【例】如图，P为$△ ABC$的内角平分线BP与CP的交点.求证：$∠ BPC=90°+\frac{1}{2}∠ A$.

证明:
∵BP,CP 是角平分线，
∴∠PBC=$\frac{1}{2}$∠ABC,∠BCP=$\frac{1}{2}$∠ACB.
∵∠PBC+∠BCP+∠BPC=180°,∠ABC+∠ACB+∠A=180°,
∴∠BPC=180°−∠PBC−∠PCB=180°−$\frac{1}{2}$(∠ABC+∠ACB)=180°−$\frac{1}{2}$(180°−∠A)=90°+$\frac{1}{2}$∠A.

【分析】
要推导∠BPC与∠A的数量关系，首先从已知条件入手：BP、CP是△ABC的内角平分线，根据角平分线的定义，可得到∠PBC=$\frac{1}{2}$∠ABC、∠PCB=$\frac{1}{2}$∠ACB；接下来结合三角形内角和为180°，先在△PBC中把∠BPC表示为180°减去∠PBC与∠PCB的和，再利用△ABC的内角和，将∠ABC+∠ACB替换为180°-∠A，最后化简式子即可得到待证结论。
【解析】
证明：
∵BP、CP分别是∠ABC、∠ACB的角平分线，
∴∠PBC=$\frac{1}{2}$∠ABC，∠BCP=$\frac{1}{2}$∠ACB。
根据三角形内角和定理：
在△PBC中，∠PBC+∠BCP+∠BPC=180°，
在△ABC中，∠ABC+∠ACB+∠A=180°，即∠ABC+∠ACB=180°-∠A。
对∠BPC变形化简得：
$\begin{aligned}∠BPC&=180°-(∠PBC+∠PCB)\\&=180°-\frac{1}{2}(∠ABC+∠ACB)\\&=180°-\frac{1}{2}(180°-∠A)\\&=90°+\frac{1}{2}∠A\end{aligned}$
【答案】
$\boldsymbol{∠BPC=90°+\frac{1}{2}∠A}$
【知识点】
角平分线的定义；三角形内角和定理
【点评】
本题是三角形内角平分线相关的经典结论推导题，解题关键是利用角平分线的倍分关系实现角度的转换，再结合三角形内角和定理完成代换化简。该结论是三角形角度计算中的常用结论，熟练掌握后可快速解决同类型角度计算问题。
【难度系数】
0.8

[变式1] 如图，P为△ABC的内角平分线BP与外角平分线CP的交点.求证：∠P=$\frac{1}{2}$∠A.

证明:
∵△ABC 的内角平分线 BP 与外角平分线 CP 交于点 P，
∴∠PBC=$\frac{1}{2}$∠ABC,∠PCD=$\frac{1}{2}$∠ACD.
∵∠ACD=∠A+∠ABC,∠PCD=∠PBC+∠P，
∴$\frac{1}{2}$(∠A+∠ABC)=∠PBC+∠P=$\frac{1}{2}$∠ABC+∠P，
∴∠P=$\frac{1}{2}$∠A.

【分析】
要证明∠P与∠A的数量关系，首先从已知条件出发：BP是△ABC的内角平分线、CP是△ABC的外角平分线，根据角平分线的定义可得到∠PBC=$\frac{1}{2}$∠ABC，∠PCD=$\frac{1}{2}$∠ACD；再利用三角形外角的性质，分别得到△ABC的外角∠ACD=∠A+∠ABC，△PBC的外角∠PCD=∠PBC+∠P；最后将角平分线得到的关系代入外角的等式，消去和∠ABC相关的项，化简后即可得到∠P与∠A的关系。
【解析】
证明：
∵△ABC 的内角平分线 BP 与外角平分线 CP 交于点 P，
∴∠PBC=$\frac{1}{2}$∠ABC，∠PCD=$\frac{1}{2}$∠ACD。
∵∠ACD是△ABC的外角，∠PCD是△PBC的外角，
∴∠ACD=∠A+∠ABC，∠PCD=∠PBC+∠P，
∴$\frac{1}{2}$(∠A+∠ABC)=$\frac{1}{2}$∠ABC+∠P，
等式两边同时减去$\frac{1}{2}$∠ABC，可得∠P=$\frac{1}{2}$∠A。
【答案】
∠P=$\frac{1}{2}$∠A
【知识点】
角平分线的定义、三角形外角的性质、等式的基本性质
【点评】
本题是三角形角平分线与外角结合的典型题型，解题核心是利用外角性质建立不同角之间的等量关系，本题推导得到的结论可作为常用规律，快速解决同类角度计算问题。
【难度系数】
0.7

[变式2] 如图，P是△ABC的两外角∠DBC和∠ECB的平分线的交点.求证:∠P=90°−$\frac{1}{2}$∠A.

