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1.式子$\frac{2}{5}x$，$\frac{1}{π}$，$\frac{2}{x^2 + 4}$，$x^2 - \frac{2}{3}$，$\frac{1}{x}$，$\frac{x+1}{x+2}$中，属于分式的有（
A.2个
B.3个
C.4个
D.5个
B
）A.2个
B.3个
C.4个
D.5个
答案
1.B
解析
【分析】
要判断哪些是分式，首先需要明确分式的判定标准：形如$\frac{A}{B}$（A、B是整式），且分母B中含有字母、B不为0的式子是分式，注意圆周率π是常数，不属于字母。解题时我们只需逐个核对每个式子是否符合分式的定义，统计符合条件的个数即可得到答案。
【解析】
根据分式的定义，逐个分析式子：
1. $\frac{2}{5}x$：分母为常数5，不含字母，属于整式，不是分式；
2. $\frac{1}{π}$：分母π是固定常数，不属于字母，属于整式，不是分式；
3. $\frac{2}{x^2 + 4}$：分母$x^2+4$含有字母x，符合分式定义，是分式；
4. $x^2 - \frac{2}{3}$：没有含字母的分母，属于整式中的多项式，不是分式；
5. $\frac{1}{x}$：分母x含有字母，符合分式定义，是分式；
6. $\frac{x+1}{x+2}$：分母$x+2$含有字母x，符合分式定义，是分式。
综上，共有3个分式，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
分式的定义、整式的概念
【点评】
本题属于基础概念考查题，解题的核心是牢牢掌握分式的判定条件，常见易错点是误将常数π当作字母，把$\frac{1}{π}$判定为分式，另外要注意区分整式和分式的核心差异是分母中是否含有字母。
【难度系数】
0.7
要判断哪些是分式，首先需要明确分式的判定标准：形如$\frac{A}{B}$（A、B是整式），且分母B中含有字母、B不为0的式子是分式，注意圆周率π是常数，不属于字母。解题时我们只需逐个核对每个式子是否符合分式的定义，统计符合条件的个数即可得到答案。
【解析】
根据分式的定义，逐个分析式子：
1. $\frac{2}{5}x$：分母为常数5，不含字母，属于整式，不是分式；
2. $\frac{1}{π}$：分母π是固定常数，不属于字母，属于整式，不是分式；
3. $\frac{2}{x^2 + 4}$：分母$x^2+4$含有字母x，符合分式定义，是分式；
4. $x^2 - \frac{2}{3}$：没有含字母的分母，属于整式中的多项式，不是分式；
5. $\frac{1}{x}$：分母x含有字母，符合分式定义，是分式；
6. $\frac{x+1}{x+2}$：分母$x+2$含有字母x，符合分式定义，是分式。
综上，共有3个分式，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
分式的定义、整式的概念
【点评】
本题属于基础概念考查题，解题的核心是牢牢掌握分式的判定条件，常见易错点是误将常数π当作字母，把$\frac{1}{π}$判定为分式，另外要注意区分整式和分式的核心差异是分母中是否含有字母。
【难度系数】
0.7
2.【一题多问】已知分式$\frac{2+x}{x-3}$。
(1)当
(2)当
(3)当
(4)当$x=2$时，分式的值为
(5)当分式的值为正数时，$x$的取值范围是
(1)当
$x≠3$
时，分式有意义；(2)当
$x=3$
时，分式无意义；(3)当
$x=-2$
时，分式的值为0；(4)当$x=2$时，分式的值为
$-4$
；(5)当分式的值为正数时，$x$的取值范围是
$x＞3$ 或 $x＜-2$
。答案
2.(1)$x≠3$ (2)$x=3$ (3)$x=-2$ (4)$-4$ (5)$x＞3$ 或 $x＜-2$
解析
【分析】
本题围绕分式的基本性质设置考点，解题思路清晰：
1. 分式有意义的核心要求是分母不为0，据此解答第(1)问；
2. 分式无意义的判定依据是分母等于0，据此解答第(2)问；
3. 分式值为0需要同时满足两个条件：分子为0，且分母不为0，两个条件缺一不可，据此解答第(3)问；
4. 求指定x取值下的分式值，直接将x代入分式计算即可，注意运算准确性，据此解答第(4)问；
5. 分式值为正数说明分子、分母同号（同为正或同为负），分两种情况列不等式求解，即可得到x的取值范围，据此解答第(5)问。
【解析】
(1) 分式有意义时分母不为0，即$x-3≠0$，解得$x≠3$；
(2) 分式无意义时分母为0，即$x-3=0$，解得$x=3$；
(3) 分式值为0需满足分子为0且分母不为0：
令分子$2+x=0$，解得$x=-2$，代入分母验证得$x-3=-2-3=-5≠0$，符合要求，故$x=-2$；
(4) 将$x=2$代入分式得：$\frac{2+2}{2-3}=\frac{4}{-1}=-4$；
(5) 分式值为正数时分子分母同号，分两种情况讨论：
① 分子分母均为正：$\begin{cases}2+x＞0 \\ x-3＞0\end{cases}$，解得$x＞3$；
