BF=2CD.
【知识点】
全等三角形的判定与性质、等腰三角形三线合一、角平分线的定义
【点评】
本题是线段倍半关系证明的典型题型，解题核心是结合角平分线与垂直的特征构造等腰三角形，将倍半关系转化为线段相等问题，再通过全等三角形完成推导，能有效锻炼辅助线构造能力和几何逻辑推理能力。
【难度系数】
0.6
