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2.【新情境·现代科技】(2025·大连瓦房店期末)[问题背景]
在如今信息快速发展的时代,密码与我们的生活紧密相连,密不可分,而诸如生日、连续数字等简单密码又容易被破解,密码过于复杂自己又容易忘记,因此设置一组便于记忆的密码就很有必要了.
某班级同学们在经过思考后想出了不同的方法,其中有一种用“因式分解”法产生的密码,方便记忆.其原理是将一个多项式分解因式,如多项式$x^3 - x$因式分解的结果为$x(x - 1)(x + 1)$,当$x = 10$时,$x - 1 = 9$,$x + 1 = 11$,此时把所得的数字按照从小到大的顺序排列可以得到一个六位数字密码091011.
[实际应用]
(1)根据上述方法,小明同学设置了一个六位数字的登录密码:多项式$x^3 - xy^2$分解因式后利用$x$,$y$的数值设置密码,当$x = 9$,$y = 3$时,请破解小明的密码是多少;
(2)学校管理员设置了一个六位数字的密码,一个等腰三角形的周长是12,其中腰和底边长分别为不同的整数$x$,$y$,请你破解出由多项式$x^3 - 4xy^2$分解因式后得到的密码;
[拓展应用]
(3)若利用前面的方法将多项式$x^3 + (m - 2n)x^2 + 5nx$分解因式,当$x = 24$时,得到的六位数字的密码为242932,求$m$,$n$的值.
在如今信息快速发展的时代,密码与我们的生活紧密相连,密不可分,而诸如生日、连续数字等简单密码又容易被破解,密码过于复杂自己又容易忘记,因此设置一组便于记忆的密码就很有必要了.
某班级同学们在经过思考后想出了不同的方法,其中有一种用“因式分解”法产生的密码,方便记忆.其原理是将一个多项式分解因式,如多项式$x^3 - x$因式分解的结果为$x(x - 1)(x + 1)$,当$x = 10$时,$x - 1 = 9$,$x + 1 = 11$,此时把所得的数字按照从小到大的顺序排列可以得到一个六位数字密码091011.
[实际应用]
(1)根据上述方法,小明同学设置了一个六位数字的登录密码:多项式$x^3 - xy^2$分解因式后利用$x$,$y$的数值设置密码,当$x = 9$,$y = 3$时,请破解小明的密码是多少;
(2)学校管理员设置了一个六位数字的密码,一个等腰三角形的周长是12,其中腰和底边长分别为不同的整数$x$,$y$,请你破解出由多项式$x^3 - 4xy^2$分解因式后得到的密码;
[拓展应用]
(3)若利用前面的方法将多项式$x^3 + (m - 2n)x^2 + 5nx$分解因式,当$x = 24$时,得到的六位数字的密码为242932,求$m$,$n$的值.
答案
2.解:(1)$x^3 -xy^2 =x(x^2 -y^2 )=x(x-y)(x+y)$,
当$x=9,y=3$时,$x-y=9-3=6,x+y=9+3=12$,
∴小明的密码是 060912.
(2)
∵一个等腰三角形的周长是 12,其中腰和底边长分别为不同的整数$x,y$,
∴$2x+y=12,2x＞y$.
∵$x,y$都为整数,
∴$\begin{cases} x=5,\\ y=2 \end{cases}$或$\begin{cases} x=4,\\ y=4 \end{cases}$(不符合题意,舍去).
∵$x^3 -4xy^2 =x(x^2 -4y^2 )=x(x+2y)(x-2y)$,
∴当$x=5,y=2$时,$x+2y=5+2×2=9,x-2y=5-2×2=1$,
∴多项式$x^3 -4xy^2$分解因式后得到的密码为 010509.
(3)$x^3 +(m-2n)x^2 +5nx=x[x^2 +(m-2n)x+5n]$.
设$x[x^2 +(m-2n)x+5n]=x(x+a)(x+b)=x[x^2 +(a+b)x+ab]$.
∵当$x=24$时,得到的六位数字的密码为 242932,
∴$x+a=29,x+b=32$,
∴$a=5,b=8$,
∴$a+b=13,ab=40$,
∴$\begin{cases} m-2n=13,\\ 5n=40, \end{cases}$解得$m=29,n=8$.