② 分子分母均为负：$\begin{cases}2+x＜0 \\ x-3＜0\end{cases}$，解得$x＜-2$；
综上，x的取值范围是$x＞3$或$x＜-2$。
【答案】
(1)$x≠3$ (2)$x=3$ (3)$x=-2$ (4)$-4$ (5)$x＞3$ 或 $x＜-2$
【知识点】
分式有意义的条件、分式值为0的条件、分式求值
【点评】
本题是分式的基础考察题型，全面覆盖了分式性质的高频考点，解题时要注意分式值为0时不能忽略分母不为0的前提，求解分式正负性时要结合符号法则分类讨论，避免漏解。
【难度系数】
0.8
本题围绕分式的基本性质设置考点，解题思路清晰：
1. 分式有意义的核心要求是分母不为0，据此解答第(1)问；
2. 分式无意义的判定依据是分母等于0，据此解答第(2)问；
3. 分式值为0需要同时满足两个条件：分子为0，且分母不为0，两个条件缺一不可，据此解答第(3)问；
4. 求指定x取值下的分式值，直接将x代入分式计算即可，注意运算准确性，据此解答第(4)问；
5. 分式值为正数说明分子、分母同号（同为正或同为负），分两种情况列不等式求解，即可得到x的取值范围，据此解答第(5)问。
【解析】
(1) 分式有意义时分母不为0，即$x-3≠0$，解得$x≠3$；
(2) 分式无意义时分母为0，即$x-3=0$，解得$x=3$；
(3) 分式值为0需满足分子为0且分母不为0：
令分子$2+x=0$，解得$x=-2$，代入分母验证得$x-3=-2-3=-5≠0$，符合要求，故$x=-2$；
(4) 将$x=2$代入分式得：$\frac{2+2}{2-3}=\frac{4}{-1}=-4$；
(5) 分式值为正数时分子分母同号，分两种情况讨论：
① 分子分母均为正：$\begin{cases}2+x＞0 \\ x-3＞0\end{cases}$，解得$x＞3$；
② 分子分母均为负：$\begin{cases}2+x＜0 \\ x-3＜0\end{cases}$，解得$x＜-2$；
综上，x的取值范围是$x＞3$或$x＜-2$。
【答案】
(1)$x≠3$ (2)$x=3$ (3)$x=-2$ (4)$-4$ (5)$x＞3$ 或 $x＜-2$
【知识点】
分式有意义的条件、分式值为0的条件、分式求值
【点评】
本题是分式的基础考察题型，全面覆盖了分式性质的高频考点，解题时要注意分式值为0时不能忽略分母不为0的前提，求解分式正负性时要结合符号法则分类讨论，避免漏解。
【难度系数】
0.8
3.(2024·鞍山立山区月考)下列从左到右的变形中，一定正确的是（
A.$\frac{b}{a}=\frac{b-1}{a-1}$
B.$\frac{y(a+1)}{x(a+1)}=\frac{y}{x}$
C.$\frac{a+b}{a^2}=\frac{1+b}{a}$
D.$\frac{x^2 -1}{x-1}=x-1$
B
）A.$\frac{b}{a}=\frac{b-1}{a-1}$
B.$\frac{y(a+1)}{x(a+1)}=\frac{y}{x}$
C.$\frac{a+b}{a^2}=\frac{1+b}{a}$
D.$\frac{x^2 -1}{x-1}=x-1$
答案
3.B
解析
【分析】
本题考查分式基本性质的应用，解题需先明确分式的核心性质：分式的分子与分母同时乘（或除以）同一个不为0的整式，分式的值不变，变形时需同时满足“同乘/除同一整式、该整式不为0”两个要求，我们只需逐个验证选项是否符合该性质即可选出正确答案。
【解析】
我们结合分式基本性质逐一分析选项：
A选项：该变形是将分子、分母同时减1，不符合分式基本性质中“同乘/除”的运算要求，变形不成立，例如取a=2、b=3，$\frac{3}{2}≠\frac{3-1}{2-1}=2$，故A错误；
B选项：从左到右的变形是分子、分母同时除以整式$(a+1)$，由于左侧分式$\frac{y(a+1)}{x(a+1)}$有意义，因此分母$x(a+1)≠0$，即$a+1≠0$且$x≠0$，满足“除以的整式不为0”的要求，因此$\frac{y(a+1)}{x(a+1)}=\frac{y}{x}$成立，故B正确；
C选项：变形时分母$a^2$除以a得到a，但分子$(a+b)$除以a的结果是$1+\frac{b}{a}$，并非$1+b$，不符合“分子、分母同除以同一个整式”的要求，变形错误，故C错误；
D选项：先对分子因式分解得$x^2-1=(x+1)(x-1)$，因此$\frac{x^2-1}{x-1}=\frac{(x+1)(x-1)}{x-1}=x+1≠x-1$，变形计算错误，故D错误。
【答案】
B
【知识点】
分式的基本性质；分式的约分
【点评】
本题是分式性质的基础考查题，易错点在于容易忽略分式变形时乘除的整式不能为0的前提，以及约分未做到分子分母同时除以公因式。
【难度系数】
0.7
本题考查分式基本性质的应用，解题需先明确分式的核心性质：分式的分子与分母同时乘（或除以）同一个不为0的整式，分式的值不变，变形时需同时满足“同乘/除同一整式、该整式不为0”两个要求，我们只需逐个验证选项是否符合该性质即可选出正确答案。
【解析】
我们结合分式基本性质逐一分析选项：
