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7. 跨学科·物理 [2025苏州中考]声音在空气中传播的速度随温度的变化而变化，科学家测得一定温度下声音传播的速度v(单位:m/s)与温度t(单位:℃)部分对应数值如下表：
研究发现v,t满足公式$v=at + b$($a,b$为常数，且$a≠0$)，当温度$t$为$15\ ℃$时，声音传播的速度$v$为 (
A.333 m/s
B.339 m/s
C.341 m/s
D.342 m/s
研究发现v,t满足公式$v=at + b$($a,b$为常数，且$a≠0$)，当温度$t$为$15\ ℃$时，声音传播的速度$v$为 (
B
)A.333 m/s
B.339 m/s
C.341 m/s
D.342 m/s
答案
B 将$t = 10$,$v = 336$和$t = 30$,$v = 348$分别代入$v = at + b$,得$\begin{cases}10a + b = 336,\\30a + b = 348,\end{cases}$解得$\begin{cases}a = 0.6,\\b = 330,\end{cases}$所以$v$与$t$之间的函数关系式为$v = 0.6t + 330$. 当$t = 15$时,$v = 0.6×15 + 330 = 339$,所以当温度$t$为$15\ ℃$时,声音传播的速度$v$为$339\ \mathrm{m/s}$。
解析
【分析】
本题是一次函数的实际应用问题，已知v与t满足一次函数关系$v=at+b$，解题思路如下：首先利用待定系数法求函数解析式，需要从表格中选取两组t、v的对应值代入表达式，得到关于a、b的二元一次方程组；接着解方程组求出a、b的值，确定v与t的函数关系式；最后将$t=15℃$代入求出的函数关系式，计算得到对应的声速v即可。
【解析】
从表格中选取两组对应值，将$t = 10$，$v = 336$和$t = 30$，$v = 348$分别代入$v = at + b$，可得方程组：
$\begin{cases}10a + b = 336\\30a + b = 348\end{cases}$
用第二个方程减去第一个方程消去b，得$20a=12$，解得$a=0.6$。
将$a=0.6$代入$10a + b = 336$，得$10×0.6 + b=336$，解得$b=330$。
因此v与t的函数关系式为$v = 0.6t + 330$。
当$t=15$时，代入关系式得：
$v=0.6×15 + 330=9+330=339\ (\mathrm{m/s})$
【答案】
B
【知识点】
待定系数法求一次函数解析式，二元一次方程组的解法，一次函数求值
【点评】
本题结合物理中声速与温度的关系考查一次函数的实际应用，解题核心是熟练掌握待定系数法求函数解析式的步骤，能从表格中提取有效数据进行计算，属于基础应用型题目。
【难度系数】
0.8
本题是一次函数的实际应用问题，已知v与t满足一次函数关系$v=at+b$，解题思路如下：首先利用待定系数法求函数解析式，需要从表格中选取两组t、v的对应值代入表达式，得到关于a、b的二元一次方程组；接着解方程组求出a、b的值，确定v与t的函数关系式；最后将$t=15℃$代入求出的函数关系式，计算得到对应的声速v即可。
【解析】
从表格中选取两组对应值，将$t = 10$，$v = 336$和$t = 30$，$v = 348$分别代入$v = at + b$，可得方程组：
$\begin{cases}10a + b = 336\\30a + b = 348\end{cases}$
用第二个方程减去第一个方程消去b，得$20a=12$，解得$a=0.6$。
将$a=0.6$代入$10a + b = 336$，得$10×0.6 + b=336$，解得$b=330$。
因此v与t的函数关系式为$v = 0.6t + 330$。
当$t=15$时，代入关系式得：
$v=0.6×15 + 330=9+330=339\ (\mathrm{m/s})$
【答案】
B
【知识点】
待定系数法求一次函数解析式，二元一次方程组的解法，一次函数求值
【点评】
本题结合物理中声速与温度的关系考查一次函数的实际应用，解题核心是熟练掌握待定系数法求函数解析式的步骤，能从表格中提取有效数据进行计算，属于基础应用型题目。
【难度系数】
0.8
8. [2025内江段考] 如图，一次函数的图象经过点A(0,2)，且与正比例函数$y=-x$的图象交于点B，则该一次函数的表达式为（
A.$y=-x+2$
B.$y=x+2$
C.$y=x-2$
D.$y=-x-2$
B
）A.$y=-x+2$
B.$y=x+2$
C.$y=x-2$