当$x=9,y=3$时,$x-y=9-3=6,x+y=9+3=12$,
∴小明的密码是 060912.
(2)
∵一个等腰三角形的周长是 12,其中腰和底边长分别为不同的整数$x,y$,
∴$2x+y=12,2x＞y$.
∵$x,y$都为整数,
∴$\begin{cases} x=5,\\ y=2 \end{cases}$或$\begin{cases} x=4,\\ y=4 \end{cases}$(不符合题意,舍去).
∵$x^3 -4xy^2 =x(x^2 -4y^2 )=x(x+2y)(x-2y)$,
∴当$x=5,y=2$时,$x+2y=5+2×2=9,x-2y=5-2×2=1$,
∴多项式$x^3 -4xy^2$分解因式后得到的密码为 010509.
(3)$x^3 +(m-2n)x^2 +5nx=x[x^2 +(m-2n)x+5n]$.
设$x[x^2 +(m-2n)x+5n]=x(x+a)(x+b)=x[x^2 +(a+b)x+ab]$.
∵当$x=24$时,得到的六位数字的密码为 242932,
∴$x+a=29,x+b=32$,
∴$a=5,b=8$,
∴$a+b=13,ab=40$,
∴$\begin{cases} m-2n=13,\\ 5n=40, \end{cases}$解得$m=29,n=8$.
解析
【分析】
(1) 首先对多项式$x^3 - xy^2$因式分解，先提公因式$x$，再用平方差公式分解为三个一次因式的乘积；接着将$x=9$、$y=3$代入三个因式得到三个数值，将每个数值补为两位数字后从小到大排列，即可得到六位密码。
(2) 先根据等腰三角形周长公式得到$2x+y=12$，结合三角形三边关系“两边之和大于第三边”即$2x＞y$，且$x$、$y$是不同的正整数，求出符合条件的$x$、$y$的值；再对多项式$x^3 - 4xy^2$因式分解，代入$x$、$y$的值得到三个数，补为两位数字后从小到大排列得到密码。
(3) 先对多项式提公因式$x$，得到$x$与一个二次三项式的乘积形式；由六位密码的规则可知二次三项式可分解为两个一次因式的乘积，结合$x=24$时密码为242932，可得另外两个因式对应的数值为29和32，据此求出两个一次因式的常数项，再根据多项式相等时对应系数相等列方程组，求解即可得到$m$、$n$的值。
【解析】
(1) 对多项式因式分解：
$x^3 - xy^2 = x(x^2 - y^2) = x(x-y)(x+y)$
当$x=9$，$y=3$时，计算各因式的值：
$x-y=9-3=6$，$x=9$，$x+y=9+3=12$
将三个数统一为两位数字得06、09、12，从小到大排列得密码060912。
(2) 由等腰三角形周长为12，腰长为$x$、底边长为$y$，可得：
$2x + y = 12$，且根据三边关系$2x ＞ y$，同时$x$、$y$为不同的正整数。
由$y=12-2x＞0$得$x＜6$，由$2x＞12-2x$得$x＞3$，故$x$可取4或5：
当$x=4$时，$y=12-8=4$，$x$与$y$相等，不符合要求，舍去；
当$x=5$时，$y=12-10=2$，符合要求。
对多项式因式分解：
$x^3 - 4xy^2 = x(x^2 - 4y^2) = x(x+2y)(x-2y)$
代入$x=5$，$y=2$得：$x-2y=5-4=1$，$x=5$，$x+2y=5+4=9$
统一为两位数字得01、05、09，从小到大排列得密码010509。
(3) 先提公因式分解多项式：
$x^3 + (m-2n)x^2 + 5nx = x[x^2 + (m-2n)x + 5n]$
设二次三项式可分解为$(x+a)(x+b)$，则原式$=x(x+a)(x+b)=x[x^2 + (a+b)x + ab]$
当$x=24$时密码为242932，可知三个因式对应的值为24、29、32，因此：
$24+a=29$，$24+b=32$，解得$a=5$，$b=8$
根据多项式相等对应系数相等，列方程组：