A选项：该变形是将分子、分母同时减1，不符合分式基本性质中“同乘/除”的运算要求，变形不成立，例如取a=2、b=3，$\frac{3}{2}≠\frac{3-1}{2-1}=2$，故A错误；
B选项：从左到右的变形是分子、分母同时除以整式$(a+1)$，由于左侧分式$\frac{y(a+1)}{x(a+1)}$有意义，因此分母$x(a+1)≠0$，即$a+1≠0$且$x≠0$，满足“除以的整式不为0”的要求，因此$\frac{y(a+1)}{x(a+1)}=\frac{y}{x}$成立，故B正确；
C选项：变形时分母$a^2$除以a得到a，但分子$(a+b)$除以a的结果是$1+\frac{b}{a}$，并非$1+b$，不符合“分子、分母同除以同一个整式”的要求，变形错误，故C错误；
D选项：先对分子因式分解得$x^2-1=(x+1)(x-1)$，因此$\frac{x^2-1}{x-1}=\frac{(x+1)(x-1)}{x-1}=x+1≠x-1$，变形计算错误，故D错误。
【答案】
B
【知识点】
分式的基本性质；分式的约分
【点评】
本题是分式性质的基础考查题，易错点在于容易忽略分式变形时乘除的整式不能为0的前提，以及约分未做到分子分母同时除以公因式。
【难度系数】
0.7
4.(2024·丹东期末)将下列各式中$x,y(x≠0,y≠0)$的值均扩大2倍后，分式的值一定不变的是（
A.$\dfrac{2x+5y}{xy}$
B.$\dfrac{x+3}{xy}$
C.$\dfrac{x^2+4y^2}{2xy}$
D.$\dfrac{3x^3y}{x+y}$
C
）A.$\dfrac{2x+5y}{xy}$
B.$\dfrac{x+3}{xy}$
C.$\dfrac{x^2+4y^2}{2xy}$
D.$\dfrac{3x^3y}{x+y}$
答案
4.C
解析
【分析】
本题考查分式的基本性质应用，解题思路为：根据题意将每个选项中的x替换为2x、y替换为2y，再对替换后的分式进行化简，将化简结果和原式对比，若相等则该选项符合要求。依据的核心原理是分式的基本性质：分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变。
【解析】
将x、y均扩大2倍，即把所有x替换为2x，所有y替换为2y，逐个计算各选项变化后的分式：
A选项：代入后得$\dfrac{2×2x + 5×2y}{2x·2y}=\dfrac{4x+10y}{4xy}=\dfrac{2(2x+5y)}{4xy}=\dfrac{2x+5y}{2xy}$，是原式的$\dfrac{1}{2}$，分式值改变，不符合要求；
B选项：代入后得$\dfrac{2x + 3}{2x·2y}=\dfrac{2x+3}{4xy}$，与原式$\dfrac{x+3}{xy}$不相等，分式值改变，不符合要求；
C选项：代入后得$\dfrac{(2x)^2 + 4×(2y)^2}{2×2x·2y}=\dfrac{4x^2 + 16y^2}{8xy}=\dfrac{4(x^2 + 4y^2)}{8xy}=\dfrac{x^2 + 4y^2}{2xy}$，和原式完全相等，分式值不变，符合要求；
D选项：代入后得$\dfrac{3×(2x)^3×2y}{2x + 2y}=\dfrac{3×8x^3×2y}{2(x+y)}=\dfrac{48x^3y}{2(x+y)}=\dfrac{24x^3y}{x+y}$，是原式的8倍，分式值改变，不符合要求。
【答案】
C
【知识点】
分式的基本性质；分式的化简
【点评】
本题是分式性质的典型应用题型，核心是掌握替换变量后代入化简的方法，运算时要注意乘方、乘法的计算规则，避免因计算失误丢分。
【难度系数】
0.7
本题考查分式的基本性质应用，解题思路为：根据题意将每个选项中的x替换为2x、y替换为2y，再对替换后的分式进行化简，将化简结果和原式对比，若相等则该选项符合要求。依据的核心原理是分式的基本性质：分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变。
【解析】
将x、y均扩大2倍，即把所有x替换为2x，所有y替换为2y，逐个计算各选项变化后的分式：
A选项：代入后得$\dfrac{2×2x + 5×2y}{2x·2y}=\dfrac{4x+10y}{4xy}=\dfrac{2(2x+5y)}{4xy}=\dfrac{2x+5y}{2xy}$，是原式的$\dfrac{1}{2}$，分式值改变，不符合要求；
B选项：代入后得$\dfrac{2x + 3}{2x·2y}=\dfrac{2x+3}{4xy}$，与原式$\dfrac{x+3}{xy}$不相等，分式值改变，不符合要求；
C选项：代入后得$\dfrac{(2x)^2 + 4×(2y)^2}{2×2x·2y}=\dfrac{4x^2 + 16y^2}{8xy}=\dfrac{4(x^2 + 4y^2)}{8xy}=\dfrac{x^2 + 4y^2}{2xy}$，和原式完全相等，分式值不变，符合要求；
D选项：代入后得$\dfrac{3×(2x)^3×2y}{2x + 2y}=\dfrac{3×8x^3×2y}{2(x+y)}=\dfrac{48x^3y}{2(x+y)}=\dfrac{24x^3y}{x+y}$，是原式的8倍，分式值改变，不符合要求。