D.$y=-x-2$
答案
B 设该一次函数的表达式为$y = kx + b$($k≠0$). 因为点$B$在$y = -x$的图象上,点$B$的横坐标为$-1$,所以点$B$的坐标为$(-1,1)$. 将点$A$的坐标$(0,2)$,点$B$的坐标$(-1,1)$分别代入$y = kx + b$,可得$\begin{cases}b = 2,\\-k + b = 1,\end{cases}$解得$\begin{cases}b = 2,\\k = 1,\end{cases}$所以该一次函数的表达式为$y = x + 2$。
解析
【分析】
要解本题，首先回忆求一次函数表达式的常用方法为待定系数法，需要两个点的坐标代入$y=kx+b(k≠0)$求解系数$k$和$b$。题目已给出一次函数经过点$A(0,2)$，还需得到另一个交点$B$的坐标：点$B$是一次函数与正比例函数$y=-x$的交点，从图中可知点$B$的横坐标为$-1$，将$x=-1$代入$y=-x$即可求出点$B$的纵坐标，得到$B$点坐标后，将$A$、$B$两点坐标代入一次函数解析式，解二元一次方程组求出$k$和$b$，就能得到一次函数表达式。
【解析】
解：设该一次函数的表达式为$y = kx + b$（$k≠0$）。
1. 求点$B$的坐标：
∵ 点$B$在正比例函数$y=-x$的图象上，且点$B$的横坐标为$-1$，
∴ 把$x=-1$代入$y=-x$，得$y=-(-1)=1$，即点$B$的坐标为$(-1,1)$。
2. 代入坐标列方程组求解：
将点$A(0,2)$、点$B(-1,1)$分别代入$y = kx + b$，可得：
$\begin{cases}b = 2\\-k + b = 1\end{cases}$
把$b=2$代入第二个方程，得$-k + 2 = 1$，解得$k=1$。
3. 得出解析式：
将$k=1$、$b=2$代入$y=kx+b$，可得一次函数表达式为$y=x+2$。
【答案】B
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；正比例函数的性质；函数交点坐标求法
【点评】本题属于一次函数基础题型，解题核心是掌握待定系数法求函数解析式的步骤，解题关键是结合图象信息和正比例函数解析式求出交点$B$的坐标，熟练掌握相关基础知识点即可快速解题。
【难度系数】0.8
要解本题，首先回忆求一次函数表达式的常用方法为待定系数法，需要两个点的坐标代入$y=kx+b(k≠0)$求解系数$k$和$b$。题目已给出一次函数经过点$A(0,2)$，还需得到另一个交点$B$的坐标：点$B$是一次函数与正比例函数$y=-x$的交点，从图中可知点$B$的横坐标为$-1$，将$x=-1$代入$y=-x$即可求出点$B$的纵坐标，得到$B$点坐标后，将$A$、$B$两点坐标代入一次函数解析式，解二元一次方程组求出$k$和$b$，就能得到一次函数表达式。
【解析】
解：设该一次函数的表达式为$y = kx + b$（$k≠0$）。
1. 求点$B$的坐标：
∵ 点$B$在正比例函数$y=-x$的图象上，且点$B$的横坐标为$-1$，
∴ 把$x=-1$代入$y=-x$，得$y=-(-1)=1$，即点$B$的坐标为$(-1,1)$。
2. 代入坐标列方程组求解：
将点$A(0,2)$、点$B(-1,1)$分别代入$y = kx + b$，可得：
$\begin{cases}b = 2\\-k + b = 1\end{cases}$
把$b=2$代入第二个方程，得$-k + 2 = 1$，解得$k=1$。
3. 得出解析式：
将$k=1$、$b=2$代入$y=kx+b$，可得一次函数表达式为$y=x+2$。
【答案】B
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；正比例函数的性质；函数交点坐标求法
【点评】本题属于一次函数基础题型，解题核心是掌握待定系数法求函数解析式的步骤，解题关键是结合图象信息和正比例函数解析式求出交点$B$的坐标，熟练掌握相关基础知识点即可快速解题。
【难度系数】0.8
9. [2025淮南八公山区期末]如图,直线$ l $与$ x $轴、$ y $轴的正半轴分别交于$ A,B $两点,点$ P $在线段$ AB $上(不包括端点),过点$ P $作$ PD ⊥ x $轴于点$ D $,$ PE ⊥ y $轴于点$ E $. 若四边形$ PDOE $的周长为16,则直线$ l $的函数表达式是
$y=-x+8$
.答案
$y = -x + 8$ 解题思路:先利用长方形的性质得到$OD + PD = 8$,在1到8之间给$OD$任意赋两个不同的值,对应得到两个点$P$的坐标,然后利用待定系数法求直线$l$的表达式.
