1. [2025成都段考]如图，直线$l$所对应的函数表达式为（）

A.$y=-2x$
B.$y=2x$
C.$y=-\dfrac{1}{2}x$
D.$y=\dfrac{1}{2}x$

B 设直线$l$的表达式为$y = kx$(直线$l$经过原点,符合正比例函数图象的特征). 将$(1,2)$代入,得$k = 2$,直线$l$所对应的函数表达式为$y = 2x$。

【分析】
首先观察函数图象，发现直线经过原点，可知该函数属于正比例函数，因此可以设其表达式为$y=kx$（$k\ne0$）。接下来只需从图象中读取一个明确的点的坐标，代入表达式求出$k$的值，就能得到直线对应的函数表达式，从图中可得到直线经过点$(1,2)$，代入即可计算出$k$的值。
【解析】
解：
∵直线$l$经过原点，
∴直线$l$对应的函数是正比例函数，设其表达式为$y=kx(k\ne0)$。
由图象可知，直线$l$经过点$(1,2)$，将$x=1$，$y=2$代入$y=kx$，得：
$2=k×1$，解得$k=2$。
∴直线$l$对应的函数表达式为$y=2x$，故选B。
【答案】
B
【知识点】
待定系数法求解析式，正比例函数图象特征
【点评】
本题属于基础题，解题核心是先根据图象特征判断函数类型，再从图象中获取已知点坐标代入求解，熟练掌握正比例函数的形式是解题的前提。
【难度系数】
0.9

2. 教材P42T3变式 [2026安徽师大附中期中]某一次函数的图象与直线$y=\frac{1}{2}x +6$平行，并且经过点$(-2,-4)$，则该一次函数的表达式为（）

A.$y=-\frac{1}{2}x -5$
B.$y=\frac{1}{2}x +3$
C.$y=\frac{1}{2}x -3$
D.$y=-2x -8$

C 设该一次函数的表达式为$y = kx + b$. 因为这个一次函数的图象与直线$y = \frac{1}{2}x + 6$平行,所以$k = \frac{1}{2}$. 把$(-2, -4)$代入$y = \frac{1}{2}x + b$,得$b = -3$,所以该一次函数的表达式为$y = \frac{1}{2}x - 3$。

【分析】
解决本题首先要明确一次函数图象平行的核心性质：两条互相平行的一次函数直线，一次项系数$k$相等，据此可先确定所求函数的$k$值；再结合函数经过已知点的条件，使用待定系数法，将点坐标代入含未知常数项$b$的表达式，求出$b$后即可得到完整的函数解析式。
【解析】
解：设该一次函数的表达式为$y = kx + b$（$k≠0$）。
因为该一次函数的图象与直线$y=\frac{1}{2}x +6$平行，根据两平行直线的一次项系数相等，可得$k=\frac{1}{2}$，即函数表达式为$y=\frac{1}{2}x +b$。
将点$(-2,-4)$代入$y=\frac{1}{2}x +b$得：
$-4 = \frac{1}{2}×(-2) + b$
计算得$-4 = -1 + b$，解得$b=-3$。
因此该一次函数的表达式为$y=\frac{1}{2}x -3$。
【答案】
C
【知识点】
1. 一次函数平行的性质
2. 待定系数法求一次函数解析式
【点评】
本题属于一次函数的基础常考题，核心考查平行直线的系数特征和待定系数法的应用，牢记两平行一次函数的$k$值相等是解题的突破口，整体计算量小，解题逻辑清晰。
【难度系数】
0.8

3. [2025 枣庄期末] 如图，四边形OABC是长方形，O是原点，点A,C分别在x轴、y轴上，点B的坐标是(3,4)，则直线AC对应的函数表达式为（）

A.$y = -\dfrac{4}{3}x + 4$
B.$y = -\dfrac{4}{3}x + 3$
C.$y = \dfrac{1}{4}x + 4$
D.$y = -\dfrac{1}{3}x + 3$

A 由题意可知,点$A$的坐标为$(3,0)$,点$C$的坐标为$(0,4)$(点拨:利用坐标轴上点的坐标特征和平行于坐标轴的直线上的点的坐标特征可得). 设直线$AC$对应的函数表达式为$y = kx + b$($k,b$为常数,$k≠0$). 把$A(3,0)$,$C(0,4)$分别代入$y = kx + b$中, 得到方程组$\begin{cases}3k + b = 0,\\b = 4,\end{cases}$解得$\begin{cases}k = -\frac{4}{3},\\b = 4,\end{cases}$所以直线$AC$对应的函数表达式为$y = -\frac{4}{3}x + 4$。