【答案】
C
【知识点】
分式的基本性质；分式的化简
【点评】
本题是分式性质的典型应用题型，核心是掌握替换变量后代入化简的方法，运算时要注意乘方、乘法的计算规则，避免因计算失误丢分。
【难度系数】
0.7
5.世界上最小、最轻的昆虫是膜翅目缨小蜂科的一种卵蜂，体重只有0.000 005克，数据0.000 005用科学记数法表示为（
A.$5×10^{-5}$
B.$0.5×10^{-5}$
C.$5×10^{-6}$
D.$50×10^{-6}$
C
）A.$5×10^{-5}$
B.$0.5×10^{-5}$
C.$5×10^{-6}$
D.$50×10^{-6}$
答案
5.C
解析
【分析】
要解决这道题，首先需要回忆用科学记数法表示小于1的正数的规则：科学记数法的形式为$a × 10^{-n}$，其中有两个核心要求：一是$1 ≤ |a| ＜ 10$，二是指数$n$的值等于原数左边第一个非零数字前面所有0的个数（包括小数点前的那个0）。我们先根据$a$的取值范围排除不符合的选项，再确定$n$的数值就能得到正确答案。
【解析】
科学记数法表示小于1的正数的标准形式为$a × 10^{-n}$，其中$1 ≤ a ＜ 10$，$n$为正整数。
第一步：确定$a$的取值：将0.000005的小数点向右移动，直到得到一个大于等于1且小于10的数，即$a=5$，据此可排除B选项（$a=0.5＜1$）和D选项（$a=50≥10$）。
第二步：确定指数$n$：原数0.000005中，第一个非零数字5前面共有6个0，因此$n=6$，可得$0.000005=5 × 10^{-6}$，排除A选项。
综上，正确答案为C。
【答案】
C
【知识点】
科学记数法表示较小的数
【点评】
本题是基础概念考查题，重点考察科学记数法的表示规则，解题的核心是牢记$a$的取值范围和负指数$n$的确定方法，熟练掌握规则后即可快速得分。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，首先需要回忆用科学记数法表示小于1的正数的规则：科学记数法的形式为$a × 10^{-n}$，其中有两个核心要求：一是$1 ≤ |a| ＜ 10$，二是指数$n$的值等于原数左边第一个非零数字前面所有0的个数（包括小数点前的那个0）。我们先根据$a$的取值范围排除不符合的选项，再确定$n$的数值就能得到正确答案。
【解析】
科学记数法表示小于1的正数的标准形式为$a × 10^{-n}$，其中$1 ≤ a ＜ 10$，$n$为正整数。
第一步：确定$a$的取值：将0.000005的小数点向右移动，直到得到一个大于等于1且小于10的数，即$a=5$，据此可排除B选项（$a=0.5＜1$）和D选项（$a=50≥10$）。
第二步：确定指数$n$：原数0.000005中，第一个非零数字5前面共有6个0，因此$n=6$，可得$0.000005=5 × 10^{-6}$，排除A选项。
综上，正确答案为C。
【答案】
C
【知识点】
科学记数法表示较小的数
【点评】
本题是基础概念考查题，重点考察科学记数法的表示规则，解题的核心是牢记$a$的取值范围和负指数$n$的确定方法，熟练掌握规则后即可快速得分。
【难度系数】
0.8
6.(2024·河北)已知A为整式，若$\frac{A}{xy+y^2} - \frac{y}{x^2+xy}$的结果为$\frac{x-y}{xy}$，则A=（
A.$x$
B.$y$
C.$x+y$
D.$x-y$
A
）A.$x$
B.$y$
C.$x+y$
D.$x-y$
答案
6.A
解析
【分析】
这是已知分式运算结果求未知整式的题目，解题核心是把分式运算转化为整式运算降低难度。首先先对所有分式的分母因式分解，找到最简公分母，再给等式两边同时乘最简公分母消去分母，就能得到关于A的整式方程，进而化简求出A的值；也可以采用代入法，把选项逐一代入原式验证结果是否为$\frac{x-y}{xy}$，两种方法都符合学段要求。
【解析】
步骤1：对各分母因式分解
$xy+y^2=y(x+y)$，$x^2+xy=x(x+y)$，原等式可改写为：
$\frac{A}{y(x+y)} - \frac{y}{x(x+y)} = \frac{x-y}{xy}$
步骤2：消去分母转化为整式方程
由分式有意义的条件可知$x≠0$，$y≠0$，$x+y≠0$，因此给等式两边同时乘最简公分母$xy(x+y)$，得：
$A· x - y· y = (x-y)(x+y)$
步骤3：化简求解A
左边化简为$Ax - y^2$，右边用平方差公式化简为$x^2 - y^2$，因此等式变为：
$Ax - y^2 = x^2 - y^2$
两边同时加$y^2$得：$Ax=x^2$，又因为$x≠0$，两边同时除以x得$A=x$。
【答案】
A
【知识点】
分式的运算；因式分解；整式化简
【点评】
本题属于分式运算的基础应用题，消去分母转化为整式运算的思路是解决这类问题的常用技巧，计算时要注意不要漏乘项，同时要注意分母不为0的隐含条件。
【难度系数】
0.7