由题意可知,四边形$PDOE$为长方形,因为四边形$PDOE$的周长为16,所以$OD + PD = 8$,不妨令$OD = 1$,则$PD = 7$,此时点$P$的坐标为$(1,7)$,再令$OD = 2$,则$PD = 6$,此时点$P$的坐标为$(2,6)$. 设直线$l$的函数表达式为$y = kx + b$,把$(1,7)$,$(2,6)$分别代入,得$\begin{cases}k + b = 7,\\2k + b = 6,\end{cases}$解得$\begin{cases}k = -1,\\b = 8,\end{cases}$所以直线$l$的函数表达式为$y = -x + 8$。
由题意可知,四边形$PDOE$为长方形,因为四边形$PDOE$的周长为16,所以$OD + PD = 8$,不妨令$OD = 1$,则$PD = 7$,此时点$P$的坐标为$(1,7)$,再令$OD = 2$,则$PD = 6$,此时点$P$的坐标为$(2,6)$. 设直线$l$的函数表达式为$y = kx + b$,把$(1,7)$,$(2,6)$分别代入,得$\begin{cases}k + b = 7,\\2k + b = 6,\end{cases}$解得$\begin{cases}k = -1,\\b = 8,\end{cases}$所以直线$l$的函数表达式为$y = -x + 8$。
解析
【分析】
解题时首先判断四边形PDOE的形状：由PD⊥x轴、PE⊥y轴，结合x轴与y轴互相垂直，可得四边形PDOE是矩形。根据矩形周长公式，周长为16可推出邻边OD与PD的和为8，而OD是点P的横坐标，PD是点P的纵坐标，即直线l上的点P都满足横坐标+纵坐标=8。我们可以取两个符合该条件的点的坐标，用待定系数法即可求出直线l的函数表达式。
【解析】
解：
∵PD⊥x轴，PE⊥y轴，∠DOE=90°，
∴四边形PDOE是矩形。
∵矩形PDOE的周长为16，
∴$2(OD + PD) = 16$，即$OD + PD = 8$。
设点P的横坐标为$x$，纵坐标为$y$，则$OD = x$，$PD = y$，即$x + y = 8$。
取两组满足$x+y=8$的点：当$x=1$时，$y=7$，得点$P(1,7)$；当$x=2$时，$y=6$，得点$P(2,6)$。
设直线l的函数表达式为$y=kx+b\ (k≠0)$，
将$(1,7)$、$(2,6)$分别代入表达式，得：
$\begin{cases}k + b = 7\\2k + b = 6\end{cases}$
解得$\begin{cases}k = -1\\b = 8\end{cases}$
因此直线l的函数表达式为$y=-x+8$。
【答案】
$y = -x + 8$
【知识点】
矩形的性质；待定系数法求解析式；一次函数特征
【点评】
本题是一次函数与矩形性质结合的基础综合题，解题关键是利用矩形周长得到直线上点的横纵坐标的等量关系，既可以通过特殊点代入计算，也可以直接由等量关系整理得到函数表达式，能够很好地考察数形结合的思维能力。
【难度系数】
0.7
解题时首先判断四边形PDOE的形状：由PD⊥x轴、PE⊥y轴，结合x轴与y轴互相垂直，可得四边形PDOE是矩形。根据矩形周长公式，周长为16可推出邻边OD与PD的和为8，而OD是点P的横坐标，PD是点P的纵坐标，即直线l上的点P都满足横坐标+纵坐标=8。我们可以取两个符合该条件的点的坐标，用待定系数法即可求出直线l的函数表达式。
【解析】
解：
∵PD⊥x轴，PE⊥y轴，∠DOE=90°，
∴四边形PDOE是矩形。
∵矩形PDOE的周长为16，
∴$2(OD + PD) = 16$，即$OD + PD = 8$。
设点P的横坐标为$x$，纵坐标为$y$，则$OD = x$，$PD = y$，即$x + y = 8$。
取两组满足$x+y=8$的点：当$x=1$时，$y=7$，得点$P(1,7)$；当$x=2$时，$y=6$，得点$P(2,6)$。
设直线l的函数表达式为$y=kx+b\ (k≠0)$，
将$(1,7)$、$(2,6)$分别代入表达式，得：
$\begin{cases}k + b = 7\\2k + b = 6\end{cases}$
解得$\begin{cases}k = -1\\b = 8\end{cases}$
因此直线l的函数表达式为$y=-x+8$。
【答案】
$y = -x + 8$
【知识点】
矩形的性质；待定系数法求解析式；一次函数特征
【点评】
本题是一次函数与矩形性质结合的基础综合题，解题关键是利用矩形周长得到直线上点的横纵坐标的等量关系，既可以通过特殊点代入计算，也可以直接由等量关系整理得到函数表达式，能够很好地考察数形结合的思维能力。
【难度系数】
0.7
10. [2025合肥瑶海区期中] 已知一次函数$y=kx+b$的图象经过第一、二、四象限，且当$2≤ x≤4$时，$4≤ y≤6$，则$\frac{b}{k}$的值是
$-8$
.答案