$\begin{cases} m-2n = a+b = 13 \\ 5n = ab = 40 \end{cases}$
解得$n=8$，代入第一个方程得$m=13+16=29$。
【答案】
(1) $\boxed{060912}$；(2) $\boxed{010509}$；(3) $\boxed{m=29}$，$\boxed{n=8}$
【知识点】
因式分解，等腰三角形性质，二元一次方程组求解
【点评】
本题结合密码设置的生活新情境，将因式分解、三角形三边关系、方程求解等知识点融合考查，需要先理解密码生成的规则，再结合对应数学知识逐步推导，侧重考查知识的灵活运用能力和逻辑推理能力。
【难度系数】
0.65
(1) 首先对多项式$x^3 - xy^2$因式分解，先提公因式$x$，再用平方差公式分解为三个一次因式的乘积；接着将$x=9$、$y=3$代入三个因式得到三个数值，将每个数值补为两位数字后从小到大排列，即可得到六位密码。
(2) 先根据等腰三角形周长公式得到$2x+y=12$，结合三角形三边关系“两边之和大于第三边”即$2x＞y$，且$x$、$y$是不同的正整数，求出符合条件的$x$、$y$的值；再对多项式$x^3 - 4xy^2$因式分解，代入$x$、$y$的值得到三个数，补为两位数字后从小到大排列得到密码。
(3) 先对多项式提公因式$x$，得到$x$与一个二次三项式的乘积形式；由六位密码的规则可知二次三项式可分解为两个一次因式的乘积，结合$x=24$时密码为242932，可得另外两个因式对应的数值为29和32，据此求出两个一次因式的常数项，再根据多项式相等时对应系数相等列方程组，求解即可得到$m$、$n$的值。
【解析】
(1) 对多项式因式分解：
$x^3 - xy^2 = x(x^2 - y^2) = x(x-y)(x+y)$
当$x=9$，$y=3$时，计算各因式的值：
$x-y=9-3=6$，$x=9$，$x+y=9+3=12$
将三个数统一为两位数字得06、09、12，从小到大排列得密码060912。
(2) 由等腰三角形周长为12，腰长为$x$、底边长为$y$，可得：
$2x + y = 12$，且根据三边关系$2x ＞ y$，同时$x$、$y$为不同的正整数。
由$y=12-2x＞0$得$x＜6$，由$2x＞12-2x$得$x＞3$，故$x$可取4或5：
当$x=4$时，$y=12-8=4$，$x$与$y$相等，不符合要求，舍去；
当$x=5$时，$y=12-10=2$，符合要求。
对多项式因式分解：
$x^3 - 4xy^2 = x(x^2 - 4y^2) = x(x+2y)(x-2y)$
代入$x=5$，$y=2$得：$x-2y=5-4=1$，$x=5$，$x+2y=5+4=9$
统一为两位数字得01、05、09，从小到大排列得密码010509。
(3) 先提公因式分解多项式：
$x^3 + (m-2n)x^2 + 5nx = x[x^2 + (m-2n)x + 5n]$
设二次三项式可分解为$(x+a)(x+b)$，则原式$=x(x+a)(x+b)=x[x^2 + (a+b)x + ab]$
当$x=24$时密码为242932，可知三个因式对应的值为24、29、32，因此：
$24+a=29$，$24+b=32$，解得$a=5$，$b=8$
根据多项式相等对应系数相等，列方程组：
$\begin{cases} m-2n = a+b = 13 \\ 5n = ab = 40 \end{cases}$
解得$n=8$，代入第一个方程得$m=13+16=29$。
【答案】
(1) $\boxed{060912}$；(2) $\boxed{010509}$；(3) $\boxed{m=29}$，$\boxed{n=8}$
【知识点】
因式分解，等腰三角形性质，二元一次方程组求解
【点评】
本题结合密码设置的生活新情境，将因式分解、三角形三边关系、方程求解等知识点融合考查，需要先理解密码生成的规则，再结合对应数学知识逐步推导，侧重考查知识的灵活运用能力和逻辑推理能力。
【难度系数】
0.65