这是已知分式运算结果求未知整式的题目，解题核心是把分式运算转化为整式运算降低难度。首先先对所有分式的分母因式分解，找到最简公分母，再给等式两边同时乘最简公分母消去分母，就能得到关于A的整式方程，进而化简求出A的值；也可以采用代入法，把选项逐一代入原式验证结果是否为$\frac{x-y}{xy}$，两种方法都符合学段要求。
【解析】
步骤1：对各分母因式分解
$xy+y^2=y(x+y)$，$x^2+xy=x(x+y)$，原等式可改写为：
$\frac{A}{y(x+y)} - \frac{y}{x(x+y)} = \frac{x-y}{xy}$
步骤2：消去分母转化为整式方程
由分式有意义的条件可知$x≠0$，$y≠0$，$x+y≠0$，因此给等式两边同时乘最简公分母$xy(x+y)$，得：
$A· x - y· y = (x-y)(x+y)$
步骤3：化简求解A
左边化简为$Ax - y^2$，右边用平方差公式化简为$x^2 - y^2$，因此等式变为：
$Ax - y^2 = x^2 - y^2$
两边同时加$y^2$得：$Ax=x^2$，又因为$x≠0$，两边同时除以x得$A=x$。
【答案】
A
【知识点】
分式的运算；因式分解；整式化简
【点评】
本题属于分式运算的基础应用题，消去分母转化为整式运算的思路是解决这类问题的常用技巧，计算时要注意不要漏乘项，同时要注意分母不为0的隐含条件。
【难度系数】
0.7
7.计算:
(1)$(\dfrac{2n+1}{n}+n)÷\dfrac{n^2 -1}{n};$
(2)$(a -1 +\dfrac{a+3}{a+2})÷\dfrac{a^2 -1}{a+2}.$
(1)$(\dfrac{2n+1}{n}+n)÷\dfrac{n^2 -1}{n};$
(2)$(a -1 +\dfrac{a+3}{a+2})÷\dfrac{a^2 -1}{a+2}.$
答案
7.(1)$\frac{n+1}{n-1}$ (2)$\frac{a+1}{a-1}$
解析
【分析】
这两道题是分式的混合运算，解题遵循“先算括号内，再算乘除”的顺序：①先对括号内的整式、分式通分，转化为同分母分式的加减，化简括号内的结果；②将除法运算转化为乘法运算，即除以一个分式等于乘以它的倒数；③对分子、分母分别因式分解，约去公因式得到最简结果。
【解析】
(1) 先计算括号内的加法，再将除法转化为乘法约分：
原式$=( \dfrac{2n+1}{n}+\dfrac{n^2}{n} ) × \dfrac{n}{n^2-1}$
$=\dfrac{n^2+2n+1}{n} × \dfrac{n}{(n-1)(n+1)}$
$=\dfrac{(n+1)^2}{n} × \dfrac{n}{(n-1)(n+1)}$
约去公因式$n$和$(n+1)$，得：
原式$=\dfrac{n+1}{n-1}$
(2) 先将括号内的整式通分计算加法，再转化为乘法约分：
原式$=( \dfrac{(a-1)(a+2)}{a+2}+\dfrac{a+3}{a+2} ) × \dfrac{a+2}{a^2-1}$
先计算分子：$(a-1)(a+2)+a+3 = a^2 +a -2 +a +3 = a^2+2a+1=(a+1)^2$
因此原式$=\dfrac{(a+1)^2}{a+2} × \dfrac{a+2}{(a-1)(a+1)}$
约去公因式$a+2$和$(a+1)$，得：
原式$=\dfrac{a+1}{a-1}$
【答案】
(1)$\dfrac{n+1}{n-1}$ (2)$\dfrac{a+1}{a-1}$
【知识点】
分式混合运算；因式分解；分式约分
【点评】
本题是分式运算的常规题型，核心是掌握分式运算的顺序，熟练运用通分、因式分解和约分的方法化简，计算时要注意符号和因式分解的正确性，避免漏约或错约公因式。
【难度系数】
0.7
这两道题是分式的混合运算，解题遵循“先算括号内，再算乘除”的顺序：①先对括号内的整式、分式通分，转化为同分母分式的加减，化简括号内的结果；②将除法运算转化为乘法运算，即除以一个分式等于乘以它的倒数；③对分子、分母分别因式分解，约去公因式得到最简结果。
【解析】
(1) 先计算括号内的加法，再将除法转化为乘法约分：
原式$=( \dfrac{2n+1}{n}+\dfrac{n^2}{n} ) × \dfrac{n}{n^2-1}$
$=\dfrac{n^2+2n+1}{n} × \dfrac{n}{(n-1)(n+1)}$
$=\dfrac{(n+1)^2}{n} × \dfrac{n}{(n-1)(n+1)}$
约去公因式$n$和$(n+1)$，得：
原式$=\dfrac{n+1}{n-1}$
(2) 先将括号内的整式通分计算加法，再转化为乘法约分：
原式$=( \dfrac{(a-1)(a+2)}{a+2}+\dfrac{a+3}{a+2} ) × \dfrac{a+2}{a^2-1}$
先计算分子：$(a-1)(a+2)+a+3 = a^2 +a -2 +a +3 = a^2+2a+1=(a+1)^2$
因此原式$=\dfrac{(a+1)^2}{a+2} × \dfrac{a+2}{(a-1)(a+1)}$
约去公因式$a+2$和$(a+1)$，得：
原式$=\dfrac{a+1}{a-1}$
【答案】
(1)$\dfrac{n+1}{n-1}$ (2)$\dfrac{a+1}{a-1}$