$-8$ 因为一次函数$y = kx + b$的图象经过第一、二、四象限,所以$k＜0$,所以$y$随$x$的增大而减小. 因为当$2≤x≤4$时,$4≤y≤6$,所以当$x = 2$时,$y = 6$;当$x = 4$时,$y = 4$,所以$\begin{cases}2k + b = 6,\\4k + b = 4,\end{cases}$解得$\begin{cases}k = -1,\\b = 8,\end{cases}$所以$\frac{b}{k} = -8$。
解析
【分析】
首先根据一次函数图象经过的象限判断k的符号，明确函数的增减性；再结合给定的x、y的取值范围，根据增减性确定x和y的对应取值：因为k＜0时y随x增大而减小，所以x取最小值时y取最大值，x取最大值时y取最小值；之后将两组对应值代入函数解析式，得到关于k、b的二元一次方程组，解方程组求出k、b的值，最后计算$\frac{b}{k}$的值即可。
【解析】
解：
∵一次函数$y=kx+b$的图象经过第一、二、四象限，
∴$k＜0$，$y$随$x$的增大而减小。
∵当$2≤x≤4$时，$4≤y≤6$，
∴$x=2$时$y=6$，$x=4$时$y=4$，代入解析式得：
$\begin{cases}2k + b = 6\\4k + b = 4\end{cases}$
用第一个方程减去第二个方程，得$-2k=2$，解得$k=-1$，
将$k=-1$代入$2k + b = 6$，得$-2 + b = 6$，解得$b=8$，
∴$\frac{b}{k}=\frac{8}{-1}=-8$。
【答案】
$-8$
【知识点】
一次函数的性质；待定系数法；一次函数图象与系数的关系
【点评】
本题的解题关键是先根据一次函数图象经过的象限判断增减性，进而确定x与y的对应值，易错点是混淆增减性对应的x、y的对应关系，代入时出错。
【难度系数】
0.6
首先根据一次函数图象经过的象限判断k的符号，明确函数的增减性；再结合给定的x、y的取值范围，根据增减性确定x和y的对应取值：因为k＜0时y随x增大而减小，所以x取最小值时y取最大值，x取最大值时y取最小值；之后将两组对应值代入函数解析式，得到关于k、b的二元一次方程组，解方程组求出k、b的值，最后计算$\frac{b}{k}$的值即可。
【解析】
解：
∵一次函数$y=kx+b$的图象经过第一、二、四象限，
∴$k＜0$，$y$随$x$的增大而减小。
∵当$2≤x≤4$时，$4≤y≤6$，
∴$x=2$时$y=6$，$x=4$时$y=4$，代入解析式得：
$\begin{cases}2k + b = 6\\4k + b = 4\end{cases}$
用第一个方程减去第二个方程，得$-2k=2$，解得$k=-1$，
将$k=-1$代入$2k + b = 6$，得$-2 + b = 6$，解得$b=8$，
∴$\frac{b}{k}=\frac{8}{-1}=-8$。
【答案】
$-8$
【知识点】
一次函数的性质；待定系数法；一次函数图象与系数的关系
【点评】
本题的解题关键是先根据一次函数图象经过的象限判断增减性，进而确定x与y的对应值，易错点是混淆增减性对应的x、y的对应关系，代入时出错。
【难度系数】
0.6
11. 一题多解 [2026宁波期末]在“探索一次函数$y = kx + b$的系数$k,b$与图象的关系”活动中,老师给出了直角坐标系中的三个点:$A(0,2),B(2,3),C(3,1)$(
).同学们画出了经过这三个点中每两个点的一次函数的图象,并得到对应的函数表达式$y_1 = k_1x + b_1, y_2 = k_2x + b_2, y_3 = k_3x + b_3$.分别计算$k_1 + b_1, k_2 + b_2, k_3 + b_3$的值,其中最大的值等于
).同学们画出了经过这三个点中每两个点的一次函数的图象,并得到对应的函数表达式$y_1 = k_1x + b_1, y_2 = k_2x + b_2, y_3 = k_3x + b_3$.分别计算$k_1 + b_1, k_2 + b_2, k_3 + b_3$的值,其中最大的值等于$5$
.答案
$5$
通解 设函数$y_1$的图象经过点$A,B$,函数$y_2$的图象经过点$A,C$,函数$y_3$的图象经过点$B,C$. 把$A(0,2)$,$B(2,3)$的坐标分别代入$y_1 = k_1x + b_1$,得$\begin{cases}b_1 = 2,\\2k_1 + b_1 = 3,\end{cases}$解得$\begin{cases}b_1 = 2,\\k_1 = \frac{1}{2},\end{cases}$所以$k_1 + b_1 = \frac{5}{2}$. 同理可得$k_2 + b_2 = \frac{5}{3}$,$k_3 + b_3 = 5$,故其中最大的值等于5。另解 本题也可结合函数图象解题,方法如下:
易知$k_1 + b_1,k_2 + b_2,k_3 + b_3$的值分别是$x = 1$时,$y_1,y_2,y_3$的值. 如图,点$D,E,F$分别是直线$AB,AC,BC$与直线$x = 1$的交点,易得$y_F$最大,$y_F = 5$,故$k_1 + b_1,k_2 + b_2,k_3 + b_3$的值中,最大的值等于5。
解析
【分析】
解题首先明确三个点两两组合可得到三条不同的一次函数图象，分别为过A和B、A和C、B和C的直线。有两种解题思路：一是用待定系数法分别求出每条直线的k、b值，计算k+b后比较大小；二是观察表达式特征，$k+b$是一次函数$y=kx+b$在$x=1$时的函数值，只需找到三条直线在$x=1$处的函数值，比较大小即可得到最大值。
