2.如图,在△ABC中,∠A=56°,BD,CD分别平分∠ABC,∠ACB,点M,N,Q分别在DB,DC,BC的延长线上,BE,CE分别平分∠MBC,∠BCN,BF,CF分别平分∠EBC,∠ECQ.求∠F的度数.

15.5°

【分析】
解题时我们可以分三步推导：第一步，先利用三角形内角和定理，结合∠A的度数求出△ABC两个内角∠ABC与∠ACB的和，再根据角平分线的性质求出∠DBC、∠DCB的和；第二步，利用邻补角的性质求出∠MBC与∠BCN的和，再结合BE、CE是这两个角的平分线，求出∠EBC与∠ECB的和，进而算出∠E的度数；第三步，利用三角形外角的性质，结合BF、CF分别是∠EBC、∠ECQ的平分线，推导得出∠F与∠E的数量关系，最终求出∠F的度数。
【解析】
解：在△ABC中，∠A=56°，根据三角形内角和为180°，得：
$∠ ABC + ∠ ACB = 180° - ∠ A = 180° - 56° = 124°$
∵BD、CD分别平分∠ABC、∠ACB
∴$∠ DBC = \frac{1}{2}∠ ABC$，$∠ DCB = \frac{1}{2}∠ ACB$
∴$∠ DBC + ∠ DCB = \frac{1}{2}(∠ ABC + ∠ ACB) = \frac{1}{2} × 124° = 62°$
∵点M在DB的延长线上，点N在DC的延长线上
∴$∠ MBC = 180° - ∠ DBC$，$∠ BCN = 180° - ∠ DCB$
∴$∠ MBC + ∠ BCN = 360° - (∠ DBC + ∠ DCB) = 360° - 62° = 298°$
∵BE、CE分别平分∠MBC、∠BCN
∴$∠ EBC = \frac{1}{2}∠ MBC$，$∠ ECB = \frac{1}{2}∠ BCN$
∴$∠ EBC + ∠ ECB = \frac{1}{2}(∠ MBC + ∠ BCN) = \frac{1}{2} × 298° = 149°$
在△EBC中，根据三角形内角和为180°，得：
$∠ E = 180° - (∠ EBC + ∠ ECB) = 180° - 149° = 31°$
∵点Q在BC的延长线上，
∴∠ECQ是△EBC的外角
∴$∠ ECQ = ∠ E + ∠ EBC$
∵BF、CF分别平分∠EBC、∠ECQ
∴$∠ FBC = \frac{1}{2}∠ EBC$，$∠ FCQ = \frac{1}{2}∠ ECQ$
又
∵∠FCQ是△FBC的外角
∴$∠ FCQ = ∠ F + ∠ FBC$
将$∠ FCQ = \frac{1}{2}∠ ECQ$、$∠ ECQ = ∠ E + ∠ EBC$代入上式，得：
$\frac{1}{2}(∠ E + ∠ EBC) = ∠ F + \frac{1}{2}∠ EBC$
化简得：$∠ F = \frac{1}{2}∠ E = \frac{1}{2} × 31° = 15.5°$
【答案】
15.5°
【知识点】
三角形内角和定理；角平分线的性质；三角形外角的性质
【点评】
本题综合考查了三角形中角平分线、内角和、外角的相关性质，解题的关键是理清各角之间的数量关系，逐步推导，注意不要混淆不同角平分线对应的角，掌握角平分线与外角结合时的半角关系可以提高解题效率。
【难度系数】
0.3

3.如图，$∠ MON = 90°$，点A，B分别在OM，ON上运动（不与点O重合）.
(1)如图1，BC是$∠ ABN$的平分线，BC的反向延长线与$∠ BAO$的平分线交于点D.
①若$∠ BAO = 60°$，则$∠ D =$ °.
②$∠ D$的度数是否随点A，B的运动而发生变化？请说明理由.
(2)如图2，若$∠ ABC = \frac{1}{3}∠ ABN$，$∠ BAD = \frac{1}{3}∠ BAO$，求$∠ D$的度数.
(3)若将“$∠ MON = 90°$”改为“$∠ MON = α(0° ＜ α ＜ 180°)$”，$∠ ABC = \frac{1}{n}∠ ABN$，$∠ BAD = \frac{1}{n}∠ BAO$，其余条件不变，则$∠ D =$ （用含$α$，$n$的代数式表示）.