【知识点】
分式混合运算；因式分解；分式约分
【点评】
本题是分式运算的常规题型，核心是掌握分式运算的顺序，熟练运用通分、因式分解和约分的方法化简，计算时要注意符号和因式分解的正确性，避免漏约或错约公因式。
【难度系数】
0.7
8.先化简，再求值：$( \dfrac{2x - y}{x + y} - \dfrac{x^2 - 2xy + y^2}{x^2 - y^2} ) ÷ \dfrac{x - y}{x + y}$，其中$x = ( \dfrac{1}{2} )^{-1}$，$y = (-2023)^0$。
答案
8.化简的结果为$\frac{x}{x-y}$,值为2
解析
【分析】
这是一道分式化简求值题，解题思路可分为三步：第一步先处理括号内的分式运算，观察到第二个分式的分子是完全平方形式，分母是平方差形式，先对其因式分解后约分，将括号内转化为同分母分式的减法运算；第二步计算括号外的除法，根据分式除法法则，除以一个分式等于乘这个分式的倒数，再约分得到最简分式；第三步先根据负整数指数幂、零指数幂的运算规则求出x、y的值，再代入最简分式计算最终结果。
【解析】
解：先对原式化简：
$\begin{aligned}原式&=( \dfrac{2x - y}{x + y} - \dfrac{(x-y)^2}{(x-y)(x+y)} ) ÷ \dfrac{x - y}{x + y} \quad (x≠\pm y) \\&=( \dfrac{2x - y}{x + y} - \dfrac{x-y}{x+y} ) × \dfrac{x + y}{x - y} \\&=\dfrac{2x - y - (x - y)}{x + y} × \dfrac{x + y}{x - y} \\&=\dfrac{2x - y -x + y}{x + y} × \dfrac{x + y}{x - y} \\&=\dfrac{x}{x + y} × \dfrac{x + y}{x - y} \\&=\dfrac{x}{x - y}\end{aligned}$
再计算$x$、$y$的值：
$x=(\dfrac{1}{2})^{-1}=2$，$y=(-2023)^0=1$，
将$x=2$，$y=1$代入化简后的式子得：
$\dfrac{x}{x - y}=\dfrac{2}{2-1}=2$
【答案】
化简的结果为$\frac{x}{x-y}$，值为2
【知识点】
分式的混合运算，负整数指数幂，零指数幂
【点评】
本题核心考查分式化简求值的能力，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法、分式四则运算的法则，以及特殊指数幂的运算规则，计算过程中要注意分式约分的前提是分母不为0，避免出现运算错误。
【难度系数】
0.7
这是一道分式化简求值题，解题思路可分为三步：第一步先处理括号内的分式运算，观察到第二个分式的分子是完全平方形式，分母是平方差形式，先对其因式分解后约分，将括号内转化为同分母分式的减法运算；第二步计算括号外的除法，根据分式除法法则，除以一个分式等于乘这个分式的倒数，再约分得到最简分式；第三步先根据负整数指数幂、零指数幂的运算规则求出x、y的值，再代入最简分式计算最终结果。
【解析】
解：先对原式化简：
$\begin{aligned}原式&=( \dfrac{2x - y}{x + y} - \dfrac{(x-y)^2}{(x-y)(x+y)} ) ÷ \dfrac{x - y}{x + y} \quad (x≠\pm y) \\&=( \dfrac{2x - y}{x + y} - \dfrac{x-y}{x+y} ) × \dfrac{x + y}{x - y} \\&=\dfrac{2x - y - (x - y)}{x + y} × \dfrac{x + y}{x - y} \\&=\dfrac{2x - y -x + y}{x + y} × \dfrac{x + y}{x - y} \\&=\dfrac{x}{x + y} × \dfrac{x + y}{x - y} \\&=\dfrac{x}{x - y}\end{aligned}$
再计算$x$、$y$的值：
$x=(\dfrac{1}{2})^{-1}=2$，$y=(-2023)^0=1$，
将$x=2$，$y=1$代入化简后的式子得：
$\dfrac{x}{x - y}=\dfrac{2}{2-1}=2$
【答案】
化简的结果为$\frac{x}{x-y}$，值为2
【知识点】
分式的混合运算，负整数指数幂，零指数幂
【点评】
本题核心考查分式化简求值的能力，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法、分式四则运算的法则，以及特殊指数幂的运算规则，计算过程中要注意分式约分的前提是分母不为0，避免出现运算错误。
【难度系数】
0.7
9.(2024·阜新太平区期末)已知关于x的分式方程$\frac{1-m}{x-1} -2 = \frac{2}{1-x}$的解都是非负数，则m的取值范围是
$m≤ 5$ 且 $m≠3$
.答案
9.$m≤ 5$ 且 $m≠3$
解析
【分析】