【解析】
方法1：待定系数法求解
三条直线分别为直线AB、直线AC、直线BC：
① 求直线AB的解析式：将$A(0,2)$，$B(2,3)$代入$y_1 = k_1x + b_1$，得
$\begin{cases}b_1 = 2\\2k_1 + b_1 = 3\end{cases}$，解得$\begin{cases}k_1 = \frac{1}{2}\\b_1 = 2\end{cases}$，因此$k_1 + b_1 = \frac{1}{2} + 2 = \frac{5}{2}$；
② 求直线AC的解析式：将$A(0,2)$，$C(3,1)$代入$y_2 = k_2x + b_2$，得
$\begin{cases}b_2 = 2\\3k_2 + b_2 = 1\end{cases}$，解得$\begin{cases}k_2 = -\frac{1}{3}\\b_2 = 2\end{cases}$，因此$k_2 + b_2 = -\frac{1}{3} + 2 = \frac{5}{3}$；
③ 求直线BC的解析式：将$B(2,3)$，$C(3,1)$代入$y_3 = k_3x + b_3$，得
$\begin{cases}2k_3 + b_3 = 3\\3k_3 + b_3 = 1\end{cases}$，解得$\begin{cases}k_3 = -2\\b_3 = 7\end{cases}$，因此$k_3 + b_3 = -2 + 7 = 5$。
比较$\frac{5}{2}$、$\frac{5}{3}$、5的大小，可得最大值为5。
方法2：巧解
对于一次函数$y=kx+b$，当$x=1$时，$y=k+b$，因此$k_1 + b_1,k_2 + b_2,k_3 + b_3$分别是三条直线在$x=1$处的函数值。作出直线$x=1$，找到它与三条直线的交点，其中与直线BC交点的纵坐标最大，计算得该值为5，因此最大值为5。
【答案】
$5$
【知识点】
待定系数法求一次函数解析式；一次函数的图象与性质
【点评】
本题围绕一次函数的系数与图象的关系设置，既可以用常规的待定系数法逐步计算，也可以结合表达式特征找到巧解路径，能有效锻炼学生的发散思维，提升解题灵活性。
【难度系数】
0.7
解题首先明确三个点两两组合可得到三条不同的一次函数图象，分别为过A和B、A和C、B和C的直线。有两种解题思路：一是用待定系数法分别求出每条直线的k、b值，计算k+b后比较大小；二是观察表达式特征，$k+b$是一次函数$y=kx+b$在$x=1$时的函数值，只需找到三条直线在$x=1$处的函数值，比较大小即可得到最大值。
【解析】
方法1：待定系数法求解
三条直线分别为直线AB、直线AC、直线BC：
① 求直线AB的解析式：将$A(0,2)$，$B(2,3)$代入$y_1 = k_1x + b_1$，得
$\begin{cases}b_1 = 2\\2k_1 + b_1 = 3\end{cases}$，解得$\begin{cases}k_1 = \frac{1}{2}\\b_1 = 2\end{cases}$，因此$k_1 + b_1 = \frac{1}{2} + 2 = \frac{5}{2}$；
② 求直线AC的解析式：将$A(0,2)$，$C(3,1)$代入$y_2 = k_2x + b_2$，得
$\begin{cases}b_2 = 2\\3k_2 + b_2 = 1\end{cases}$，解得$\begin{cases}k_2 = -\frac{1}{3}\\b_2 = 2\end{cases}$，因此$k_2 + b_2 = -\frac{1}{3} + 2 = \frac{5}{3}$；
③ 求直线BC的解析式：将$B(2,3)$，$C(3,1)$代入$y_3 = k_3x + b_3$，得
$\begin{cases}2k_3 + b_3 = 3\\3k_3 + b_3 = 1\end{cases}$，解得$\begin{cases}k_3 = -2\\b_3 = 7\end{cases}$，因此$k_3 + b_3 = -2 + 7 = 5$。
比较$\frac{5}{2}$、$\frac{5}{3}$、5的大小，可得最大值为5。
方法2：巧解
对于一次函数$y=kx+b$，当$x=1$时，$y=k+b$，因此$k_1 + b_1,k_2 + b_2,k_3 + b_3$分别是三条直线在$x=1$处的函数值。作出直线$x=1$，找到它与三条直线的交点，其中与直线BC交点的纵坐标最大，计算得该值为5，因此最大值为5。
【答案】
$5$
【知识点】
待定系数法求一次函数解析式；一次函数的图象与性质
【点评】
本题围绕一次函数的系数与图象的关系设置，既可以用常规的待定系数法逐步计算，也可以结合表达式特征找到巧解路径，能有效锻炼学生的发散思维，提升解题灵活性。
【难度系数】
0.7
12. [2026合肥瑶海区期中] 如图,在平面直角坐标系中,点$A(2,m)$在直线$y=2x-\frac{5}{2}$上,过点A的直线交y轴于点$B(0,3)$.
