1.【推理能力】(2025·大连甘井子区期末)[发现问题]
15×15＝1×2×100＋25＝225，
25×25＝2×3×100＋25＝625，
35×35＝3×4×100＋25＝…，
……
小明在学习第十七章的数学活动时，经历了以上计算过程，他发现其中有一定的运算规律.
[提出问题]
上面的运算规律是否可以推广到类似的三位数相乘呢？
如果个位数字不是5，但仍满足两个数的个位数字之和为10，上面的运算规律是否成立？
[分析问题]
请你通过计算与思考，完成下面的探究并填空：
(1)①35×35＝3×4×100＋25＝；
②105×105＝××100＋25＝.
(2)53×57＝××100＋＝.
[解决问题]
(3)两个两位数相乘，它们十位上的数字都为a，个位上的数字的和为10，设其中一个数的个位上的数字为b，请你用含有a，b的等式表示两数的积的规律，并证明.

1.(1)①1 225
②10 11 11 025
(2)5 6 21 3 021
(3)(10a＋b)(10a＋10－b)＝100a(a＋1)＋b(10－b).证明略

【分析】
这道题属于数字运算规律探究类题目，解题思路如下：第一步先从已知的个位为5的相同数相乘的例子，总结基础规律：若两个相同的数个位为5，设个位前的数字为n，则乘积为n×(n+1)×100 +25，可直接用这个规律解决(1)的两个小问；第二步拓展规律：当两个数的十位数字相同，个位数字之和为10时，规律可推广为：设十位数字为a，两个数的个位分别为b和10-b，则乘积为a×(a+1)×100 + b×(10-b)，用这个规律解决(2)问；第三步用多项式乘多项式的运算法则，对推广的规律进行代数证明，即可完成(3)问。
【解析】
(1)①按照给出的运算规律计算：3×4×100 +25 = 1200 +25 = 1225；
②105的个位前的数字是10，代入规律得：10×11×100 +25 = 11000 +25 = 11025，因此依次填入10、11、11025；
(2)53和57的十位数字都是5，个位数字3+7=10，符合推广规律：十位数字5乘(5+1)=6，个位乘积为3×7=21，因此5×6×100 +21 = 3000 +21 = 3021，依次填入5、6、21、3021；
(3)两个两位数分别为10a+b和10a+(10-b)，证明如下：
左边=$(10a+b)(10a+10-b)$
$=10a·10a + 10a·(10-b) + b·10a + b(10-b)$
$=100a^2 + 100a -10ab +10ab + b(10-b)$
$=100a^2 +100a + b(10-b)$
$=100a(a+1) + b(10-b)=$右边，规律成立。
【答案】
(1)①1225；②10，11，11025
(2)5，6，21，3021
(3)$(10a＋b)(10a＋10－b)＝100a(a＋1)＋b(10－b)$，证明如上
【知识点】
数字规律探究，多项式乘法运算，代数证明
【点评】
本题从特殊计算实例出发归纳运算规律，再通过代数推导验证规律，既考查对数字规律的观察归纳能力，也考查整式乘法的运算能力，总结的规律可用于这类特殊乘法的速算，实用性较强。
【难度系数】
0.7