本题是已知分式方程解的范围求参数取值范围的问题，解题思路如下：第一步，先将分式方程去分母转化为整式方程，去分母时要注意1-x和x-1互为相反数，同时不要漏乘不含分母的常数项；第二步，解整式方程，用含m的代数式表示出x；第三步，结合“方程的解为非负数”即x≥0，以及“分式分母不为0（避免出现增根）”即x≠1，分别列不等式求解m的范围，最后取两个范围的公共部分即为最终结果。
【解析】
原方程整理得：$\frac{1-m}{x-1} -2 = -\frac{2}{x-1}$
方程两边同时乘以$(x-1)$（$x≠1$），去分母得：
$1-m -2(x-1) = -2$
展开并整理得：
$1-m -2x +2 = -2$
$3 -m -2x = -2$
移项得：
$-2x = m -5$
系数化为1得：
$x=\frac{5-m}{2}$
∵ 方程的解为非负数
∴ $\frac{5-m}{2} ≥ 0$，解得 $m ≤ 5$
又
∵ 分母不为0，即$x≠1$
∴ $\frac{5-m}{2} ≠ 1$，解得 $m ≠ 3$
综上，m的取值范围是$m≤ 5$且$m≠3$。
【答案】
$m≤ 5$且$m≠3$
【知识点】
分式方程的解法；分式方程的增根；解一元一次不等式
【点评】
本题是分式方程的常考题型，解题的易错点是容易忽略“分母不为0”的隐含条件，漏掉$m≠3$的限制，求解时要注意既要满足解的取值要求，也要保证原分式方程有意义。
【难度系数】
0.7
本题是已知分式方程解的范围求参数取值范围的问题，解题思路如下：第一步，先将分式方程去分母转化为整式方程，去分母时要注意1-x和x-1互为相反数，同时不要漏乘不含分母的常数项；第二步，解整式方程，用含m的代数式表示出x；第三步，结合“方程的解为非负数”即x≥0，以及“分式分母不为0（避免出现增根）”即x≠1，分别列不等式求解m的范围，最后取两个范围的公共部分即为最终结果。
【解析】
原方程整理得：$\frac{1-m}{x-1} -2 = -\frac{2}{x-1}$
方程两边同时乘以$(x-1)$（$x≠1$），去分母得：
$1-m -2(x-1) = -2$
展开并整理得：
$1-m -2x +2 = -2$
$3 -m -2x = -2$
移项得：
$-2x = m -5$
系数化为1得：
$x=\frac{5-m}{2}$
∵ 方程的解为非负数
∴ $\frac{5-m}{2} ≥ 0$，解得 $m ≤ 5$
又
∵ 分母不为0，即$x≠1$
∴ $\frac{5-m}{2} ≠ 1$，解得 $m ≠ 3$
综上，m的取值范围是$m≤ 5$且$m≠3$。
【答案】
$m≤ 5$且$m≠3$
【知识点】
分式方程的解法；分式方程的增根；解一元一次不等式
【点评】
本题是分式方程的常考题型，解题的易错点是容易忽略“分母不为0”的隐含条件，漏掉$m≠3$的限制，求解时要注意既要满足解的取值要求，也要保证原分式方程有意义。
【难度系数】
0.7
10.(2024·沈阳南昌中学月考)若关于$x$的分式方程$\frac{2}{x-2}+\frac{mx}{x^2-4}=\frac{3}{x+2}$无解，则$m$的值为
$-4$ 或 $6$ 或 $1$
。答案
10.$-4$ 或 $6$ 或 $1$
解析
【分析】
要解决分式方程无解求参数的问题，首先明确分式方程无解包含两种情况：①去分母后得到的整式方程本身无解；②整式方程的解是原分式方程的增根（即使原分式分母为0的未知数的值）。解题时先给原分式方程去分母化为整式方程，再分别对两种情况分类讨论计算m的值即可。
【解析】
解：原分式方程的最简公分母为$(x+2)(x-2)$，
方程两边同时乘$(x+2)(x-2)$，去分母得：
$2(x+2) + mx = 3(x-2)$，
展开得：$2x + 4 + mx = 3x - 6$，
移项、合并同类项得：$(m-1)x = -10$。
分两种情况讨论：
1. 当整式方程无解时：
此时一次项系数为0，常数项不为0，即$m-1=0$，
解得$m=1$，此时方程变为$0=-10$，不成立，整式方程无解，故原分式方程也无解。
2. 当整式方程的解是原分式方程的增根时：
原分式方程的增根满足$(x+2)(x-2)=0$，即$x=2$或$x=-2$。
① 若$x=2$，代入$(m-1)x = -10$得：
$2(m-1) = -10$，解得$m=-4$；
② 若$x=-2$，代入$(m-1)x = -10$得：
$-2(m-1) = -10$，解得$m=6$。
综上，m的值为-4或6或1。
【答案】
$-4$或$6$或$1$
【知识点】
分式方程的增根，分式方程无解的条件，一元一次方程的求解
【点评】
本题是分式方程无解类的典型题，解题关键是明确分式方程无解的两种情况，分类讨论时要注意不要遗漏整式方程本身无解的情况，避免漏解。
【难度系数】
0.4
要解决分式方程无解求参数的问题，首先明确分式方程无解包含两种情况：①去分母后得到的整式方程本身无解；②整式方程的解是原分式方程的增根（即使原分式分母为0的未知数的值）。解题时先给原分式方程去分母化为整式方程，再分别对两种情况分类讨论计算m的值即可。
【解析】
解：原分式方程的最简公分母为$(x+2)(x-2)$，
方程两边同时乘$(x+2)(x-2)$，去分母得：