(1)求$m$的值和直线AB的函数表达式.
(2)若点$P(t,y_{1})$在线段AB上,点$Q(t-1,y_{2})$在直线$y=2x-\frac{5}{2}$上,求$y_{1}-y_{2}$的最大值.
(1)求$m$的值和直线AB的函数表达式.
(2)若点$P(t,y_{1})$在线段AB上,点$Q(t-1,y_{2})$在直线$y=2x-\frac{5}{2}$上,求$y_{1}-y_{2}$的最大值.
答案
解:(1)把点$A$的坐标$(2,m)$代入$y = 2x - \frac{5}{2}$,得$m = \frac{3}{2}$,所以点$A$的坐标为$(2,\frac{3}{2})$.
设直线$AB$的函数表达式为$y = kx + b$.把$A$的坐标$(2,\frac{3}{2})$,$B$的坐标$(0,3)$代入,得$\begin{cases}2k + b = \frac{3}{2},\\b = 3,\end{cases}$解得$\begin{cases}k = -\frac{3}{4},\\b = 3,\end{cases}$所以直线$AB$的函数表达式为$y = -\frac{3}{4}x + 3$.
(2)因为点$P(t,y_1)$在线段$AB$上,所以$y_1 = -\frac{3}{4}t + 3(0≤t≤2)$.
因为点$Q(t - 1,y_2)$在直线$y = 2x - \frac{5}{2}$上,所以$y_2 = 2(t - 1) - \frac{5}{2} = 2t - \frac{9}{2}$,
所以$y_1 - y_2 = -\frac{3}{4}t + 3 - (2t - \frac{9}{2}) = -\frac{11}{4}t + \frac{15}{2}$.
因为$-\frac{11}{4} ＜ 0$,所以$y_1 - y_2$随$t$的增大而减小,所以当$t = 0$时,$y_1 - y_2$取得最大值,$y_1 - y_2$的最大值为$\frac{15}{2}$。
设直线$AB$的函数表达式为$y = kx + b$.把$A$的坐标$(2,\frac{3}{2})$,$B$的坐标$(0,3)$代入,得$\begin{cases}2k + b = \frac{3}{2},\\b = 3,\end{cases}$解得$\begin{cases}k = -\frac{3}{4},\\b = 3,\end{cases}$所以直线$AB$的函数表达式为$y = -\frac{3}{4}x + 3$.
(2)因为点$P(t,y_1)$在线段$AB$上,所以$y_1 = -\frac{3}{4}t + 3(0≤t≤2)$.
因为点$Q(t - 1,y_2)$在直线$y = 2x - \frac{5}{2}$上,所以$y_2 = 2(t - 1) - \frac{5}{2} = 2t - \frac{9}{2}$,
所以$y_1 - y_2 = -\frac{3}{4}t + 3 - (2t - \frac{9}{2}) = -\frac{11}{4}t + \frac{15}{2}$.