【分析】
要确定直线AC的函数表达式，需先得到直线上两个点的坐标，再用待定系数法求解。第一步，结合长方形的性质和点B的坐标确定点A、C的坐标：长方形对边平行且相等，点A在x轴上，横坐标与点B相同，纵坐标为0；点C在y轴上，纵坐标与点B相同，横坐标为0。第二步，设一次函数的一般式$y=kx+b(k≠0)$，将A、C两点坐标代入得到关于k、b的二元一次方程组，解方程组求出k、b的值，即可得到直线AC的函数表达式。
【解析】
已知四边形OABC是长方形，点B坐标为$(3,4)$，点A在x轴上，点C在y轴上，因此点A的坐标为$(3,0)$，点C的坐标为$(0,4)$。
设直线AC对应的函数表达式为$y = kx + b$（$k,b$为常数，$k≠0$）。
将$A(3,0)$、$C(0,4)$分别代入表达式，可得方程组：
$\begin{cases}3k + b = 0\\b = 4\end{cases}$
把$b=4$代入$3k + b = 0$，得$3k + 4 = 0$，解得$k=-\dfrac{4}{3}$。
因此直线AC的函数表达式为$y = -\dfrac{4}{3}x + 4$。
【答案】
A
【知识点】
待定系数法求一次函数解析式；矩形的性质；坐标轴上点的坐标特征
【点评】
本题是一次函数基础常考题，结合矩形坐标性质和待定系数法考查，解题关键是准确求出A、C两点的坐标，熟练掌握待定系数法的求解步骤即可快速解答。
【难度系数】
0.8

4. ▶教材P48T13变式 [2026合肥四十五中月考]已知y与$x+1$成正比例,当$x=2$时,$y=6$.
(1)求y与x之间的函数表达式.
(2)试判断点$(4,4)$是否在该函数的图象上,并说明理由.

解:(1)因为$y$与$x + 1$成正比例,所以设$y$与$x + 1$之间的函数表达式为$y = k(x + 1)$.把$(2,6)$代入,得$(2 + 1)k = 6$,解得$k = 2$,所以$y$与$x$之间的函数表达式为$y = 2(x + 1) = 2x + 2$.
(2)点$(4,4)$不在函数$y = 2x + 2$的图象上. 理由如下:令$x = 4$,则$y = 2×4 + 2 = 10 ≠ 4$,所以点$(4,4)$不在该函数的图象上。

【分析】
(1) 解决第一问首先回忆正比例的定义：若两个量a、b成正比例，可设a=kb（k为常数且k≠0）。本题中y与x+1成正比例，因此把b替换为x+1，设函数表达式为y=k(x+1)，再将已知的x=2、y=6代入式子求出k的值，最后整理得到y关于x的函数表达式即可。
(2) 解决第二问的核心依据是：函数图象上的点的坐标一定满足函数解析式。只需将点的横坐标x=4代入已求出的函数解析式，计算对应的y值，再和点的纵坐标4对比，若相等则点在图象上，反之则不在。
【解析】
(1) 解：
∵y与x+1成正比例，
∴设y与x+1之间的函数表达式为$y = k(x + 1)$（$k≠0$，k为常数），
把$x=2$，$y=6$代入上式，得：
$(2 + 1)k = 6$，
即$3k=6$，解得$k = 2$，
∴$y = 2(x + 1) = 2x + 2$，即y与x的函数表达式为$y=2x+2$。
(2) 点$(4,4)$不在该函数的图象上，理由如下：
将$x=4$代入$y=2x+2$，得：
$y = 2×4 + 2 = 10$，
∵$10≠4$，即x=4对应的函数值不等于4，
∴点$(4,4)$不在该函数的图象上。
【答案】
(1) $y=2x+2$
(2) 点$(4,4)$不在该函数的图象上，理由：当$x=4$时，$y=2×4+2=10≠4$，因此该点不在函数图象上。
【知识点】
1. 正比例函数定义
2. 待定系数法求解析式
3. 函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题是一次函数的基础常规题，主要考查对正比例关系的理解、待定系数法的运用，以及判断点与函数图象位置关系的方法，熟练掌握基础概念和对应方法即可快速解题。
【难度系数】
0.8

5. [2026安庆期中]已知点A,B,C的坐标分别为$A(-1,5),B(-\dfrac{3}{2},6),C(2,-1)$，试判断A,B,C三点是否在同一直线上，并说明理由。

解:$A,B,C$三点在同一直线上. 理由如下:
设直线$AC$的函数表达式为$y = kx + b$($k≠0$).把$A(-1,5)$,$C(2,-1)$代入,得$\begin{cases}-k + b = 5,\\2k + b = -1,\end{cases}$解得$\begin{cases}k = -2,\\b = 3,\end{cases}$所以直线$AC$的函数表达式为$y = -2x + 3$.
把$x = -\frac{3}{2}$代入$y = -2x + 3$,得$y = -2×(-\frac{3}{2}) + 3 = 6$,所以点$B(-\frac{3}{2},6)$在直线$AC$上,所以$A,B,C$三点在同一直线上。