3.(1)①45
②不随点 A,B 的运动而发生变化.理由略
(2)30°
(3)$\frac{α}{n}$

【分析】
本题核心利用三角形外角性质与角的等分关系解题，思路如下：1. 首先明确∠ABN是△AOB的外角，可得固定等量关系$∠ ABN=∠ MON+∠ BAO$；2. 结合角平分线（或n等分角）的定义，分别表示出$∠ ABC$和$∠ BAD$；3. 再根据$∠ ABC$是△ABD的外角，得到$∠ ABC=∠ D+∠ BAD$，变形为$∠ D=∠ ABC-∠ BAD$后代入化简，化简后$∠ BAO$会被消去，即可得到$∠ D$的定值或表达式。
【解析】
(1)①已知$∠ MON=90°$，$∠ BAO=60°$：
$\because ∠ ABN$是△AOB的外角，$\therefore ∠ ABN=∠ MON+∠ BAO=90°+60°=150°$，
$\because AD$平分$∠ BAO$，$\therefore ∠ BAD=\frac{1}{2}∠ BAO=30°$，
$\because BC$平分$∠ ABN$，$\therefore ∠ ABC=\frac{1}{2}∠ ABN=75°$，
$\because ∠ ABC$是△ABD的外角，$\therefore ∠ ABC=∠ D+∠ BAD$，
$\therefore ∠ D=75°-30°=45°$。
②$∠ D$的度数不随点A、B的运动发生变化，理由如下：
设$∠ BAO=x°$，
$\because ∠ ABN$是△AOB的外角，$\therefore ∠ ABN=90°+x°$，
$\because AD$平分$∠ BAO$，$\therefore ∠ BAD=\frac{1}{2}x°$，
$\because BC$平分$∠ ABN$，$\therefore ∠ ABC=\frac{1}{2}(90°+x°)=45°+\frac{1}{2}x°$，
代入$∠ D=∠ ABC-∠ BAD$得：$∠ D=45°+\frac{1}{2}x°-\frac{1}{2}x°=45°$，
因此$∠ D$恒为$45°$，不随A、B运动变化。
(2)设$∠ BAO=y°$，
$\because ∠ ABN$是△AOB的外角，$\therefore ∠ ABN=90°+y°$，
由题意得：$∠ BAD=\frac{1}{3}y°$，$∠ ABC=\frac{1}{3}(90°+y°)=30°+\frac{1}{3}y°$，
$\therefore ∠ D=∠ ABC-∠ BAD=30°+\frac{1}{3}y°-\frac{1}{3}y°=30°$。
(3)设$∠ BAO=z°$，
$\because ∠ ABN$是△AOB的外角，$∠ MON=α$，$\therefore ∠ ABN=α+z°$，
由题意得：$∠ BAD=\frac{1}{n}z°$，$∠ ABC=\frac{1}{n}(α+z°)$，
$\therefore ∠ D=\frac{1}{n}(α+z°)-\frac{1}{n}z°=\frac{α}{n}$。
【答案】
(1)①$\boldsymbol{45}$；②不发生变化，理由见解析；(2)$\boldsymbol{30°}$；(3)$\boldsymbol{\frac{α}{n}}$
【知识点】
三角形外角性质；角平分线的定义；角的和差计算
【点评】
本题是典型的动角定值问题，解题关键是抓住三角形外角的不变等量关系，通过设参数表示各角后化简即可消去变量得到定值，熟练掌握三角形内外角关系是解决这类问题的核心。
【难度系数】
0.65