证明:
∵P 是△ABC 的两外角∠DBC和∠ECB 的平分线的交点，
∴∠PBC=$\frac{1}{2}$∠DBC,∠PCB=$\frac{1}{2}$∠ECB.
∵∠DBC=∠A+∠ACB,∠ECB=∠A+∠ABC，
∴∠DBC+∠ECB=∠A+∠ACB+∠A+∠ABC=180°+∠A，
∴∠PBC+∠PCB=$\frac{1}{2}$(180°+∠A)=90°+$\frac{1}{2}$∠A，
∴∠P=180°−(∠PBC+∠PCB)=90°−$\frac{1}{2}$∠A.

【分析】
要推导∠P与∠A的数量关系，可按以下思路逐步分析：首先根据角平分线的定义，建立∠PBC、∠PCB与外角∠DBC、∠ECB的数量关系；再利用三角形外角的性质，将∠DBC、∠ECB转化为用△ABC的内角和∠A表示的形式；接着结合△ABC内角和为180°，计算出∠PBC与∠PCB的和；最后在△PBC中利用内角和定理，即可推导出∠P和∠A的关系。
【解析】
证明:
∵P 是△ABC 的两外角∠DBC和∠ECB 的平分线的交点，
∴∠PBC=$\frac{1}{2}$∠DBC,∠PCB=$\frac{1}{2}$∠ECB.
∵∠DBC是△ABC的外角，
∴∠DBC=∠A+∠ACB，
同理∠ECB是△ABC的外角，
∴∠ECB=∠A+∠ABC，
∴∠DBC+∠ECB=∠A+∠ACB+∠A+∠ABC= (∠A+∠ACB+∠ABC)+∠A=180°+∠A，
∴∠PBC+∠PCB=$\frac{1}{2}$(∠DBC+∠ECB)=$\frac{1}{2}$(180°+∠A)=90°+$\frac{1}{2}$∠A，
在△PBC中，由三角形内角和为180°可得：
∠P=180°−(∠PBC+∠PCB)=180°−(90°+$\frac{1}{2}$∠A)=90°−$\frac{1}{2}$∠A.
【答案】
∠P=90°−$\frac{1}{2}$∠A
【知识点】
三角形内角和定理；角平分线的定义；三角形外角的性质
【点评】
本题是三角形角平分线相关的典型结论推导题，核心解题思路是通过角度的等量转化将未知角和已知角建立关联，推导得出的结论可直接用于同类角度计算的选填题中，提高解题速度。
【难度系数】
0.7

1.如图,在∠MAN 中,点 B,C 分别在 AM,AN上,∠ABC 和∠ACB 的平分线交于点 P,∠CBM 和∠BCN 的平分线交于点 Q.猜想∠P 和∠Q 之间的数量关系并证明.

∠P+∠Q=180°.证明略

【分析】
要推导∠P和∠Q的数量关系，我们可以分两步分别表示出两个角的度数，再计算二者的和：第一步，先利用角平分线定义和三角形内角和定理，将∠P用△ABC的内角∠ABC、∠ACB表示；第二步，利用邻补角的性质得到两个外角∠CBM、∠BCN与△ABC内角的关系，再结合角平分线定义和三角形内角和定理，将∠Q也用∠ABC、∠ACB表示；最后将两个表达式相加，消去公共项即可得到二者的数量关系。
【解析】
证明：
∵ BP平分∠ABC，CP平分∠ACB，
∴ $∠ PBC=\frac{1}{2}∠ ABC$，$∠ PCB=\frac{1}{2}∠ ACB$。
在$△ PBC$中，根据三角形内角和为$180°$：
$∠ P=180°-(∠ PBC+∠ PCB)=180°-\frac{1}{2}(∠ ABC+∠ ACB)$ ①。
∵ $∠ CBM$与$∠ ABC$是邻补角，$∠ BCN$与$∠ ACB$是邻补角，
∴ $∠ CBM=180°-∠ ABC$，$∠ BCN=180°-∠ ACB$。
又
∵ BQ平分$∠ CBM$，CQ平分$∠ BCN$，
∴ $∠ QBC=\frac{1}{2}∠ CBM=\frac{1}{2}(180°-∠ ABC)=90°-\frac{1}{2}∠ ABC$，
$∠ QCB=\frac{1}{2}∠ BCN=\frac{1}{2}(180°-∠ ACB)=90°-\frac{1}{2}∠ ACB$。
在$△ QBC$中，根据三角形内角和为$180°$：
$∠ Q=180°-(∠ QBC+∠ QCB)$
$=180°-[(90°-\frac{1}{2}∠ ABC)+(90°-\frac{1}{2}∠ ACB)]$
$=\frac{1}{2}(∠ ABC+∠ ACB)$ ②。
将①+②得：$∠ P+∠ Q=180°-\frac{1}{2}(∠ ABC+∠ ACB)+\frac{1}{2}(∠ ABC+∠ ACB)=180°$。
【答案】
$∠ P+∠ Q=180°$
【知识点】
三角形内角和定理；角平分线的定义；邻补角的性质
【点评】
本题是三角形角平分线相关的典型角度推导题，解题核心是通过角平分线、邻补角的性质将待求角转化为同一组内角的表达式，再通过代数运算消元得到结论，熟练掌握基础几何性质就能顺利求解。
【难度系数】
0.7