$2(x+2) + mx = 3(x-2)$，
展开得：$2x + 4 + mx = 3x - 6$，
移项、合并同类项得：$(m-1)x = -10$。
分两种情况讨论：
1. 当整式方程无解时：
此时一次项系数为0，常数项不为0，即$m-1=0$，
解得$m=1$，此时方程变为$0=-10$，不成立，整式方程无解，故原分式方程也无解。
2. 当整式方程的解是原分式方程的增根时：
原分式方程的增根满足$(x+2)(x-2)=0$，即$x=2$或$x=-2$。
① 若$x=2$，代入$(m-1)x = -10$得：
$2(m-1) = -10$，解得$m=-4$；
② 若$x=-2$，代入$(m-1)x = -10$得：
$-2(m-1) = -10$，解得$m=6$。
综上，m的值为-4或6或1。
【答案】
$-4$或$6$或$1$
【知识点】
分式方程的增根，分式方程无解的条件，一元一次方程的求解
【点评】
本题是分式方程无解类的典型题，解题关键是明确分式方程无解的两种情况，分类讨论时要注意不要遗漏整式方程本身无解的情况，避免漏解。
【难度系数】
0.4
11.解方程：
(1)$\frac{x-2}{x+3} - \frac{3}{x-3}=1$；
(2)$\frac{x}{x+2} -1=\frac{8}{x^2 -4}$。
(1)$\frac{x-2}{x+3} - \frac{3}{x-3}=1$；
(2)$\frac{x}{x+2} -1=\frac{8}{x^2 -4}$。
答案
11.(1)$x=\frac{3}{4}$ (2)原分式方程无解
解析
【分析】
解分式方程的核心思路是将分式方程转化为整式方程求解，具体步骤为：①找各分母的最简公分母；②方程两边同乘最简公分母，消去分母得到整式方程；③解整式方程；④将求得的解代入最简公分母检验，判断是否为原方程的根（若公分母为0则是增根，原方程无解）。
(1)问中两个分母分别为$x+3$和$x-3$，最简公分母为$(x+3)(x-3)$，去分母后解一元一次方程再验根即可；(2)问中$x^2-4$可因式分解为$(x+2)(x-2)$，最简公分母为$(x+2)(x-2)$，去分母求解后注意验根。
【解析】
(1) 方程两边同乘最简公分母$(x+3)(x-3)$，得：
$(x-2)(x-3) - 3(x+3) = (x+3)(x-3)$
展开整理得：
$x^2 - 8x - 3 = x^2 - 9$
消去$x^2$后移项计算：
$-8x = -6$
解得$x=\frac{3}{4}$
检验：将$x=\frac{3}{4}$代入$(x+3)(x-3)$，结果不为0，因此$x=\frac{3}{4}$是原方程的解。
(2) 先因式分解分母：$x^2-4=(x+2)(x-2)$，方程两边同乘最简公分母$(x+2)(x-2)$，得：
$x(x-2) - (x+2)(x-2) = 8$
展开整理得：
$-2x + 4 = 8$
移项计算得：
$x=-2$
检验：将$x=-2$代入$(x+2)(x-2)$，结果为0，因此$x=-2$是增根，原分式方程无解。
【答案】
(1)$x=\frac{3}{4}$；(2)原分式方程无解
【知识点】
分式方程解法，因式分解，增根检验
【点评】
本题考查分式方程的常规解法，解题的关键是准确确定最简公分母，去分母时注意不要漏乘常数项，解完后务必验根，避免误将增根当作原方程的解。
【难度系数】
0.7
解分式方程的核心思路是将分式方程转化为整式方程求解，具体步骤为：①找各分母的最简公分母；②方程两边同乘最简公分母，消去分母得到整式方程；③解整式方程；④将求得的解代入最简公分母检验，判断是否为原方程的根（若公分母为0则是增根，原方程无解）。
(1)问中两个分母分别为$x+3$和$x-3$，最简公分母为$(x+3)(x-3)$，去分母后解一元一次方程再验根即可；(2)问中$x^2-4$可因式分解为$(x+2)(x-2)$，最简公分母为$(x+2)(x-2)$，去分母求解后注意验根。
【解析】
(1) 方程两边同乘最简公分母$(x+3)(x-3)$，得：
$(x-2)(x-3) - 3(x+3) = (x+3)(x-3)$
展开整理得：
$x^2 - 8x - 3 = x^2 - 9$
消去$x^2$后移项计算：
$-8x = -6$
解得$x=\frac{3}{4}$
检验：将$x=\frac{3}{4}$代入$(x+3)(x-3)$，结果不为0，因此$x=\frac{3}{4}$是原方程的解。
(2) 先因式分解分母：$x^2-4=(x+2)(x-2)$，方程两边同乘最简公分母$(x+2)(x-2)$，得：
$x(x-2) - (x+2)(x-2) = 8$
展开整理得：
$-2x + 4 = 8$
移项计算得：
$x=-2$
检验：将$x=-2$代入$(x+2)(x-2)$，结果为0，因此$x=-2$是增根，原分式方程无解。
【答案】
(1)$x=\frac{3}{4}$；(2)原分式方程无解
【知识点】
分式方程解法，因式分解，增根检验
【点评】
本题考查分式方程的常规解法，解题的关键是准确确定最简公分母，去分母时注意不要漏乘常数项，解完后务必验根，避免误将增根当作原方程的解。
【难度系数】
0.7