【分析】
要判断三点是否在同一直线上，可利用一次函数的性质求解：先从三个点中任选两个点，用待定系数法求出经过这两个点的直线的函数表达式，再将第三个点的横坐标代入表达式计算对应的纵坐标，若计算结果与第三个点的纵坐标相等，说明第三个点在这条直线上，即三点共线；若不相等则三点不共线。本题可先求过A、C两点的直线解析式，再验证点B是否在该直线上。
【解析】
解：A,B,C三点在同一直线上，理由如下：
设直线AC的函数表达式为$y = kx + b$（$k≠0$）。
把$A(-1,5)$，$C(2,-1)$代入表达式，得：
$\begin{cases}-k + b = 5 \\2k + b = -1\end{cases}$
用第二个方程减第一个方程消去$b$，得$3k=-6$，解得$k=-2$；
将$k=-2$代入$-k + b = 5$，得$2 + b = 5$，解得$b=3$。
因此直线AC的函数表达式为$y = -2x + 3$。
把$x = -\frac{3}{2}$代入$y = -2x + 3$，得$y = -2×(-\frac{3}{2}) + 3 = 6$，与点B的纵坐标一致，说明点$B(-\frac{3}{2},6)$在直线AC上，因此A,B,C三点在同一直线上。
【答案】
A、B、C三点在同一直线上
【知识点】
待定系数法求一次函数解析式；一次函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题属于一次函数基础应用类题型，解题核心是掌握“一次函数图象上的点的坐标满足对应函数解析式”的性质，按照“求两点解析式→验证第三点位置”的思路即可完成判断，计算时注意系数符号，避免运算错误。
【难度系数】
0.7

6. [2026合肥四十五中月考]如图,在平面直角坐标系中,一次函数$y=kx+b$的图象与x轴、y轴分别交于A,B两点,已知$A(-2,0)$,且$2OB=5OA$.
(1)求一次函数的表达式.
(2)当x轴上有一点C,使得三角形ABC的面积为5,求点C的坐标.

解:(1)因为一次函数的图象与$x$轴交于点$A(-2,0)$,所以$OA = 2$,
因为$2OB = 5OA$,所以$OB = \frac{5}{2}OA = 5$,所以$B(0,-5)$,
设一次函数的表达式为$y = kx - 5$,把点$A(-2,0)$代入,得$-2k - 5 = 0$,解得$k = -\frac{5}{2}$,
所以一次函数的表达式为$y = -\frac{5}{2}x - 5$.
(2)设点$C$的坐标为$(x,0)$,则$AC = |x + 2|$.
因为三角形$ABC$的面积为$5$,所以$\frac{1}{2}|x + 2|×5 = 5$,所以$x = 0$或$x = -4$,
所以点$C$的坐标为$(0,0)$或$(-4,0)$。

【分析】
(1) 先根据点A的坐标求出OA的长度，结合已知条件2OB=5OA算出OB的长度，再根据图象判断B点在y轴负半轴，得到B点坐标，最后用待定系数法将A、B两点坐标代入一次函数表达式，求解k和b即可得到函数解析式。
(2) 点C在x轴上，故设其坐标为(x,0)，三角形ABC以AC为底，OB的长度为高，根据三角形面积公式列出含绝对值的方程，求解方程即可得到x的值，注意点C可能在点A的左侧或右侧，不要漏解。
【解析】
(1) 已知一次函数图象与x轴交于$A(-2,0)$，因此$OA=2$。
由$2OB=5OA$，可得$OB=\frac{5}{2}OA=\frac{5}{2}×2=5$，结合图象可知B点在y轴负半轴，故B点坐标为$(0,-5)$。
设一次函数的表达式为$y=kx+b$，将$A(-2,0)$、$B(0,-5)$代入表达式：
当$x=0$时，$b=-5$；
将$b=-5$和$A(-2,0)$代入得：$-2k -5=0$，解得$k=-\frac{5}{2}$。
因此一次函数的表达式为$y=-\frac{5}{2}x -5$。
(2) 设点C的坐标为$(x,0)$，则AC的长度为$|x - (-2)|=|x+2|$。
三角形ABC的高为OB的长度即5，已知面积为5，根据三角形面积公式$S=\frac{1}{2}×底×高$，可得：
$\frac{1}{2}×|x+2|×5=5$
化简得：$|x+2|=2$
当$x+2=2$时，$x=0$；当$x+2=-2$时，$x=-4$。
因此点C的坐标为$(0,0)$或$(-4,0)$。
【答案】
(1) $y=-\frac{5}{2}x -5$
(2) $(0,0)$或$(-4,0)$
【知识点】
待定系数法求一次函数解析式，一次函数与坐标轴交点，坐标与图形面积
【点评】
本题是一次函数的基础综合题，解题的核心是结合图象确定点的坐标，第二问求解时要注意考虑点C的两种位置情况，避免漏解，是一次函数章节的常考题型。
【难度系数】
0.7