因为$-\frac{11}{4} ＜ 0$,所以$y_1 - y_2$随$t$的增大而减小,所以当$t = 0$时,$y_1 - y_2$取得最大值,$y_1 - y_2$的最大值为$\frac{15}{2}$。
解析
【分析】
（1）要求m的值，已知点A在直线$y=2x-\frac{5}{2}$上，直接将点A的横坐标代入该直线解析式即可求出m，得到点A的完整坐标；要求直线AB的函数表达式，已知直线过A、B两个点，采用待定系数法，设解析式为$y=kx+b$，代入两点坐标得到关于k、b的方程组，解方程组即可得到解析式。
（2）首先根据点P在线段AB上、点Q在已知直线上，分别用含t的代数式表示出$y_1$和$y_2$，再计算$y_1-y_2$，将其整理为关于t的一次函数，根据一次函数的增减性，结合t的取值范围（线段AB对应的x的取值范围是$0≤ t≤2$）即可求出最大值。
【解析】
(1) 将点$A(2,m)$代入$y = 2x - \frac{5}{2}$，得：
$m = 2×2 - \frac{5}{2} = \frac{3}{2}$，即点A的坐标为$(2,\frac{3}{2})$。
设直线AB的函数表达式为$y = kx + b$，将$A(2,\frac{3}{2})$、$B(0,3)$代入得：
$\begin{cases}2k + b = \frac{3}{2}\\b = 3\end{cases}$
把$b=3$代入第一个方程，解得$k=-\frac{3}{4}$，因此直线AB的函数表达式为$y = -\frac{3}{4}x + 3$。
(2) 因为点$P(t,y_1)$在线段AB上，所以$y_1 = -\frac{3}{4}t + 3$，且t的取值范围为$0≤ t≤2$；
因为点$Q(t-1,y_2)$在直线$y=2x-\frac{5}{2}$上，代入横坐标得：
$y_2 = 2(t-1) - \frac{5}{2} = 2t - \frac{9}{2}$，
则$y_1 - y_2 = (-\frac{3}{4}t + 3) - (2t - \frac{9}{2}) = -\frac{11}{4}t + \frac{15}{2}$。
因为$-\frac{11}{4}＜0$，所以$y_1 - y_2$随t的增大而减小，因此当t取最小值0时，$y_1 - y_2$取得最大值，最大值为$\frac{15}{2}$。
【答案】
(1) $m=\frac{3}{2}$，直线AB的函数表达式为$y=-\frac{3}{4}x+3$；
(2) $\frac{15}{2}$
【知识点】
待定系数法求一次函数解析式，一次函数的增减性，一次函数点的坐标特征
【点评】
本题围绕一次函数的基础应用展开，第一问是待定系数法求解析式的常规考法，第二问结合一次函数增减性求最值，解题时需注意线段对应的自变量取值范围，避免因取值范围判断错误导致最值求解错误。
【难度系数】
0.7
（1）要求m的值，已知点A在直线$y=2x-\frac{5}{2}$上，直接将点A的横坐标代入该直线解析式即可求出m，得到点A的完整坐标；要求直线AB的函数表达式，已知直线过A、B两个点，采用待定系数法，设解析式为$y=kx+b$，代入两点坐标得到关于k、b的方程组，解方程组即可得到解析式。
（2）首先根据点P在线段AB上、点Q在已知直线上，分别用含t的代数式表示出$y_1$和$y_2$，再计算$y_1-y_2$，将其整理为关于t的一次函数，根据一次函数的增减性，结合t的取值范围（线段AB对应的x的取值范围是$0≤ t≤2$）即可求出最大值。
【解析】
(1) 将点$A(2,m)$代入$y = 2x - \frac{5}{2}$，得：
$m = 2×2 - \frac{5}{2} = \frac{3}{2}$，即点A的坐标为$(2,\frac{3}{2})$。
设直线AB的函数表达式为$y = kx + b$，将$A(2,\frac{3}{2})$、$B(0,3)$代入得：
$\begin{cases}2k + b = \frac{3}{2}\\b = 3\end{cases}$
把$b=3$代入第一个方程，解得$k=-\frac{3}{4}$，因此直线AB的函数表达式为$y = -\frac{3}{4}x + 3$。
(2) 因为点$P(t,y_1)$在线段AB上，所以$y_1 = -\frac{3}{4}t + 3$，且t的取值范围为$0≤ t≤2$；
因为点$Q(t-1,y_2)$在直线$y=2x-\frac{5}{2}$上，代入横坐标得：
$y_2 = 2(t-1) - \frac{5}{2} = 2t - \frac{9}{2}$，
则$y_1 - y_2 = (-\frac{3}{4}t + 3) - (2t - \frac{9}{2}) = -\frac{11}{4}t + \frac{15}{2}$。
因为$-\frac{11}{4}＜0$，所以$y_1 - y_2$随t的增大而减小，因此当t取最小值0时，$y_1 - y_2$取得最大值，最大值为$\frac{15}{2}$。
【答案】
(1) $m=\frac{3}{2}$，直线AB的函数表达式为$y=-\frac{3}{4}x+3$；
(2) $\frac{15}{2}$
【知识点】
待定系数法求一次函数解析式，一次函数的增减性，一次函数点的坐标特征
【点评】
本题围绕一次函数的基础应用展开，第一问是待定系数法求解析式的常规考法，第二问结合一次函数增减性求最值，解题时需注意线段对应的自变量取值范围，避免因取值范围判断错误导致最值求解错误。
【难度系数】
0.7
13. 几何直观 [2025蚌埠期末] 如图,在平面直角坐标系中,线段AB的端点为$A(1,0),B(5,8)$.
