【例】如图1,在正方形ABCD中,以A为顶点的$∠ EAF = 45°$,AE,AF与BC,CD分别交于E,F两点,探究EF,BE,DF之间的数量关系.小明的思路:如图2,延长CB到点H,使BH=DF,连接AH,先证明$△ ADF ≌ △ ABH$,再证明$△ AHE ≌ △ AFE$.从而得到EF,BE,DF之间的数量关系.
(1)EF,BE,DF之间的数量关系为.
(2)如图3,AB=AD,$∠ B = ∠ D = 90°$,以A为顶点的$∠ BAD = 120°$,$∠ EAF = 60°$,AE,AF与BC,CD分别交于E,F两点,你认为(1)中的结论还成立吗?若成立,请写出证明过程;若不成立,请说明理由.
(3)如图4,在四边形ABCD中,AB=AD=a,BC=b,CD=c.$∠ ABC$与$∠ ADC$互补,AE,AF与BC,CD分别交于E,F两点,且$∠ EAF = \frac{1}{2}∠ BAD$,则$△ EFC$的周长为(用含a,b,c的式子表示).

(1)$EF=DF+BE$
(2)成立.证明略
(3)$b+c$

【分析】
(1) 采用“截长补短”的构造思路：正方形中AB=AD，∠D=∠ABH=90°，延长CB到H使BH=DF，先证△ADF≌△ABH得到AF=AH、∠DAF=∠BAH；结合∠EAF=45°推得∠HAE=∠EAF，再证△AHE≌△AFE即可得到线段关系。
(2) 延续(1)的构造思路：延长CB到H使BH=DF，先利用∠D=∠ABH=90°、AB=AD证△ADF≌△ABH，再结合∠BAD=120°、∠EAF=60°推得∠HAE=∠EAF，证△AHE≌△AFE即可验证结论。
(3) 利用∠ABC与∠ADC互补得∠ABH=∠ADF，延长CB到H使BH=DF，先证△ADF≌△ABH，再结合∠EAF=$\frac{1}{2}$∠BAD推得∠HAE=∠EAF，证△AEF≌△AEH得到EF=BE+DF，代入周长公式化简即可。
【解析】
(1) 如图2，延长CB到点H，使BH=DF，连接AH。
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD，∠D=∠ABH=90°，
在△ADF和△ABH中：
$\{\begin{array}{l}AD=AB\\∠D=∠ABH\\DF=BH\end{array} $
∴△ADF≌△ABH（SAS），
∴AF=AH，∠DAF=∠BAH，
∵∠EAF=45°，∠BAD=90°，
∴∠BAE+∠DAF=∠BAD-∠EAF=45°，
∴∠BAE+∠BAH=∠HAE=45°=∠EAF，
在△AHE和△AFE中：
$\{\begin{array}{l}AH=AF\\∠HAE=∠FAE\\AE=AE\end{array} $
∴△AHE≌△AFE（SAS），
∴EF=HE=BE+BH=BE+DF。
(2) 结论成立，证明如下：
延长CB到点H，使BH=DF，连接AH。
∵∠ABC=∠D=90°，
∴∠ABH=180°-∠ABC=90°=∠D，
在△ADF和△ABH中：
$\{\begin{array}{l}AD=AB\\∠D=∠ABH\\DF=BH\end{array} $
∴△ADF≌△ABH（SAS），
∴AF=AH，∠DAF=∠BAH，
∵∠BAD=120°，∠EAF=60°，
∴∠BAE+∠DAF=∠BAD-∠EAF=60°，
∴∠BAE+∠BAH=∠HAE=60°=∠EAF，
在△AHE和△AFE中：
$\{\begin{array}{l}AH=AF\\∠HAE=∠FAE\\AE=AE\end{array} $
∴△AHE≌△AFE（SAS），
∴EF=HE=BE+BH=BE+DF，故(1)中结论成立。
(3) 延长CB到点H，使BH=DF，连接AH。
∵∠ABC与∠ADC互补，
∴∠ABC+∠ADC=180°，
又
∵∠ABC+∠ABH=180°，
∴∠ABH=∠ADC=∠ADF，
在△ADF和△ABH中：
$\{\begin{array}{l}AD=AB\\∠ADF=∠ABH\\DF=BH\end{array} $
∴△ADF≌△ABH（SAS），
∴AF=AH，∠DAF=∠BAH，
∵∠EAF=$\frac{1}{2}$∠BAD，
∴∠BAE+∠DAF=∠BAD - ∠EAF=$\frac{1}{2}$∠BAD，
∴∠BAE+∠BAH=∠HAE=$\frac{1}{2}$∠BAD=∠EAF，
在△AHE和△AFE中：
$\{\begin{array}{l}AH=AF\\∠HAE=∠FAE\\AE=AE\end{array} $
∴△AHE≌△AFE（SAS），
∴EF=HE=BE+BH=BE+DF，
∴△EFC的周长=EF+EC+CF=BE+DF+EC+CF=(BE+EC)+(DF+CF)=BC+CD=$b+c$。
【答案】
(1)$EF=BE+DF$
(2)成立，证明过程见解析
(3)$b+c$
【知识点】
半角模型，全等三角形的判定与性质，截长补短法
【点评】
本题是半角模型的典型应用，核心方法是通过截长补短构造全等三角形，将分散的线段转化到同一条线段上推导数量关系，掌握该构造方法可快速解决同类角度含倍数关系的线段和差问题。
【难度系数】
0.6