(1)直线AB的函数表达式为
(2)某同学设计了一个动画:在函数$y = -2x + b$中,输入$b(b ＞ 0)$的值,得到直线CD,其中点C在x轴上,点D在y轴上,当直线CD与线段AB有交点时,直线CD就会发红光,则此时输入的b的取值范围是
(1)直线AB的函数表达式为
$y=2x-2$
.(2)某同学设计了一个动画:在函数$y = -2x + b$中,输入$b(b ＞ 0)$的值,得到直线CD,其中点C在x轴上,点D在y轴上,当直线CD与线段AB有交点时,直线CD就会发红光,则此时输入的b的取值范围是
$2≤b≤18$
.答案
(1)$y=2x-2$;(2)$2≤b≤18$
(1)设直线$AB$的函数表达式为$y = kx + b$. 因为$A(1,0)$,$B(5,8)$,所以$\begin{cases}k + b = 0,\\5k + b = 8,\end{cases}$解得$\begin{cases}k = 2,\\b = -2,\end{cases}$所以直线$AB$的函数表达式为$y = 2x - 2$.(2)如图,当直线$CD$在线段$AB$上平移时,有交点. 当$CD$经过点$A$时,得$-2 + b = 0$,解得$b = 2$,当$CD$经过点$B$时,得$-10 + b = 8$,解得$b = 18$,所以当$2≤b≤18$时,直线$CD$就会发红光.(数形结合思想)
解析
【分析】
(1)求一次函数解析式可使用待定系数法，先设出一次函数的通用表达式$y=kx+b$，再把A、B两点的坐标代入表达式，得到关于k、b的二元一次方程组，解方程组得到k、b的值，即可确定直线AB的函数表达式。
(2)直线$y=-2x+b$的斜率固定，b的取值变化对应直线平移，要使直线与线段AB有交点，临界情况为直线恰好经过线段的两个端点A、B，将两个端点坐标分别代入直线CD的表达式，求出对应的b值，即可得到b的取值范围。
【解析】
(1)设直线$AB$的函数表达式为$y = kx + b$。
将$A(1,0)$，$B(5,8)$代入表达式，得：
$\begin{cases}k + b = 0\\5k + b = 8\end{cases}$
用第二个方程减第一个方程，得$4k=8$，解得$k=2$；
将$k=2$代入$k+b=0$，得$2+b=0$，解得$b=-2$。
因此直线AB的函数表达式为$y=2x-2$。
(2)当直线$CD$经过点$A(1,0)$时，将点代入$y=-2x+b$，得：
$-2×1 + b = 0$，解得$b=2$；
当直线$CD$经过点$B(5,8)$时，将点代入$y=-2x+b$，得：
$-2×5 + b = 8$，解得$b=18$。
因此当$2≤ b≤18$时，直线CD与线段AB有交点，会发红光。
【答案】
(1)$y=2x-2$;(2)$2≤b≤18$
【知识点】
待定系数法求解析式，一次函数平移，一次函数交点问题
【点评】
本题考查一次函数的基础应用，侧重对数形结合思想的考察，通过找到直线与线段相交的临界位置求解参数范围，是一次函数的常见考法。
【难度系数】
0.7
(1)求一次函数解析式可使用待定系数法，先设出一次函数的通用表达式$y=kx+b$，再把A、B两点的坐标代入表达式，得到关于k、b的二元一次方程组，解方程组得到k、b的值，即可确定直线AB的函数表达式。
(2)直线$y=-2x+b$的斜率固定，b的取值变化对应直线平移，要使直线与线段AB有交点，临界情况为直线恰好经过线段的两个端点A、B，将两个端点坐标分别代入直线CD的表达式，求出对应的b值，即可得到b的取值范围。
【解析】
(1)设直线$AB$的函数表达式为$y = kx + b$。
将$A(1,0)$，$B(5,8)$代入表达式，得：
$\begin{cases}k + b = 0\\5k + b = 8\end{cases}$
用第二个方程减第一个方程，得$4k=8$，解得$k=2$；
将$k=2$代入$k+b=0$，得$2+b=0$，解得$b=-2$。
因此直线AB的函数表达式为$y=2x-2$。
(2)当直线$CD$经过点$A(1,0)$时，将点代入$y=-2x+b$，得：
$-2×1 + b = 0$，解得$b=2$；
当直线$CD$经过点$B(5,8)$时，将点代入$y=-2x+b$，得：
$-2×5 + b = 8$，解得$b=18$。
因此当$2≤ b≤18$时，直线CD与线段AB有交点，会发红光。
【答案】
(1)$y=2x-2$;(2)$2≤b≤18$
【知识点】
待定系数法求解析式，一次函数平移，一次函数交点问题
【点评】
本题考查一次函数的基础应用，侧重对数形结合思想的考察，通过找到直线与线段相交的临界位置求解参数范围，是一次函数的常见考法。
【难度系数】
0.7
